Dubbio moto di rotolamento e risultante delle forze
Ciao a tutti! 
Ho delle difficoltà a comprendere in modo analitico il seguente problema:
Una sfera omogenea di raggio $R$ e massa $M$ striscia su un piano orizzontale scabro con coefficente di attrito
dinamico$u_d$, sotto l'azione di una forza $F$ applicata mediante un filo orizzontale su un punto della superfice della sfera ad
altezza (rispetto al piano) $h$, con $h
Le considerazioni che faccio sono:
quando il filo è in tensione, il moto è di traslazione perchè la sfera non ruota. Dunque $\veca_i=\veca_c$ e
quindi posso "pensare" tutte le forze applicate sul centro di massa della sfera.
Cioè $\vecF+\vecN+M\vecg+\vecF_a=M\veca_c$.
Proiettando sull'asse X ho $F-F_a=Ma_c$.
Supponendo $F-F_a>0$ ho che il corpo accelera "verso destra".
La mia domanda è questa: perchè dopo che il filo si rompe la $F_a$ non ha più effetto sulla traslazione ma solo
sulla rotazione? (Ho provato empiricamente, e in effetti dopo aver tagliato il filo il corpo continua a procedere "in avanti" in moto di puro rotolamento, anzichè "andare indietro" come sarebbe se la forza di attrito avesse un influenza sulla traslazione del CM).
Per cortesia, mi interesserebbe la giustificazione analitica.
Grazie a tutti!
Ho delle difficoltà a comprendere in modo analitico il seguente problema:
Una sfera omogenea di raggio $R$ e massa $M$ striscia su un piano orizzontale scabro con coefficente di attrito
dinamico$u_d$, sotto l'azione di una forza $F$ applicata mediante un filo orizzontale su un punto della superfice della sfera ad
altezza (rispetto al piano) $h$, con $h
Le considerazioni che faccio sono:
quando il filo è in tensione, il moto è di traslazione perchè la sfera non ruota. Dunque $\veca_i=\veca_c$ e
quindi posso "pensare" tutte le forze applicate sul centro di massa della sfera.
Cioè $\vecF+\vecN+M\vecg+\vecF_a=M\veca_c$.
Proiettando sull'asse X ho $F-F_a=Ma_c$.
Supponendo $F-F_a>0$ ho che il corpo accelera "verso destra".
La mia domanda è questa: perchè dopo che il filo si rompe la $F_a$ non ha più effetto sulla traslazione ma solo
sulla rotazione? (Ho provato empiricamente, e in effetti dopo aver tagliato il filo il corpo continua a procedere "in avanti" in moto di puro rotolamento, anzichè "andare indietro" come sarebbe se la forza di attrito avesse un influenza sulla traslazione del CM).
Per cortesia, mi interesserebbe la giustificazione analitica.
Grazie a tutti!
Risposte
Visto che è già domani mantengo la promessa.
Sia la situazione come in figura
Per la conservazione dell'energia si ha.
$E = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega _1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}I\omega _2^2 + \frac{1}{2}I\omega _z^2$
Le condizioni di rotolamento sono:
$\omega _1 = \frac{v_1}{R} $
$\omega _2 = \frac{v_2}{R} $
$\omega _z = - \frac{v_{2x}}{R} $
da cui posto $K=\frac{I}{mR^2}$ si può scrivere:
$v_1^2( 1 + K ) = v_2^2( 1 + K ) + Kv_{2x}^2$
La reazione della sponda dovuta all'attrito statico determina un momento che modifica il momento angolare proprio della palla secondo la relazione:
$I\omega _z=m( v_{2x} - v_{1x} )$
ovvero
$ - I\frac{v_{2x}}{R^2} = m( v_{2x} - v_{1x} )$
$v_{1x} = ( 1 + K )v_{2x}$
Altre relazioni utili:
$ v_{1x} = v_1\sin \alpha $
$ v_{2x} = v_2\sin \beta $
$ v_1^2\sin ^2\alpha = ( 1 + K )^2v_2^2\sin ^2\beta $
Sostituendo nell'espressione dell'energia si ricava:
$\sin ^2\beta = \frac{\sin ^2\alpha }{( 1 + K )^2 - \frac{K}{1 + K}\sin ^2\alpha} $
Mettendo valori numerici, nel caso della sfera omogenea si ha $K=2/5$; suponiamo $\alpha=30^\circ$. Si ricava:
$\beta = 21,336^\circ$
E' pure interessante trovare quale sia il coefficiente di attrito statico minimo necessario a garantire un comportamento siffatto. Dopo alcuni passaggi trigonometrici si ricava:
$\mu_(min) = \frac{\sin \alpha - \frac{v_2}{v_1}\sin \beta }{\cos \alpha + \frac{v_2}{v_1}\cos \beta }$
Coi valori numerici dati si trova $\mu_(min)=0,08$
Sia la situazione come in figura
Per la conservazione dell'energia si ha.
$E = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega _1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}I\omega _2^2 + \frac{1}{2}I\omega _z^2$
Le condizioni di rotolamento sono:
$\omega _1 = \frac{v_1}{R} $
$\omega _2 = \frac{v_2}{R} $
$\omega _z = - \frac{v_{2x}}{R} $
da cui posto $K=\frac{I}{mR^2}$ si può scrivere:
$v_1^2( 1 + K ) = v_2^2( 1 + K ) + Kv_{2x}^2$
La reazione della sponda dovuta all'attrito statico determina un momento che modifica il momento angolare proprio della palla secondo la relazione:
$I\omega _z=m( v_{2x} - v_{1x} )$
ovvero
$ - I\frac{v_{2x}}{R^2} = m( v_{2x} - v_{1x} )$
$v_{1x} = ( 1 + K )v_{2x}$
Altre relazioni utili:
$ v_{1x} = v_1\sin \alpha $
$ v_{2x} = v_2\sin \beta $
$ v_1^2\sin ^2\alpha = ( 1 + K )^2v_2^2\sin ^2\beta $
Sostituendo nell'espressione dell'energia si ricava:
$\sin ^2\beta = \frac{\sin ^2\alpha }{( 1 + K )^2 - \frac{K}{1 + K}\sin ^2\alpha} $
Mettendo valori numerici, nel caso della sfera omogenea si ha $K=2/5$; suponiamo $\alpha=30^\circ$. Si ricava:
$\beta = 21,336^\circ$
E' pure interessante trovare quale sia il coefficiente di attrito statico minimo necessario a garantire un comportamento siffatto. Dopo alcuni passaggi trigonometrici si ricava:
$\mu_(min) = \frac{\sin \alpha - \frac{v_2}{v_1}\sin \beta }{\cos \alpha + \frac{v_2}{v_1}\cos \beta }$
Coi valori numerici dati si trova $\mu_(min)=0,08$
La soluzione mi sembra torni, ammesso che l'energia cinetica si conservi.
Il fatto è che se c'è solo attrito statico e i corpi sono perfettamente rigidi (piano e sfera), ad una decelerazione del centro di massa deve corrispondere necessariamente una decelerazione angolare della sfera, ovvero la sfera deve trovarsi prima dell'urto già alla velocità angolare tale da avere una velocità periferica pari a quella del centro di massa rispetto al piano e, se ci sono forze che compiono lavoro, può variare la sua velocità angolare con lo stesso segno della variazione della velocità del centro di massa.
Se questo non si verifica significa che, o va adottato un modello diverso, come quello di sponda schematizzata come massa concentrata con molle che simulano l'elasticità, o deve essere presente inizialmente una forza di attrito radente che porta in rotazione la sfera, per poi passare istantaneamente al valore di forza di attrito statico nulla. Ma in questo caso l'energia cinetica non sarebbe conservata, andrebbe verificato che la sua variazione sia trascurabile.
Il fatto è che se c'è solo attrito statico e i corpi sono perfettamente rigidi (piano e sfera), ad una decelerazione del centro di massa deve corrispondere necessariamente una decelerazione angolare della sfera, ovvero la sfera deve trovarsi prima dell'urto già alla velocità angolare tale da avere una velocità periferica pari a quella del centro di massa rispetto al piano e, se ci sono forze che compiono lavoro, può variare la sua velocità angolare con lo stesso segno della variazione della velocità del centro di massa.
Se questo non si verifica significa che, o va adottato un modello diverso, come quello di sponda schematizzata come massa concentrata con molle che simulano l'elasticità, o deve essere presente inizialmente una forza di attrito radente che porta in rotazione la sfera, per poi passare istantaneamente al valore di forza di attrito statico nulla. Ma in questo caso l'energia cinetica non sarebbe conservata, andrebbe verificato che la sua variazione sia trascurabile.
"Falco5x":
[quote="nnsoxke"]Nel caso in cui, fissato un sistema di riferimento solidale ad uno dei due corpi nel punto di contatto questo è inerziale, dal bilancio energetico risulta che, dato che la forza di attrito statico non compie lavoro sull'altro corpo rispetto a tale sistema di riferimento, se non sono presenti altre forze che compiono lavoro, la forza di attrito è nulla.
Mi limito a esaminare questa affermazione inerente il caso inerziale e rilevo che è sbagliata.
E' sbagliata perché se è ben vero che la forza di attrito essendo statica non compie lavoro, e quindi l'energia totale si conserva, è anche vero che quando si tratta di corpo rigido (palla) l'energia cinetica è fatta da 2 componenti, quella relativa alla traslazione e quella relativa alla rotazione.
Dopo l'urto l'energia di traslazione risulta minore di quella prima dell'urto, perché parte di questa energia viene trasferita alla rotazione. E come è possibile ciò se il moto di puro rotolamento mette in relazione i due moti? dirai tu.
Ti rispondo che ciò è vero per la rotazione il cui asse è ortogonale al piano che passa per CM e il punto di contatto e sul quale giace la velocità del CM, ma qui si sviluppa dopo l'urto una seconda rotazione con momento angolare nella direzione dell'asse z (ortogonale al piano del biliardo), la quale è correlata non con il rotolamento sul piano del biliardo ma con la componente della velocità (dopo l'urto)parallela alla sponda. Insomma uno spin tipo trottola. E questo spin è fornito proprio dalla reazione impulsiva dovuta all'attrito statico tra sponda e palla, che anche se non compie lavoro modifica sia la quantità di moto della palla in senso parallelo alla sponda, sia il suo momento angolare.
Se domani ho tempo posto l'esercizio e i calcoli relativi.
Tutto ciò per dire (partendo dalla domanda iniziale) che la forza di attrito statico può anche essere l'unica forza presente nella sua direzione.[/quote]
Per sistema "solidale" ad uno dei due corpi con origine nel punto di contatto intendo quel sistema di riferimento che gli assi orientati come quelli propriamente solidali al corpo e l'origine che si sposta come il punto di contatto. Quindi l'inerzialità di questo sistema dipende, oltre che dall'inerzialità di quello solidale, anche dallo spostamento dell'origine, che dipende dalla forma dei corpi, dalla posizione del centro di massa.
Quello della sfera o del cilindro a sezione circolare, con centro di massa coincidente con il centro geometrico, che rotolano su un piano, sono casi particolari.
"nnsoxke":
La soluzione mi sembra torni, ammesso che l'energia cinetica si conservi.
Il fatto è che se c'è solo attrito statico e i corpi sono perfettamente rigidi (piano e sfera), ad una decelerazione del centro di massa deve corrispondere necessariamente una decelerazione angolare della sfera, ovvero la sfera deve trovarsi prima dell'urto già alla velocità angolare tale da avere una velocità periferica pari a quella del centro di massa rispetto al piano e, se ci sono forze che compiono lavoro, può variare la sua velocità angolare con lo stesso segno della variazione della velocità del centro di massa.
Se questo non si verifica significa che, o va adottato un modello diverso, come quello di sponda schematizzata come massa concentrata con molle che simulano l'elasticità, o deve essere presente inizialmente una forza di attrito radente che porta in rotazione la sfera, per poi passare istantaneamente al valore di forza di attrito statico nulla. Ma in questo caso l'energia cinetica non sarebbe conservata, andrebbe verificato che la sua variazione sia trascurabile.
Non sono d'accordo con te che una variazione di velocità del corpo o della sua rotazione debba necessariamente comportare un dispendio di energia, perché tali variazioni possono essere pensate istantanee senza strisciamento (è un'astrazione, siamo d'accordo, ma come tutte le astrazioni fisiche può essere ipotizzata). Riconosco però che il fenomeno degli urti è difficile da immaginare (e più che mai in 3 dimensioni) per cui in generale penso che la condizione di conservazione dell'energia non possa sempre avvenire con coefficienti di attrito finiti. Ma in questo caso il modello mi pare plausibile, poiché la palla cozzando contro la sponda rigida vi comunica essa stessa anche un impulso normale, dunque il rapporto tra questi due impulsi (tangenziale/normale) può essere finito e quindi compatibile con un attrito statico calcolabile.
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