Dubbio esistenziale sistemi rigidi
Ciao a tutti
ho questo dubbio, abbastanza stupido credo, che vorrei chiarire.
Se ho un corpo rigido e voglio descrivere i suoi movimenti posso fissare una terna di assi ortogonali $A$ su di esso che segue il corpo in OGNI suo movimento, che sia traslazione rotazione ecc.. e studiare il moto di $A$
Studiando un corpo che ruota attorno ad un proprio asse di simmetria e attorno ad un altro asse (es. trottola che precede), mi è capitato spesso di incontrare frasi del tipo : "nel sistema del corpo $vec omega$ è costante", allora mi chiedo:
1) Come è possibile che si veda una rotazione rispetto ad un sistema che si muove in tutto e per tutto con il corpo? L'unica risposta che mi vene è che in realtà non ci si riferisce a quel sistema , ma ad un sistema $S$ inclinato come il corpo che ha tre assi ortogonali.
2) Ma allora questo nuovo sistema $S$ , quando la trottola precede, deve ruotare i suoi assi in modo che quando torna nel punto di partenza gli assi tornano nella posizione di partenza.
Non sono per nulla convinto di questo però.
L'altra cosa che non capisco collegata a questo è la relazione di poisson :
$((dvec u)/dt)_(fisso)=((dvec u)/dt)_(rotante)+vec omega xx vec r$
In $vec omega xx vec r$ rispetto a cosa è riferito $vec omega$ ?
ho questo dubbio, abbastanza stupido credo, che vorrei chiarire.
Se ho un corpo rigido e voglio descrivere i suoi movimenti posso fissare una terna di assi ortogonali $A$ su di esso che segue il corpo in OGNI suo movimento, che sia traslazione rotazione ecc.. e studiare il moto di $A$
Studiando un corpo che ruota attorno ad un proprio asse di simmetria e attorno ad un altro asse (es. trottola che precede), mi è capitato spesso di incontrare frasi del tipo : "nel sistema del corpo $vec omega$ è costante", allora mi chiedo:
1) Come è possibile che si veda una rotazione rispetto ad un sistema che si muove in tutto e per tutto con il corpo? L'unica risposta che mi vene è che in realtà non ci si riferisce a quel sistema , ma ad un sistema $S$ inclinato come il corpo che ha tre assi ortogonali.
2) Ma allora questo nuovo sistema $S$ , quando la trottola precede, deve ruotare i suoi assi in modo che quando torna nel punto di partenza gli assi tornano nella posizione di partenza.
Non sono per nulla convinto di questo però.
L'altra cosa che non capisco collegata a questo è la relazione di poisson :
$((dvec u)/dt)_(fisso)=((dvec u)/dt)_(rotante)+vec omega xx vec r$
In $vec omega xx vec r$ rispetto a cosa è riferito $vec omega$ ?
Risposte
Allora, ho letto e riflettuto, e ho capito che ad ogni corpo rigido posso fissare un sistema di riferimento che lo segue in tutto e per tutto, e per quanto riguarda solo le rotazioni, studiare le rotazioni degli assi del sistema fisso al corpo.
Quindi $vec omega$ è la variazione dei versori che definiscono la terna ortogonale ancorata al corpo, vista da un sistema di riferimento ($xyz$) fisso a terra e inerziale.
Trovo però ancora difficoltà a capire il moto della trottola sia libera che con presenza di peso.
Da un sistema fisso si vede che la trottola ha una certa velocità angolare $vec omega$ che non si trova sul suo asse di simmetria, in quanto compie anche una precessione e mi verrebbe da dire che accade la stessa cosa per il momento angolare $vec L$,(e quindi $vec omega$ è parallelo a $ vec L$) ma è così?
l'altra cosa che non capisco è il punto 2.a di questo file
e in particolare perchè il momento angolare è rivolto così.
Quindi $vec omega$ è la variazione dei versori che definiscono la terna ortogonale ancorata al corpo, vista da un sistema di riferimento ($xyz$) fisso a terra e inerziale.
Trovo però ancora difficoltà a capire il moto della trottola sia libera che con presenza di peso.
Da un sistema fisso si vede che la trottola ha una certa velocità angolare $vec omega$ che non si trova sul suo asse di simmetria, in quanto compie anche una precessione e mi verrebbe da dire che accade la stessa cosa per il momento angolare $vec L$,(e quindi $vec omega$ è parallelo a $ vec L$) ma è così?
l'altra cosa che non capisco è il punto 2.a di questo file
e in particolare perchè il momento angolare è rivolto così.
Nessuno riesce ad aiutarmi? 
Mi piacerebbe capire per bene questa cosa!
Mi piacerebbe capire per bene questa cosa!
Innanzitutto ricorda che il vettore velocità angolare non ha in generale la stessa direzione del vettore momento angolare, questo è vero solo se il corpo ruota attorno ad un asse di simmetria e non ci sono momenti di forze esterne applicati (cosi che sia la velocità angolare che il momento angolare restano costanti).
Non capisco quale sia il dubbio esatto: nel pdf che indichi, nel punto 2a si dice che la trottola ha un asse di simmetria, che non ci sono momenti esterni applicati e si suppone che la velocità angolare abbia ad un certo istante una direzione generica, così come il momento angolare. Poi si fanno considerazioni sulla velocità angolare (che per quanto detto non è diretta come il momento angolare) e sulla evoluzione della velocità angolare (il momento angolare deve restare costante, se non ci sono momenti esterni).
Non capisco quale sia il dubbio esatto: nel pdf che indichi, nel punto 2a si dice che la trottola ha un asse di simmetria, che non ci sono momenti esterni applicati e si suppone che la velocità angolare abbia ad un certo istante una direzione generica, così come il momento angolare. Poi si fanno considerazioni sulla velocità angolare (che per quanto detto non è diretta come il momento angolare) e sulla evoluzione della velocità angolare (il momento angolare deve restare costante, se non ci sono momenti esterni).
Non capisco data la velocità angolare perchè il momento angolare sia diretto così.
Facendo $vec r xx mvec v$,per tutte le particelle componenti la trottola, rispetto al punto fisso viene il momento angolare diretto in quel modo?
Stesso dubbio ce l'ho in presenza del peso. Capisco che il momento angolare non sarà costante poichè la forza peso genera un momento perpendicolare a $vec L$ ma non riesco a visualizzare come è rivolto.
Se $vec omega =vec omega_(text(precessione))+vec omega_(text(rotazione))$ (dove per rotazione intendo attorno al proprio asse ) proiettandola sull'asse della trottola e sull'asse verticale, allora ogni particella avrà una velocità che è la somma del contributo dato dalla rotazione attorno al proprio asse e dalla rotazione attorno all'asse verticale. Ma facendo la somma vettoriale di tutti i momenti angolari per quanto possibile non mi sembra che $vec L $ venga come è disegnato nel pdf, forse sbaglio qualcosa.
In presenza del peso non dovrebbe essere rivolto allo stesso modo a parità di velocità angolare? Con la differenza che essendoci il momento della forza peso questo ne modifica la direzione?
Facendo $vec r xx mvec v$,per tutte le particelle componenti la trottola, rispetto al punto fisso viene il momento angolare diretto in quel modo?
Stesso dubbio ce l'ho in presenza del peso. Capisco che il momento angolare non sarà costante poichè la forza peso genera un momento perpendicolare a $vec L$ ma non riesco a visualizzare come è rivolto.
Se $vec omega =vec omega_(text(precessione))+vec omega_(text(rotazione))$ (dove per rotazione intendo attorno al proprio asse ) proiettandola sull'asse della trottola e sull'asse verticale, allora ogni particella avrà una velocità che è la somma del contributo dato dalla rotazione attorno al proprio asse e dalla rotazione attorno all'asse verticale. Ma facendo la somma vettoriale di tutti i momenti angolari per quanto possibile non mi sembra che $vec L $ venga come è disegnato nel pdf, forse sbaglio qualcosa.
In presenza del peso non dovrebbe essere rivolto allo stesso modo a parità di velocità angolare? Con la differenza che essendoci il momento della forza peso questo ne modifica la direzione?
"Cuppls":
Ma facendo la somma vettoriale di tutti i momenti angolari per quanto possibile non mi sembra che $vec L $ venga come è disegnato nel pdf.
Come fai a fare la somma? A occhio?
Per calcolare il momento angolare di un corpo rigido rotante occorre passare per il tensore di inerzia del corpo: il prodotto tra il tensore di inerzia e il vettore velocità angolare dà il momento angolare rispetto alla terna di riferimento. Quindi di quanto la velocità angolare si discosta dalla direzione del vettore velocità angolare dipende da quanto sono diversi i momenti principali e da come è orientato il vettore velocità angolare rispetto ad una terna principale di inerzia. Quindi non è qualcosa che puoi fare ad occhio.
Questi sono concetti di meccanica razionale, se stai studiando fisica1 fidati che ad occhio non puoi dire molto.
"Cuppls":
In presenza del peso non dovrebbe essere rivolto allo stesso modo a parità di velocità angolare? Con la differenza che essendoci il momento della forza peso questo ne modifica la direzione?
Sì certo, se c'è il peso volevo sottolineare che il vettore velocità angolare non è costante.
Provo con un disegnino mio a chiarire la figura del libro.
Sia dato un cilindro libero che ruota sia attorno al proprio asse z con velocità angolare $\omega$, sia con velocità di precessione $\Omega$ attorno a un asse fisso $a$.
In rosso le velocità angolari, in blu i momenti angolari.
Per come sono stati scelti l'asse z e l'asse x, si tratta di assi principali di inerzia, i quali godono della proprietà che quando il solido ruota secondo uno di questi assi il momento angolare è anch'esso allineato con detto asse e la matrice di inerzia è solo diagonale.
Ho scelto le dimensioni del cilindro in modo che $I_x=2I_z$.
La configurazione delle velocità è possibile solo quando il momento angolare risultante è allineato con l'asse di precessione. In tal modo il vettore $L$ rimane costante durante il moto.
Pertanto data una certa $\omega$, assegnata l'inclinazione dell'asse z con l'asse a (nel disegno è 30°), la $\Omega$ di precessione possibile è soltanto una, quella cioè la cui componente x dà luogo a una componente di momento angolare in direzione x che sommata alla componente z riporta il momento totale a essere assiale con l'asse di precessione.
Edit: le frecce rosse e la $L$ partono tutte dallo stesso punto di origine. La $L_\omega$ parte dall'origine, poi le altre componenti di $L$ sono messe in prosecuzione l'una dell'altra, in modo da evidenziarne la somma vettoriale.
Sia dato un cilindro libero che ruota sia attorno al proprio asse z con velocità angolare $\omega$, sia con velocità di precessione $\Omega$ attorno a un asse fisso $a$.
In rosso le velocità angolari, in blu i momenti angolari.
Per come sono stati scelti l'asse z e l'asse x, si tratta di assi principali di inerzia, i quali godono della proprietà che quando il solido ruota secondo uno di questi assi il momento angolare è anch'esso allineato con detto asse e la matrice di inerzia è solo diagonale.
Ho scelto le dimensioni del cilindro in modo che $I_x=2I_z$.
La configurazione delle velocità è possibile solo quando il momento angolare risultante è allineato con l'asse di precessione. In tal modo il vettore $L$ rimane costante durante il moto.
Pertanto data una certa $\omega$, assegnata l'inclinazione dell'asse z con l'asse a (nel disegno è 30°), la $\Omega$ di precessione possibile è soltanto una, quella cioè la cui componente x dà luogo a una componente di momento angolare in direzione x che sommata alla componente z riporta il momento totale a essere assiale con l'asse di precessione.
Edit: le frecce rosse e la $L$ partono tutte dallo stesso punto di origine. La $L_\omega$ parte dall'origine, poi le altre componenti di $L$ sono messe in prosecuzione l'una dell'altra, in modo da evidenziarne la somma vettoriale.
Grazie delle risposte!
Allora, il momento di inerzia $I_y$ non lo hai mensionato perchè si non c'è velocità angolare lungo $y$ giusto?
Nel caso in cui fosse presente la forza peso il momento angolare quindi parte da come l hai disegnato tu e varia descrivendo un cono nello spazio, stessa cosa vale per la velocità angolare totale, è così?
Un altro dubbio:
il nostro prof per ricavare la relazione $vec L = I vec omega$ è partito considerando un corpo con un punto fisso con il corpo che gli ruota attorno.
Poi tramite la relazione di poisson $vec v=vec v' +vec omega xx vec r$ si ricava la velocità di un punto del sistema, dice che $v'=0$ nel sistema del corpo, poichè essendo un corpo rigido i suoi punti sono fissi.
Quindi dall'energia cinetica $T=int_text(corpo) rho(vec r)(vec omega xx vec r)^2 d vec r$ si ricava tramite vari passaggi la relazione.
Una cosa che dice ricavando la relazione è: "$vec omega$ è la velocità angolare del corpo vista nel sistema solidale col corpo",se non ho sbagliato a prendere gli appunti non capisco quale sia questo sistema di riferimento, non può essere di certo quello saldato al corpo che utilizziamo per descrivere i movimenti del corpo, e allora qual è?
Allora, il momento di inerzia $I_y$ non lo hai mensionato perchè si non c'è velocità angolare lungo $y$ giusto?
Nel caso in cui fosse presente la forza peso il momento angolare quindi parte da come l hai disegnato tu e varia descrivendo un cono nello spazio, stessa cosa vale per la velocità angolare totale, è così?
Un altro dubbio:
il nostro prof per ricavare la relazione $vec L = I vec omega$ è partito considerando un corpo con un punto fisso con il corpo che gli ruota attorno.
Poi tramite la relazione di poisson $vec v=vec v' +vec omega xx vec r$ si ricava la velocità di un punto del sistema, dice che $v'=0$ nel sistema del corpo, poichè essendo un corpo rigido i suoi punti sono fissi.
Quindi dall'energia cinetica $T=int_text(corpo) rho(vec r)(vec omega xx vec r)^2 d vec r$ si ricava tramite vari passaggi la relazione.
Una cosa che dice ricavando la relazione è: "$vec omega$ è la velocità angolare del corpo vista nel sistema solidale col corpo",se non ho sbagliato a prendere gli appunti non capisco quale sia questo sistema di riferimento, non può essere di certo quello saldato al corpo che utilizziamo per descrivere i movimenti del corpo, e allora qual è?
"Cuppls":
Nel caso in cui fosse presente la forza peso il momento angolare quindi parte da come l hai disegnato tu e varia descrivendo un cono nello spazio, stessa cosa vale per la velocità angolare totale, è così?
In questo caso sarebbe necessario cambiare il disegno, ma cerco di esprimermi a parole.
Il mio disegno riporta il caso di una rotazione composta, effettuata attorno al CM del corpo. Possiamo immaginare il cilindro libero in assenza di peso ad esempio nella stazione spaziale internazionale, e questo è uno dei suoi modi di rotazione possibili.
La stessa rotazione si avrebbe se il corpo pur in presenza di gravità fosse in qualche modo sospeso esattamente per il suo CM (cosa non realizzabile nel caso esemplificato, ma diciamolo per pura ipotesi).
Il caso di precessione indotta dalla gravità avviene invece quando il punto di sospensione non coincide col CM, nel qual caso la forza di gravità opera un momento meccanico non nullo rispetto al CM. E' il caso della trottola appoggiata con la punta a un piano. Allora il momento meccanico è un vettore orizzontale e rappresenta la variazione del momento angolare.
Nel caso del mio disegno il tutto andrebbe modificato in modo che il momento angolare L risultante non fosse più allineato con l'asse $a$ verticale, ma sarebbe inclinato di un certo angolo. Se prendi il mio disegno, immagina una $\Omega$ molto minore di quella disegnata. Essa darebbe luogo a una componente x del momento angolare $\L_(\omega_x)$ molto più corta, dunque il momento $\L$ totale risulterebbe inclinato e assai vicino all'asse $z$. Questo momento angolare inclinato girerebbe con velocità angolare $\Omega$ attorno all'asse $a$ grazie al fatto che esisterebbe un momento meccanico non nullo che ne produrrebbe la variazione (la derivata). Anche questa situazione renderebbe stabile l'angolo di inclinazione dell'asse $z$, ma sarebbe sostanzialmente molto diversa dalla precedente.
"Cuppls":
Una cosa che dice ricavando la relazione è: "$vec omega$ è la velocità angolare del corpo vista nel sistema solidale col corpo",se non ho sbagliato a prendere gli appunti non capisco quale sia questo sistema di riferimento, non può essere di certo quello saldato al corpo che utilizziamo per descrivere i movimenti del corpo, e allora qual è?
Quando si parla di sistemi di riferimento è facile fare confusione.
Allora, prendendo sempre il mio disegno, diciamo che i vettori rappresentati sono una fotografia fatta in un certo istante nel sistema inerziale assoluto, cioè nel sistema che vede $a$ come asse verticale e un piano orizzontale centrato nel CM del corpo, con due assi ortogonali e fissi tracciati su di esso che si incontrano in quel punto.
Supponiamo poi un sistema O con asse verticale inclinato z e assi ortogonali a questo x e y. Si tratta proprio degli assi che ho disegnato io. L'asse z nel suo moto circolare con velocità angolare $\Omega$ descrive attorno ad a un cono. Analogamente fanno gli assi x e y. Si tratta dunque di un sistema in moto relativo rotatorio con velocità angolare $\Omega$ attorno al sistema fisso.
In questo sistema c'è poi un corpo che si muove a sua volta di moto rotatorio: lo chiamiamo O', ha l'asse z' allineato con l'asse z e gli assi x' e y' solidali con esso. Questo corpo ruota con velocità angolare $\omega$ attorno all'asse z del sistema relativo precedente.
Allora per la regola di composizione di moti, noi sappiamo che la velocità assoluta di un punto è uguale alla somma della velocità relativa, cioè quella del punto rispetto al sistema relativo, più la velocità di trascinamento, cioè quella velocità che avrebbe un punto fisso nel sistema relativo, sovrapposto al punto mobile considerato.
In questo caso dunque un qualsiasi punto del cilindro ha velocità angolare assoluta che si ottiene sommando la velocità relativa ($\omega$) con quella di trascinamento ($\Omega$).
Ora però, se dimentichiamo il senso fisico di queste velocità angolari e le consideriamo semplicemente dei vettori, in termini di componenti noi possiamo valutarle in qualsiasi sistema di riferimento, cioè non solo nel sistema fisso, ma anche nel sistema relativo O e nel sistema solidale O'. La ragione per cui a volte è necessario fare questo è ad esempio chiara anche in questo caso: per calcolare il momento angolare dovuto alla rotazione di un corpo rigido, è necessario passare attraverso il concetto di momento di inerzia, che è un concetto intrinsecamente legato alla geometria del corpo. Dunque bisogna proprio vedere le componenti di $\omega$ rispetto al sistema solidale O' per poter calcolare la $L_\omega$, in particolare occorre scomporre la $\omega$ lungo i tre assi centrali di inerzia, moltiplicare le componenti trovate per i tre rispettivi momenti di inerzia e trovare così il momento angolare dovuto alla rotazione $\omega$. Non solo: anche la rotazione $\Omega$ va scomposta in modo solidale al corpo per trovare le componenti di $\L_\Omega$.
Nel caso disegnato la cosa è semplice perché il momento di inerzia lungo x' o y' è sempre lo stesso, e quindi possiamo dire che la componente x del momento angolare valutata nel sistema relativo O non varia durante la rotazione, anche se x non è solidale con il corpo. Ma pensa quale guazzabuglio uscirebbe se invece di essere un cilindro simmetrico fosse un generico sasso per niente regolare! la componente del momento angolare secondo x cambierebbe mano a mano che il sasso ruota, dando luogo a un moto talmente complicato che non si potrebbe più parlare di semplice precessione.
Oopss... mi sono un tantino dilungato, chiedo scusa.
Ringrazio tanto tutti e 2, mi avete tolto moltissime incertezze!
Solo un'ultima cosa ( a meno di dubbi che non mi faranno dormire la notte
), se ho capito bene quando si parla della velocità angolare del corpo nel sistema saldato al corpo, si ''pensa'' esclusivamente ai vettori, senza stare a considerare che non vedrei nessun movimento del corpo se mi trovassi sopra al corpo, e questo si fa perchè conviene considerare grandezze ,come il momento angolare, che si trovano espresse in maniera più semplice in alcuni sistemi di riferimento piuttosto che in altri (assi centrali di inerzia).
Solo un'ultima cosa ( a meno di dubbi che non mi faranno dormire la notte
), se ho capito bene quando si parla della velocità angolare del corpo nel sistema saldato al corpo, si ''pensa'' esclusivamente ai vettori, senza stare a considerare che non vedrei nessun movimento del corpo se mi trovassi sopra al corpo, e questo si fa perchè conviene considerare grandezze ,come il momento angolare, che si trovano espresse in maniera più semplice in alcuni sistemi di riferimento piuttosto che in altri (assi centrali di inerzia).
Atavo ripensando a questo quesito e mi è venuto un dubbio. Dato che non tutte le velocità sono permesse, ma solo quelle che conservano L possono sussistere, mi chiedevo :
Siamo in assenza di gravità e abbiamo una trottola che ruota inclinata come nella figura di Falco, ma senza precedere. Avrà un certo L diretto sul suo asse. Se adesso gli diamo una spinta per farla precedere non può andate tutto l impulso nella velocità di precessione , ma solo la quantità che conserva L in posizione verticale, il resto che fine farebbe??
Siamo in assenza di gravità e abbiamo una trottola che ruota inclinata come nella figura di Falco, ma senza precedere. Avrà un certo L diretto sul suo asse. Se adesso gli diamo una spinta per farla precedere non può andate tutto l impulso nella velocità di precessione , ma solo la quantità che conserva L in posizione verticale, il resto che fine farebbe??
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