Dubbio moto di rotolamento e risultante delle forze
Ciao a tutti! 
Ho delle difficoltà a comprendere in modo analitico il seguente problema:
Una sfera omogenea di raggio $R$ e massa $M$ striscia su un piano orizzontale scabro con coefficente di attrito
dinamico$u_d$, sotto l'azione di una forza $F$ applicata mediante un filo orizzontale su un punto della superfice della sfera ad
altezza (rispetto al piano) $h$, con $h
Le considerazioni che faccio sono:
quando il filo è in tensione, il moto è di traslazione perchè la sfera non ruota. Dunque $\veca_i=\veca_c$ e
quindi posso "pensare" tutte le forze applicate sul centro di massa della sfera.
Cioè $\vecF+\vecN+M\vecg+\vecF_a=M\veca_c$.
Proiettando sull'asse X ho $F-F_a=Ma_c$.
Supponendo $F-F_a>0$ ho che il corpo accelera "verso destra".
La mia domanda è questa: perchè dopo che il filo si rompe la $F_a$ non ha più effetto sulla traslazione ma solo
sulla rotazione? (Ho provato empiricamente, e in effetti dopo aver tagliato il filo il corpo continua a procedere "in avanti" in moto di puro rotolamento, anzichè "andare indietro" come sarebbe se la forza di attrito avesse un influenza sulla traslazione del CM).
Per cortesia, mi interesserebbe la giustificazione analitica.
Grazie a tutti!
Ho delle difficoltà a comprendere in modo analitico il seguente problema:
Una sfera omogenea di raggio $R$ e massa $M$ striscia su un piano orizzontale scabro con coefficente di attrito
dinamico$u_d$, sotto l'azione di una forza $F$ applicata mediante un filo orizzontale su un punto della superfice della sfera ad
altezza (rispetto al piano) $h$, con $h
Le considerazioni che faccio sono:
quando il filo è in tensione, il moto è di traslazione perchè la sfera non ruota. Dunque $\veca_i=\veca_c$ e
quindi posso "pensare" tutte le forze applicate sul centro di massa della sfera.
Cioè $\vecF+\vecN+M\vecg+\vecF_a=M\veca_c$.
Proiettando sull'asse X ho $F-F_a=Ma_c$.
Supponendo $F-F_a>0$ ho che il corpo accelera "verso destra".
La mia domanda è questa: perchè dopo che il filo si rompe la $F_a$ non ha più effetto sulla traslazione ma solo
sulla rotazione? (Ho provato empiricamente, e in effetti dopo aver tagliato il filo il corpo continua a procedere "in avanti" in moto di puro rotolamento, anzichè "andare indietro" come sarebbe se la forza di attrito avesse un influenza sulla traslazione del CM).
Per cortesia, mi interesserebbe la giustificazione analitica.
Grazie a tutti!
Risposte
In realtà dal momento in cui il filo si spezza al momento in cui la sfera cessa di strisciare la $\vecF_a$ continua a rallentare il CM della sfera secondo la relazione $m\veca=\vecF_a$. Dunque il CM della sfera che al momento della rottura del filo possiede una velocità iniziale verso destra, accelera verso sinistra ovvero rallenta la velocità.
Nel contempo però la $\vecF_a$ produce un momento orario rispetto al CM della sfera il quale fa sì che il momento angolare aumenti in senso orario, dunque la sfera comincia a ruotare e accelera la sua rotazione. Quando la velocità angolare della sfera eguaglia la velocità traslazionale divisa per il raggio della sfera, ovvero quando $\omega=v/R$, lo strisciamento cessa, dunque cessa la forza di attrito dinamico e la sfera rotola senza più rallentare.
Nel contempo però la $\vecF_a$ produce un momento orario rispetto al CM della sfera il quale fa sì che il momento angolare aumenti in senso orario, dunque la sfera comincia a ruotare e accelera la sua rotazione. Quando la velocità angolare della sfera eguaglia la velocità traslazionale divisa per il raggio della sfera, ovvero quando $\omega=v/R$, lo strisciamento cessa, dunque cessa la forza di attrito dinamico e la sfera rotola senza più rallentare.
Intano ti ringrazio molto per la risposta.
Ecco, è esattamente questo il punto in cui "non capisco".
Quando comincia il moto di puro rotolamento, effettivamente sparisce $F_{ad}$;
però c'è ancora una forza di attrito statica, che chiamo $f$.
Tale forza agisce in senso contrario rispetto al moto del CM della ruota.
Cioè, perchè $f$ non influisce sul moto del CM?
Cioè perchè quando la forza di attrito era dinamica l'abbiamo "inclusa" nell'eq del moto del CM, e ora che è statica no?
"Falco5x":
Quando la velocità angolare della sfera eguaglia la velocità traslazionale divisa per il raggio della sfera, ovvero quando $\omega=v/R$, lo strisciamento cessa, dunque cessa la forza di attrito dinamico e la sfera rotola senza più rallentare.
Ecco, è esattamente questo il punto in cui "non capisco".
Quando comincia il moto di puro rotolamento, effettivamente sparisce $F_{ad}$;
però c'è ancora una forza di attrito statica, che chiamo $f$.
Tale forza agisce in senso contrario rispetto al moto del CM della ruota.
Cioè, perchè $f$ non influisce sul moto del CM?
Cioè perchè quando la forza di attrito era dinamica l'abbiamo "inclusa" nell'eq del moto del CM, e ora che è statica no?
L'attrito statico serve a mantenere "incollata" la superficie della sfera nel punto in cui tocca il piano con il piano stesso nel solo caso di turbative della condizione di rotolamento raggiunta. Quando il puro rotolamento è instaurato, se non intervengono altri fatti non si sviluppa più alcuna forza nel punto di contatto, né dinamica né statica; la forza di attrito serve solo a far raggiungere la condizione di puro rotolamento e poi a mantenerla anche in caso di ulteriori eventi che modifichino il moto della sfera.
Infatti se dal momento in cui il puro rotolamento si instaura in poi il piano diventasse improvvisamente perfettamente liscio, il puro rotolamento continuerebbe da solo all'infinito senza bisogno di forze di attrito statico. Il non scivolamento sarebbe garantito non dalla presenza di forze, ma solo perché le due condizioni di traslazione e rotazione rimangono perfettamente correlate tra loro facendo sì che il punto che tocca il piano resti istantaneamente fermo. L'attrito statico entrerebbe in gioco solo se per esempio venisse applicata una forza accelerante alla sfera nel suo baricentro. In questo caso se non ci fosse attrito statico si perderebbe la coordinazione dei due movimenti e la sfera accelererebbe senza modificare la sua velocità di rotazione. Invece in presenza di attrito statico questo si svilupperebbe in senso contrario ma minore in modulo rispetto alla forza accelerante. La differenza tra i moduli delle due forze sarebbe responsabile della accelerazione del baricentro, mentre la coppia rimanente sarebbe responsabile dell'aumento del momento angolare, facendo sì che la sfera accelerasse in modo coordinato sia in traslazione che in rotazione, e quindi mantenendo la condizione di puro rotolamento.
Infatti se dal momento in cui il puro rotolamento si instaura in poi il piano diventasse improvvisamente perfettamente liscio, il puro rotolamento continuerebbe da solo all'infinito senza bisogno di forze di attrito statico. Il non scivolamento sarebbe garantito non dalla presenza di forze, ma solo perché le due condizioni di traslazione e rotazione rimangono perfettamente correlate tra loro facendo sì che il punto che tocca il piano resti istantaneamente fermo. L'attrito statico entrerebbe in gioco solo se per esempio venisse applicata una forza accelerante alla sfera nel suo baricentro. In questo caso se non ci fosse attrito statico si perderebbe la coordinazione dei due movimenti e la sfera accelererebbe senza modificare la sua velocità di rotazione. Invece in presenza di attrito statico questo si svilupperebbe in senso contrario ma minore in modulo rispetto alla forza accelerante. La differenza tra i moduli delle due forze sarebbe responsabile della accelerazione del baricentro, mentre la coppia rimanente sarebbe responsabile dell'aumento del momento angolare, facendo sì che la sfera accelerasse in modo coordinato sia in traslazione che in rotazione, e quindi mantenendo la condizione di puro rotolamento.
"dark121it":
Quando comincia il moto di puro rotolamento, effettivamente sparisce $F_{ad}$;
però c'è ancora una forza di attrito statica, che chiamo $f$.
Tale forza agisce in senso contrario rispetto al moto del CM della ruota.
Cioè, perchè $f$ non influisce sul moto del CM?
Cioè perchè quando la forza di attrito era dinamica l'abbiamo "inclusa" nell'eq del moto del CM, e ora che è statica no?
La spiegazione di Falco5X è corretta e chiara.
Potrei aggiungere che spesso l'errore che si commette in questi casi (e che potrebbe spiegare il dubbio di dark121it) consiste nel trattare la forza di attrito statico come quella di attrito cinetico (o dinamico). In condizioni di aderenza (quando per qualunque motivo i punti in contatto non hanno velocità relativa) la forza di attrito diventa incognita. Pertanto deve essere calcolata dalle condizioni di moto del corpo (oppure misurata). In genere quindi la forza di attrito statico non è data dalla componente normale per il coefficiente di attrito statico ma può assumere qualunque valore compreso tra 0 e tale valore limite.
Ho letto con attenzione i vostri post e ho elaborato un ragionamento (che naturalmente non so se è corretto!! 
)
Ho notato che tra la forza di attrito dinamica ($F_d$) e statica ($f$)c'è una differenza fondamentale:
- $F_d$ può presentarsi anche "da sola" (per esempio se lancio un corpo su un piano scabro, l'unica forza agente sull' asse X è $F_d$ che ha l'effetto di rallentare il corpo. )
- $f$ si presenta sempre accompagnata da un altra forza (almeno). Infatti, per definizione, se agisce $f$ il corpo è fermo. Ma se agisse SOLO $f$ avrei che il corpo dovrebbe accelerare in qualche direzione (NB: sto ragionando in un sistema inerziale)
Stavo pensando dunque, che potrei dedurre l'esistenza o meno di $f$ dal fatto che ci siano altre forze agenti sul piano oppure no.
Nel caso in esame, il mio dubbio era se, dopo che $F_d$ era andata a zero, potesse esistere
$f$. Se il ragionamento che ho fatto sopra è corretto, allora, oltre ad $f$ , dovrei avere la presenza di almeno un altra forza; che però manca per ipotesi.
Dunque non può essere che agisca $f$, di conseguenza il moto del CM deve essere uniforme (cioè non accelerato). Quindi il CM procede con velocità costante indipendentemente dal coefficente di attrito; e in particolare succede lo stesso anche se il coefficente di attrito vale 0 (cioè il piano è liscio).
Secondo voi è corretto?
)Ho notato che tra la forza di attrito dinamica ($F_d$) e statica ($f$)c'è una differenza fondamentale:
- $F_d$ può presentarsi anche "da sola" (per esempio se lancio un corpo su un piano scabro, l'unica forza agente sull' asse X è $F_d$ che ha l'effetto di rallentare il corpo. )
- $f$ si presenta sempre accompagnata da un altra forza (almeno). Infatti, per definizione, se agisce $f$ il corpo è fermo. Ma se agisse SOLO $f$ avrei che il corpo dovrebbe accelerare in qualche direzione (NB: sto ragionando in un sistema inerziale)
Stavo pensando dunque, che potrei dedurre l'esistenza o meno di $f$ dal fatto che ci siano altre forze agenti sul piano oppure no.
Nel caso in esame, il mio dubbio era se, dopo che $F_d$ era andata a zero, potesse esistere
$f$. Se il ragionamento che ho fatto sopra è corretto, allora, oltre ad $f$ , dovrei avere la presenza di almeno un altra forza; che però manca per ipotesi.
Dunque non può essere che agisca $f$, di conseguenza il moto del CM deve essere uniforme (cioè non accelerato). Quindi il CM procede con velocità costante indipendentemente dal coefficente di attrito; e in particolare succede lo stesso anche se il coefficente di attrito vale 0 (cioè il piano è liscio).
Secondo voi è corretto?
Uhm..... 
In un certo senso il tuo può essere un punto di vista affascinante, però temo che in generale possa divenire pericoloso e trarre in inganno. Nell'esempio che fai $F_d$ non è sola, nessuna forza è mai sola perché è equilibrata almeno dalla forza di inerzia. Anche l'attrito statico può essere equilibrato da una forza d'inerzia soltanto, basta pensare al caso dei passeggeri seduti sui sedili di un'automobile che frena. Loro sono fermi ma lo sono perchè c'è un attrito statico che li trattiene al sedile, eppure l'unica forza che agisce all'interno dell'abitacolo è una forza di inerzia, come nel caso che citavi tu.
Insomma ci andrei molto cauto nel voler trarre conclusioni generali di questo tipo.
Ma lascio la parola a Mirco per le sue opportune considerazioni.
In un certo senso il tuo può essere un punto di vista affascinante, però temo che in generale possa divenire pericoloso e trarre in inganno. Nell'esempio che fai $F_d$ non è sola, nessuna forza è mai sola perché è equilibrata almeno dalla forza di inerzia. Anche l'attrito statico può essere equilibrato da una forza d'inerzia soltanto, basta pensare al caso dei passeggeri seduti sui sedili di un'automobile che frena. Loro sono fermi ma lo sono perchè c'è un attrito statico che li trattiene al sedile, eppure l'unica forza che agisce all'interno dell'abitacolo è una forza di inerzia, come nel caso che citavi tu.
Insomma ci andrei molto cauto nel voler trarre conclusioni generali di questo tipo.
Ma lascio la parola a Mirco per le sue opportune considerazioni.
"Falco5x":
Uhm.....
In un certo senso il tuo può essere un punto di vista affascinante, però temo che in generale possa divenire pericoloso e trarre in inganno. Nell'esempio che fai $F_d$ non è sola, nessuna forza è mai sola perché è equilibrata almeno dalla forza di inerzia.
Ma quando dici "forza di inerzia" intendi "forza apparente" ?
Perchè se è così, allora tu stai considerando il caso generale di un sistema non inerziale. Tuttavia avevo scritto (forse in modo non troppo esplicito
) che stavo ragionando in un sistema inerziale.Ad ogni modo, sarebbe interessante capire se quel tipo di ragionamento che ho fatto prima si "salva" almeno nei sistemi inerziali.
"dark121it":
- $F_d$ può presentarsi anche "da sola" (per esempio se lancio un corpo su un piano scabro, l'unica forza agente sull' asse X è $F_d$ che ha l'effetto di rallentare il corpo. )
$F_d$ non può presentarsi da sola perché è uguale alla componente normale del contatto per il coefficiente d'attrito cinetico
"dark121it":
- $f$ si presenta sempre accompagnata da un altra forza (almeno). Infatti, per definizione, se agisce $f$ il corpo è fermo. Ma se agisse SOLO $f$ avrei che il corpo dovrebbe accelerare in qualche direzione (NB: sto ragionando in un sistema inerziale)
$f$ non può presentarsi da sola perché è minore o uguale alla componente normale del contatto per il coefficiente d'attrito statico
"dark121it":
Stavo pensando dunque, che potrei dedurre l'esistenza o meno di $f$ dal fatto che ci siano altre forze agenti sul piano oppure no.
Nel caso in esame, il mio dubbio era se, dopo che $F_d$ era andata a zero, potesse esistere
dal punto di vista fisico non c'è differenza tra le due forze d'attrito perché i meccanismi che le generano sono gli stessi: interazioni elettromagnetiche tangenziali tra le facce in contatto. La differenza è metodologica, o di calcolo. La forza di attrito cinetico è data dalla componente normale della forza di contatto e dal verso del moto relativo mentre la forza di attrito statico è indipendente (entro certi limiti) dalla componente normale. Operativamente significa che in un problema piano per un contatto puntiforme strisciante vi è una sola incognita scalare mentre per un contatto in aderenza ve ne sono due. Nel contatto statico quindi la forza mutua ha una direzione imprecisata (all'inizio della soluzione) e solo a posteriori si deve controllare che sia entro il cono d'attrito. Se questo si verifica, l'attrito statico è in grado di esercitarla e la componente tangenziale della forza è chiamata forza di attrito statico. Se non si verifica allora dobbiamo aspettarci che vi sia un incipiente strisciamento (come quando inchiodiamo le ruote o facciamo la sgommata in partenza).
Nel caso dello strisciamento-rotolamento che hai esaminato, si verifica che all'inizio necessariamente striscia e la forza di attrito (cinetico) è quindi uguale alla forza di contatto normale (che deve equilibrare il peso) per il coefficiente di attrito cinetico, per cui è costante. Questo produce una riduzione della velocità di strisciamento per cui nel momento in cui tale velocità si annulla si verifica che il corpo si muove d'inerzia. Non è pertanto necessario che si eserciti alcuna forza orizzontale su di esso. Da ciò ricaviamo, a posteriori, che la forza di attrito statico è nulla.
PS: Tenderei a non scomodare le forze d'inerzia
Penso di aver capito cosa intende in sostanza dark quando dice che la forza di attrito statico non si presenta "da sola", cioè deve essere accompagnata, oltre che da una forza normale alla superficie di contatto, anche da altre forze applicate al corpo.
Penso che un bilancio energetico, applicando il teorema delle forze vive, direttamente ricavato dal secondo principio della dinamica, possa mettere chiarezza.
Considerando come sistema meccanico solo uno dei due corpi a contatto, la forza di attrito statico non compie lavoro, essendo idealmente il punto di contatto fermo (nel sistema di riferimento "fisso").
Se il sistema di riferimento è inerziale non sono presenti forze apparenti per cui le uniche forze presenti sono quelle di interazione tra i corpi. Se queste non compiono lavoro l'energia cinetica si conserva.
Da questo si deduce che, visto il cinematismo che lega strettamente velocità angolare e velocità del centro di massa (ad una accelerazione del centro di massa corrisponde necessariamente anche una accelerazione angolare), non è presente accelerazione, ovvero la forza di attrito statico è nulla.
Nell'esempio che hai riportato quindi, limitandosi al modello ideale di attrito statico, che non è detto che rispecchi esattamente ciò che avviene in realtà, si ha un passaggio istantaneo da forza d'attrito dinamico diversa da zero a quella di attrito statico nulla.
Penso che un bilancio energetico, applicando il teorema delle forze vive, direttamente ricavato dal secondo principio della dinamica, possa mettere chiarezza.
Considerando come sistema meccanico solo uno dei due corpi a contatto, la forza di attrito statico non compie lavoro, essendo idealmente il punto di contatto fermo (nel sistema di riferimento "fisso").
Se il sistema di riferimento è inerziale non sono presenti forze apparenti per cui le uniche forze presenti sono quelle di interazione tra i corpi. Se queste non compiono lavoro l'energia cinetica si conserva.
Da questo si deduce che, visto il cinematismo che lega strettamente velocità angolare e velocità del centro di massa (ad una accelerazione del centro di massa corrisponde necessariamente anche una accelerazione angolare), non è presente accelerazione, ovvero la forza di attrito statico è nulla.
Nell'esempio che hai riportato quindi, limitandosi al modello ideale di attrito statico, che non è detto che rispecchi esattamente ciò che avviene in realtà, si ha un passaggio istantaneo da forza d'attrito dinamico diversa da zero a quella di attrito statico nulla.
"nnsoxke":
Penso di aver capito cosa intende in sostanza dark quando dice che la forza di attrito statico non si presenta "da sola", cioè deve essere accompagnata, oltre che da una forza normale alla superficie di contatto, anche da altre forze applicate al corpo.
Sì, in effetti pensavo che bastasse mettere le virgolette per far intendere quello che volevo dire....
..mi scuso con tutti per non essermi spiegato bene
Comunque, per evitare equivoci, provo ad essere più preciso.
Caso 1
Consideriamo un corpo di massa m lanciato su un piano scabro osservato da un sistema $S$ inerziale.
L'equazione del moto è
$\vec N + m\vec(g) + \vec F_d =m\veca $
quindi abbiamo 3 forze che agiscono.
Però di queste 2 agiscono sull asse Y (che suppongo perpendicolare al piano) e solo 1 agisce sull asse X
Caso 2
Consideriamo un corpo di massa m fermo su un piano scabro sotto l'azione di una forza $\vec F$ osservato da un sistema $S$ inerziale.
L'equazione del moto è
$\vec N + m\vec(g) + \vec(f) + \vec(F) =m\vec a $
quindi abbiamo 4 forze che agiscono.
Di queste 2 agiscono sull' asse Y (che suppongo perpendicolare al piano) e 2 sull' asse X
La domanda che mi pongo è:
se siamo nel Caso 2 è possibile che $f$ agisca "da sola"?
Cioè, è possibile che l'eq del moto sia
$\vec N + m\vec(g) + \vec(f) = m\vec a $
Chiaramente no! Però questo fatto lo deduco nel caso 2 dall ipotesi che esiste $\vec F$.
Ma se tale ipotesi non l'avessi?
Caso 2.5
Consideriamo un corpo di massa m fermo su un piano scabro osservato da un sistema $S$ inerziale.
Supponiamo che su m agisca una forza di attrito statico $f$.
I casi sono 2:
(1) Sull'asse X agisce "solo" $\vec f$. Ma non è possibile perchè, per HP, il corpo è fermo.
(2) Sull'asse X agisce $\vec f$ e l'ipotesi che il corpo sia fermo è corretta. Ma allora le HP sono incomplete perchè deve esistere una forza Sull'asse X agisce "solo" $\vec F$ sull asse X tale che
$\vec(f) + \vec(F) = 0$
Quindi, se sono sicuro che sull'asse X non agiscono forze, allora necessariamente non può agire neanche $\vecf$.
Nel caso in esame, il punto di contatto $P_c$ è fermo (perchè siamo in puro rotolamento) rispetto ad $S$.
Inoltre, per HP non agisce nessuna forza TRANNE (eventualmente ) quella di attrito statico $\vec f$ .
Quello che voglio appurare è prorpio se $\vec f$ agisce oppure no.
Ma, per il ragionamento fatto prima, $\vec f$ non può agire (in quanto sarebbe l'unica forza sull asse X).
Ripeto il parere che ho già espresso, arricchendolo con un ulteriore esempio.
Queste considerazioni sull'unicità di $f$ le ritengo pericolose, e non sono portato a rispondere "sì" con tanta leggerezza alla tua domanda, anche se a prima vista il fatto che $f$ non possa esistere da sola nel senso che intendi tu può sembrare ragionevole. Ti faccio l'esempio che mi è venuto in mente, che anche se è un po' stiracchiato rende l'idea.
Supponi che una palla da biliardo venga lanciata contro una sponda con un certo angolo di incidenza (misurato sulla normale alla sponda) diverso da 0 e da $\pi/2$. Supponi la sponda ideale, quindi capace di totale elasticità (non assorbe energia). Poiché si deve supporre che la palla rimbalzi perfettamente senza strisciare (altrimenti ci sarebbe lavoro e quindi perdita di energia), sul punto di contatto si sviluppa in senso tangenziale alla sponda una forza di attrito statico diversa da zero, anzi di valore infinito. Per la precisione si sviluppa un impulso di area finita, cioè una forza infinita che dura per un tempo infinitesimo (impulso di Dirac) il cui integrale nel tempo è uguale alla variazione di quantità di moto della palla. Inoltre l'integrale nel tempo del momento di questa forza rispetto al baricentro della palla (pure esso infinito di durata infinitesima) causa la variazione di momento angolare della palla stessa modificandone la rotazione.
Come vedi, in questo esempio la $f$ di attrito statico è l'unica forza che agisce sulla palla in direzione parallela alla sponda.
Per rimanere sullo stesso tema pensa a un proiettile sparato secondo una certa parabola di tiro, che giunge a terra con un certo angolo di incidenza (il proiettile puoi anche immaginarlo puntiforme). Se il terreno è come la sponda di prima, il proiettile rimbalza con angolo di riflessione diverso dall'angolo di incidenza, proprio in virtù dell'attrito statico impulsivo che si crea all'impatto. E questo attrito statico è l'unica forza orizzontale che agisce sul proiettile nell'intorno dell'istante di incidenza.
Queste considerazioni sull'unicità di $f$ le ritengo pericolose, e non sono portato a rispondere "sì" con tanta leggerezza alla tua domanda, anche se a prima vista il fatto che $f$ non possa esistere da sola nel senso che intendi tu può sembrare ragionevole. Ti faccio l'esempio che mi è venuto in mente, che anche se è un po' stiracchiato rende l'idea.
Supponi che una palla da biliardo venga lanciata contro una sponda con un certo angolo di incidenza (misurato sulla normale alla sponda) diverso da 0 e da $\pi/2$. Supponi la sponda ideale, quindi capace di totale elasticità (non assorbe energia). Poiché si deve supporre che la palla rimbalzi perfettamente senza strisciare (altrimenti ci sarebbe lavoro e quindi perdita di energia), sul punto di contatto si sviluppa in senso tangenziale alla sponda una forza di attrito statico diversa da zero, anzi di valore infinito. Per la precisione si sviluppa un impulso di area finita, cioè una forza infinita che dura per un tempo infinitesimo (impulso di Dirac) il cui integrale nel tempo è uguale alla variazione di quantità di moto della palla. Inoltre l'integrale nel tempo del momento di questa forza rispetto al baricentro della palla (pure esso infinito di durata infinitesima) causa la variazione di momento angolare della palla stessa modificandone la rotazione.
Come vedi, in questo esempio la $f$ di attrito statico è l'unica forza che agisce sulla palla in direzione parallela alla sponda.
Per rimanere sullo stesso tema pensa a un proiettile sparato secondo una certa parabola di tiro, che giunge a terra con un certo angolo di incidenza (il proiettile puoi anche immaginarlo puntiforme). Se il terreno è come la sponda di prima, il proiettile rimbalza con angolo di riflessione diverso dall'angolo di incidenza, proprio in virtù dell'attrito statico impulsivo che si crea all'impatto. E questo attrito statico è l'unica forza orizzontale che agisce sul proiettile nell'intorno dell'istante di incidenza.
@dark: dal secondo principio della dinamica, per un sistema di punti materiali, si deducono due equazioni cardinali, per completezza dovresti considerarle entrambe.
@falco: abbiamo supposto che il sistema di riferimento solidale alla superficie di uno dei due corpi nel punto di contatto (se uno di questo è deformabile) sia inerziale.
@falco: abbiamo supposto che il sistema di riferimento solidale alla superficie di uno dei due corpi nel punto di contatto (se uno di questo è deformabile) sia inerziale.
"nnsoxke":
@falco: abbiamo supposto che il sistema di riferimento solidale alla superficie di uno dei due corpi nel punto di contatto (se uno di questo è deformabile) sia inerziale.
Se ti riferisci all'esempio dell'automobile ok la tua osservazione è corretta, ma se ti riferisci agli ultimi esempi che ho riportato non la capisco, perché sia il biliardo sia il terreno contro cui cozza il proiettile sono sistemi inerziali.
Se il biliardo fosse un sistema di riferimento inerziale, cioè, supponendo che il contatto sia puntuale e che i corpi siano indeformabili, fissato un sistema di riferimento nel punto di contatto questo è inerziale.
Se l'attrito statico è sufficiente da permettere alla biglia di non strisciare e non ci sono altre forze che compiono lavoro, la variazione di energia cinetica della biglia è nulla, il che comporta, visto il cinematismo di atto di rotolamento puro, che non sia presente accelerazione del centro di massa nella direzione tangente al bordo del tavolo da biliardo, che comporterebbe necessariamente anche una accelerazione angolare (con lo stesso segno) della biglia, quindi variazione dell'energia cinetica. Dunque la forza di attrito statico sarebbe nulla nell'urto.
Se i corpi fossero deformabili il sistema di riferimento fissato nel punto di contatto tra le superfici non sarebbe inerziale, visto che si sposterebbe di moto accelerato durante l'urto, quindi in questo sistema di riferimento agirebbero anche delle forze apparenti sulla biglia che compirebbero lavoro (e non è detto che il lavoro complessivo prodotto nell'urto sia nullo, parte dell'energia può essere acquisita dal tavolo, dissipata in energia termica nel tavolo o nella biglia, onde sonore).
Anche fissando un sistema di riferimento sul tavolo da biliardo (non solidale al punto di contatto, ma al tavolo nel suo insieme) e supponendo che questo sia inerziale avremmo che il punto di applicazione della forza di attrito sulla biglia si sposta, anche se l'attrito è statico, per cui compirebbe lavoro.
In questo caso sarebbe da risolvere un problema con tre funzioni incognite, le posizioni sui due assi della biglia e la rotazione, ammesso che sia presente solo quella con asse perpendicolare al tavolo.
Se l'attrito statico è sufficiente da permettere alla biglia di non strisciare e non ci sono altre forze che compiono lavoro, la variazione di energia cinetica della biglia è nulla, il che comporta, visto il cinematismo di atto di rotolamento puro, che non sia presente accelerazione del centro di massa nella direzione tangente al bordo del tavolo da biliardo, che comporterebbe necessariamente anche una accelerazione angolare (con lo stesso segno) della biglia, quindi variazione dell'energia cinetica. Dunque la forza di attrito statico sarebbe nulla nell'urto.
Se i corpi fossero deformabili il sistema di riferimento fissato nel punto di contatto tra le superfici non sarebbe inerziale, visto che si sposterebbe di moto accelerato durante l'urto, quindi in questo sistema di riferimento agirebbero anche delle forze apparenti sulla biglia che compirebbero lavoro (e non è detto che il lavoro complessivo prodotto nell'urto sia nullo, parte dell'energia può essere acquisita dal tavolo, dissipata in energia termica nel tavolo o nella biglia, onde sonore).
Anche fissando un sistema di riferimento sul tavolo da biliardo (non solidale al punto di contatto, ma al tavolo nel suo insieme) e supponendo che questo sia inerziale avremmo che il punto di applicazione della forza di attrito sulla biglia si sposta, anche se l'attrito è statico, per cui compirebbe lavoro.
In questo caso sarebbe da risolvere un problema con tre funzioni incognite, le posizioni sui due assi della biglia e la rotazione, ammesso che sia presente solo quella con asse perpendicolare al tavolo.
"nnsoxke":
Se il biliardo fosse un sistema di riferimento inerziale, cioè, supponendo che il contatto sia puntuale e che i corpi siano indeformabili, fissato un sistema di riferimento nel punto di contatto questo è inerziale.
Se l'attrito statico è sufficiente da permettere alla biglia di non strisciare e non ci sono altre forze che compiono lavoro, la variazione di energia cinetica della biglia è nulla, il che comporta, visto il cinematismo di atto di rotolamento puro, che non sia presente accelerazione del centro di massa nella direzione tangente al bordo del tavolo da biliardo, che comporterebbe necessariamente anche una accelerazione angolare (con lo stesso segno) della biglia, quindi variazione dell'energia cinetica. Dunque la forza di attrito statico sarebbe nulla nell'urto
Mi sa che non ci siamo.
Le considerazioni sull'energia cinetica riguardano il modulo della velocità che dopo l'urto può essere benissimo uguale a quella prima dell'urto, mentre l'impulso e la quantità di moto sono grandezze vettoriali.
Sarebbe come se tu dicessi che la sponda ideale (quella liscia e senza attrito) non può dare impulso alla palla nel farla rimbalzare perché l'energia si conserva! certo che lo dà, l'impulso in questo caso sarebbe ortogonale alla sponda e di modulo pari al doppio della componente ortogonale della quantità di moto incidente. Nel caso che invece propongo io la presenza di una forza di attrito statico fa sì che l'impulso della sponda abbia oltre a una componente normale anche una componente tangenziale.
In questo ultimo caso ti faccio notare che la dinamica è complicata anche dal fatto che dopo l'urto il puro rotolamento si instaura in modo congiunto sia sul piano del biliardo che sulla sponda (imposto dal fenomeno dell'urto) per quanto concerne la componente di velocità tangenziale; dunque dopo l'urto la palla ruota con velocità angolare diversa che non prima dell'urto, e inoltre questa velocità angolare risulta somma di due velocità angolari, una complanare col biliardo e una ortogonale al piano (imposta dall'urto sulla sponda). E' un esercizio interessante da svolgere e meriterebbe qualche approfondimento.
"nnsoxke":
Dunque la forza di attrito statico sarebbe nulla nell'urto....
Come già ti ha detto Falco è impulsiva non nulla.
"nnsoxke":
.... attrito sulla biglia si sposta, anche se l'attrito è statico, per cui compirebbe lavoro.
Sbagliatissimo!
La forza di attrito statico non compie lavoro, si sposta la posizione del punto di contatto via via, ma non il punto di applicazione della forza che ha velocità nulla sempre.
D'altronde immagina un cilindro che rotola su un piano orizzontale: se la forza di attrito statico compisse un lavoro, allora il cilindro dovrebbe rallentare, cosa che nel caso ideale non accade.
Penso che questo disegno sia esplicativo:
La parte fissa è il tavolo da biliardo mentre la parte mobile è la zona di sponda che si deforma durante l'urto.
Si suppone che il contatto tra la parte di sponda e la biglia sia di rotolamento puro.
Nel sistema di riferimento del tavolo (M) la forza di attrito che la sponda esercita sulla biglia compie lavoro, visto che la sponda si sposta, o in maniera equivalente, nel sistema di riferimento della zona di sponda a contatto con la biglia, schematizzata come una massa concentrata, la forza di attrito non compie lavoro sulla biglia, ma sono presenti delle forze apparenti essendo il sistema di riferimento non inerziale, accelerato rispetto a quello del tavolo, che si è supposto inerziale.
Nel caso in cui, fissato un sistema di riferimento solidale ad uno dei due corpi nel punto di contatto questo è inerziale, dal bilancio energetico risulta che, dato che la forza di attrito statico non compie lavoro sull'altro corpo rispetto a tale sistema di riferimento, se non sono presenti altre forze che compiono lavoro, la forza di attrito è nulla.
La parte fissa è il tavolo da biliardo mentre la parte mobile è la zona di sponda che si deforma durante l'urto.
Si suppone che il contatto tra la parte di sponda e la biglia sia di rotolamento puro.
Nel sistema di riferimento del tavolo (M) la forza di attrito che la sponda esercita sulla biglia compie lavoro, visto che la sponda si sposta, o in maniera equivalente, nel sistema di riferimento della zona di sponda a contatto con la biglia, schematizzata come una massa concentrata, la forza di attrito non compie lavoro sulla biglia, ma sono presenti delle forze apparenti essendo il sistema di riferimento non inerziale, accelerato rispetto a quello del tavolo, che si è supposto inerziale.
Nel caso in cui, fissato un sistema di riferimento solidale ad uno dei due corpi nel punto di contatto questo è inerziale, dal bilancio energetico risulta che, dato che la forza di attrito statico non compie lavoro sull'altro corpo rispetto a tale sistema di riferimento, se non sono presenti altre forze che compiono lavoro, la forza di attrito è nulla.
....io pensavo ci si riferisse all'attrito tra il piano di appoggio e la sfera!
Avevo letto di fretta Falco stamattina, ma comunque concordo che l'esempio è stiracchiato....
Avevo letto di fretta Falco stamattina, ma comunque concordo che l'esempio è stiracchiato....
"nnsoxke":
@dark: dal secondo principio della dinamica, per un sistema di punti materiali, si deducono due equazioni cardinali, per completezza dovresti considerarle entrambe.
Ci provo....ma non garantisco niente....
Nel caso in esame (se ho capito bene) posso scrivere
$\vec tau = I_z \vec alpha$
Le forze che agiscono sulla sulla sfera sono, dopo che $\vec(F_d)$ si è annullata,
$\vec(N),M\vec(g)$ le quali non producono momento torcente, perchè hanno braccio nullo.
Quindi la sfera procede con velocità angolare costante.
"nnsoxke":
Nel caso in cui, fissato un sistema di riferimento solidale ad uno dei due corpi nel punto di contatto questo è inerziale, dal bilancio energetico risulta che, dato che la forza di attrito statico non compie lavoro sull'altro corpo rispetto a tale sistema di riferimento, se non sono presenti altre forze che compiono lavoro, la forza di attrito è nulla.
Mi limito a esaminare questa affermazione inerente il caso inerziale e rilevo che è sbagliata.
E' sbagliata perché se è ben vero che la forza di attrito essendo statica non compie lavoro, e quindi l'energia totale si conserva, è anche vero che quando si tratta di corpo rigido (palla) l'energia cinetica è fatta da 2 componenti, quella relativa alla traslazione e quella relativa alla rotazione.
Dopo l'urto l'energia di traslazione risulta minore di quella prima dell'urto, perché parte di questa energia viene trasferita alla rotazione. E come è possibile ciò se il moto di puro rotolamento mette in relazione i due moti? dirai tu.
Ti rispondo che ciò è vero per la rotazione il cui asse è ortogonale al piano che passa per CM e il punto di contatto e sul quale giace la velocità del CM, ma qui si sviluppa dopo l'urto una seconda rotazione con momento angolare nella direzione dell'asse z (ortogonale al piano del biliardo), la quale è correlata non con il rotolamento sul piano del biliardo ma con la componente della velocità (dopo l'urto)parallela alla sponda. Insomma uno spin tipo trottola. E questo spin è fornito proprio dalla reazione impulsiva dovuta all'attrito statico tra sponda e palla, che anche se non compie lavoro modifica sia la quantità di moto della palla in senso parallelo alla sponda, sia il suo momento angolare.
Se domani ho tempo posto l'esercizio e i calcoli relativi.
Tutto ciò per dire (partendo dalla domanda iniziale) che la forza di attrito statico può anche essere l'unica forza presente nella sua direzione.
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