Dubbio descrizione delle onde
Avrei un dubbio sulla descrizione delle onde tramite la $f(x,t)=fe^(i(kx-\omegat))$.
Il mio dubbio è il seguente: immagino un'onda propagarsi in una corda e noto intuitivamente che l'oscillazione (spostamento sull'asse y=f(x,t)) che chiamo f avviene con variabili di tempo e spazio.
f(x,t) dipende quindi da tempo e spazio, posso disegnare due grafici sezionando il grafico 3D e pongo un grafico bidimensionale con ascisse x e ordinate f e uno con ascisse t e ordinate f.
Vi è inoltre un legame tra t e x poiché a un certo spostamento nello spazio (ossia avanzare sulle x) posso tramite la velocità trovare anche un valore dello spostamento nell'asse dei tempi per cui corrisponde lo stesso valore di f, in particolare si ha per legame: $T=\lambda/v$.
Però a questo punto non capisco perché usare due variabili, intendo dire: se a un certo variare di x corrisponde un certo variare di t (e univocamente solo quel t) che senso ha descrivere l'onda con x e t? Basta solo una delle due.
Infatti per un certo spostamento sulle x corrisponde solo un certo tempo in cui è avvenuto e viceversa, quindi per desrivere f basterebbe solo una delledue, tanto non posso avereuna variazione del tempo senza un correlato spostamento.
Non so se ho reso bene il dubbio
Grazie per gli aiuti!
Il mio dubbio è il seguente: immagino un'onda propagarsi in una corda e noto intuitivamente che l'oscillazione (spostamento sull'asse y=f(x,t)) che chiamo f avviene con variabili di tempo e spazio.
f(x,t) dipende quindi da tempo e spazio, posso disegnare due grafici sezionando il grafico 3D e pongo un grafico bidimensionale con ascisse x e ordinate f e uno con ascisse t e ordinate f.
Vi è inoltre un legame tra t e x poiché a un certo spostamento nello spazio (ossia avanzare sulle x) posso tramite la velocità trovare anche un valore dello spostamento nell'asse dei tempi per cui corrisponde lo stesso valore di f, in particolare si ha per legame: $T=\lambda/v$.
Però a questo punto non capisco perché usare due variabili, intendo dire: se a un certo variare di x corrisponde un certo variare di t (e univocamente solo quel t) che senso ha descrivere l'onda con x e t? Basta solo una delle due.
Infatti per un certo spostamento sulle x corrisponde solo un certo tempo in cui è avvenuto e viceversa, quindi per desrivere f basterebbe solo una delledue, tanto non posso avereuna variazione del tempo senza un correlato spostamento.
Non so se ho reso bene il dubbio
Grazie per gli aiuti!
Risposte
Se usi solo la x hai una foto dell onda, se metti pure t hai una foto che si muove
Ciao,
ma se la coordinata spaziale è collegata a quella temporale da $T=\lambda/v$ non riesco bene a capire perché. Come ripeto a tot spostamento corrisponde per forza uno spostamento della coordinata temporale: non puoi bloccare una ma non l'altra (penso alla corda a tot spostamento tot tempo).
ma se la coordinata spaziale è collegata a quella temporale da $T=\lambda/v$ non riesco bene a capire perché. Come ripeto a tot spostamento corrisponde per forza uno spostamento della coordinata temporale: non puoi bloccare una ma non l'altra (penso alla corda a tot spostamento tot tempo).
Non ho perfettamente chiaro il tuo dubbio, ma provo a raccontarti qualcosa, magari lo chiarisco.
Pensa ad un'onda su corda per fissare le idee, però il discorso è valido più in generale.
Noi possiamo descrivere lo scostamento verticale $y$ dalla posizione di equilibrio tramite una funzione $h:RR^2 rarr RR$ che associa $(x,t) rarr y$. Affinchè questa perturbazione sia un'onda (non dispersiva) chiediamo però una cosa in più, ovvero che esista una funzione $f: RR rarr RR$ e che esista $v in RR$ tali che $h(x,t)=f(x-vt), AA x,t in RR, t>=0$
Per compattezza di notazione possiamo chiamare $z:=x-vt$
(sa fai due conti ottieni che $(partial^2 y)/(partial x^2) =v^2 (partial^2 y)/(partial t^2)$, che è l'equazione di d'alembert per le onde)
Quindi effettivamente è vero sarebbe sufficiente una variabile ($z$) per descrivere l'onda. Questa funzione però da sola ci dice poco a livello fisico, è molto più comodo avere una funzione del tempo e dello spazio che di una variabile "astratta" come $x-vt$.
Non capisco esattamente cosa intendi qua.
Cosa vuol dire per un certo spostamento sulle x? Chi si sposta sulle x? E che cosa avviene?
$x$ e $t$ variano in modo indipendente, non c'è correlazione tra di loro. Se fissi però uno scostamento verticale $y$ dalla condizione di equilibrio allora a quel punto si crea un vincolo su $x$ e $t$ (in particolare $y=f(x-vt)$) e di conseguenza conosci tutte le coppie $(x,t)$ in cui è possibile avere un scostamento $y$ dalla posizione di equlibrio (che idealmente nell'astrazione matematica sono infinite, non una).
Se perfavore riesci a riformulare meglio ne possiamo parlare
Pensa ad un'onda su corda per fissare le idee, però il discorso è valido più in generale.
Noi possiamo descrivere lo scostamento verticale $y$ dalla posizione di equilibrio tramite una funzione $h:RR^2 rarr RR$ che associa $(x,t) rarr y$. Affinchè questa perturbazione sia un'onda (non dispersiva) chiediamo però una cosa in più, ovvero che esista una funzione $f: RR rarr RR$ e che esista $v in RR$ tali che $h(x,t)=f(x-vt), AA x,t in RR, t>=0$
Per compattezza di notazione possiamo chiamare $z:=x-vt$
(sa fai due conti ottieni che $(partial^2 y)/(partial x^2) =v^2 (partial^2 y)/(partial t^2)$, che è l'equazione di d'alembert per le onde)
Quindi effettivamente è vero sarebbe sufficiente una variabile ($z$) per descrivere l'onda. Questa funzione però da sola ci dice poco a livello fisico, è molto più comodo avere una funzione del tempo e dello spazio che di una variabile "astratta" come $x-vt$.
Non capisco esattamente cosa intendi qua.
"lozaio":
Infatti per un certo spostamento sulle x corrisponde solo un certo tempo in cui è avvenuto e viceversa
Cosa vuol dire per un certo spostamento sulle x? Chi si sposta sulle x? E che cosa avviene?
$x$ e $t$ variano in modo indipendente, non c'è correlazione tra di loro. Se fissi però uno scostamento verticale $y$ dalla condizione di equilibrio allora a quel punto si crea un vincolo su $x$ e $t$ (in particolare $y=f(x-vt)$) e di conseguenza conosci tutte le coppie $(x,t)$ in cui è possibile avere un scostamento $y$ dalla posizione di equlibrio (che idealmente nell'astrazione matematica sono infinite, non una).
Se perfavore riesci a riformulare meglio ne possiamo parlare
Ma dai, lui dice che se ti sposti di 5 metri, ci avrai messo del tempo, quindi a cosa serve!
Certo che se 5 metri li faccio in un anno.....o in 3 secondi cambia
Certo che se 5 metri li faccio in un anno.....o in 3 secondi cambia
"Lucacs":
quindi a cosa serve!
Cosa a cosa serve
Dici che sono stato troppo formale? Putroppo non so che cosa studia
No.per lui, il tempo è inutile, non serve
"LoreT314":
Non ho perfettamente chiaro il tuo dubbio, ma provo a raccontarti qualcosa, magari lo chiarisco.
Pensa ad un'onda su corda per fissare le idee, però il discorso è valido più in generale.
Noi possiamo descrivere lo scostamento verticale $y$ dalla posizione di equilibrio tramite una funzione $h:RR^2 rarr RR$ che associa $(x,t) rarr y$. Affinchè questa perturbazione sia un'onda (non dispersiva) chiediamo però una cosa in più, ovvero che esista una funzione $f: RR rarr RR$ e che esista $v in RR$ tali che $h(x,t)=f(x-vt), AA x,t in RR, t>=0$
Per compattezza di notazione possiamo chiamare $z:=x-vt$
(sa fai due conti ottieni che $(partial^2 y)/(partial x^2) =v^2 (partial^2 y)/(partial t^2)$, che è l'equazione di d'alembert per le onde)
Quindi effettivamente è vero sarebbe sufficiente una variabile ($z$) per descrivere l'onda. Questa funzione però da sola ci dice poco a livello fisico, è molto più comodo avere una funzione del tempo e dello spazio che di una variabile "astratta" come $x-vt$.
Non capisco esattamente cosa intendi qua.
[quote="lozaio"]Infatti per un certo spostamento sulle x corrisponde solo un certo tempo in cui è avvenuto e viceversa
Cosa vuol dire per un certo spostamento sulle x? Chi si sposta sulle x? E che cosa avviene?
$x$ e $t$ variano in modo indipendente, non c'è correlazione tra di loro. Se fissi però uno scostamento verticale $y$ dalla condizione di equilibrio allora a quel punto si crea un vincolo su $x$ e $t$ (in particolare $y=f(x-vt)$) e di conseguenza conosci tutte le coppie $(x,t)$ in cui è possibile avere un scostamento $y$ dalla posizione di equlibrio (che idealmente nell'astrazione matematica sono infinite, non una).
Se perfavore riesci a riformulare meglio ne possiamo parlare
[/quote]Grazie per la risposta,in realtà anche se non avevi capito la domanda per colpa mia di essermi spiegato male ci stiamo avvicinando al dubbio e hai fatto davvero molta chiarezza. Grazie davvero!
Quando dici di fissare una variabile z che racchiuda le due informazioni spazio-temporali è quello che crecavo idealmente di fare in apertura, nel post. Il punto è che non capisco perché debba essere: $z=x-vt$, quello che voglio dire è questo nella parte da te quotata: fisso uno spostamento del mezzo (mettiamo una corda) sulle y e vedo che l'oscillazione completa (0->max->0) della corda avviene in un certo tempo t, tuttavia grazie alla velocità v creo un legame tra tempo e spazio x=vt (la coordinata spaziale x indica lo spostamento della gobba della corda per una lunghezza). A questo punto uno scostamento y sulle ordinate può avvenire tenedo come unica coordinata (ascissa) o t o x. Intendo dire che uno spostamento y si ha (grazie al legame stabilito tra x e t tramite v) dopo un tatto x o dopo un tempo t. (Tipo le figure qui http://www.openfisica.com/fisica_iperte ... lambda.php )
Non capisco perché ci sia invece un meno nella formula $z=x-vt$.
Fatico un po' a spiegarlo a parole, spero di esser stato più chiaro, nel caso ci riprovo. Grazie per la pazienza e l'aiutone.
"lozaio":
Non capisco perché ci sia invece un meno nella formula $z=x-vt$.
Provo a spiegartelo. Se l'argomento della funzione è $z = x - vt$, questo significa che il valore della funzione dipenda da $z$, cioè la forma della funzione è determinata da $z$. Mettiamo, per fissare le idee, che la funzione abbia una campana nell'intorno di $z = 0$, e sia zero altrove; una specie di impulso singolo. Questo significa che la posizione spaziale della campana è determinata dalla condizione $x - vt = 0$ ossia $x = vt$, in altre parole la funzione rappresenta un impulso che si muove verso le x positive con velocità $v$.
Analogamente un impulso che si muove a sinistra avrò come argomento della funzione $x + vt$
"lozaio":
fisso uno spostamento del mezzo (mettiamo una corda) sulle y e vedo che l'oscillazione completa (0->max->0) della corda avviene in un certo tempo t, tuttavia grazie alla velocità v creo un legame tra tempo e spazio x=vt
No qua stai facendo confusione. Non c'è alcun spostamento della corda lungo l'asse x. Immagina la corda tesa inizialmente in quiete e che scegliamo per descrivere il moto di piazzare un righello sotto la corda: sarà il nostro asse $x$. Una volta che la corda è perturbata però non c'è alcuno spostamento di essa rispetto all'asse x. Per dire, se colori con un pennarello un pezzo di corda che sta sopra il punto $x=3m$, anche quando la corda subisce la perturbazione, il pezzo di corda colorato resterà sempre sopra al punto $x=3m$. La velocità dell'onda non ti dice quanto velocemente la corda si sposta lungo l'asse x, quindi non è vero che $x=vt$ nel senso in cui intendi tu. Sarà invece vero che $lambda=vT$ dove $lambda$ è la lunghezza d'onda e $T$ è il periodo.
Spazio e tempo variano in modo indipendente, tu puoi fissare un certo tempo (come se fotografassi la corda) e spostarti lungo il righello per vedere di quanto è scostata verticalmente la corda, oppure puoi fissare un certo punto $x$ sul righello e vedere la corda andare su e giù con il passare del tempo.
Il bello però è che ciò che determina lo scostamento $y$ dipende solo da $x-vt$. Quindi supponi ad esempio che l'onda si propaghi con velocità $v$ e alla coppia $(x_1,t_1)$ hai uno spostamento $y$. Se prendi un'altra coppia $(x_2, t_2)$ tale che $x_1-vt_1=x_2-vt_2$ sei sicuro di ritrovarti lo stesso scostamento $y$. In questo senso lo scostamento $y$ non dipende direttamente da $x$ e $t$ ma solo da $x-vt$. Infatti se cambio coppia ma faccio in modo di mantenere lo stesso valore di $x-vt$ mi troverò lo stesso scostamento $y$.
In realtà la soluzione generale dell'equazione di D'Alembert è della forma $y=f(x-vt)+g(x+vt)$, utile ad esempio quando ci sono fenomeni di riflessione, onde stazionarie ecc, però per chiarire il tuo dubbio credo sia meglio pensare prima a questo caso più comune
Ok credo proprio di aver capito l'erroraccio che stavo commettendo nell'interpretazione della situzione fisica.
C'è un ultimo punto che non ho ben capito, noi abbiamo parlato di f(x-vt) però perché di solito si usa: $f(x,t)=fe^(i(kx-\omegat))$, ci sono degli $omega$ e $k$.
Purtroppo sta parte la sto iniziando a studiare ora e come vedete sono molto ma molto confuso.
Scusatemi e grazie
C'è un ultimo punto che non ho ben capito, noi abbiamo parlato di f(x-vt) però perché di solito si usa: $f(x,t)=fe^(i(kx-\omegat))$, ci sono degli $omega$ e $k$.
Purtroppo sta parte la sto iniziando a studiare ora e come vedete sono molto ma molto confuso.
Scusatemi e grazie
Quella è l'equazione di un caso particolare di onde, quelle sinusoidali. Esse sono della forma $y(x,t)=Acos(kx-omegat+phi)$. Affinchè soddisfino l'equazione di D'Alembert deve essere $omega/k=v$. Lo vedi facilmente raccogliendo $k$ nell'argomento del seno.
Spesso per i calcoli con queste funzioni è comodo usare il formalismo complesso (per sfruttare le proprietà dell'esponenziale complesso). Quindi si definisce una funzione $xi:RR rarr CC$ tale che $Re(xi(x,t))=y(x,t), AA x,t in RR, t>=0$. Di conseguenza avrà la forma $xi(x,t)=B e^(i(omega t-kx))$, dove $B=Ae^(i phi)$
Non tutte le onde sono sinusoidali, ad esempio la tipica "gobba" che si muove lungo la corda non lo è.
Spesso per i calcoli con queste funzioni è comodo usare il formalismo complesso (per sfruttare le proprietà dell'esponenziale complesso). Quindi si definisce una funzione $xi:RR rarr CC$ tale che $Re(xi(x,t))=y(x,t), AA x,t in RR, t>=0$. Di conseguenza avrà la forma $xi(x,t)=B e^(i(omega t-kx))$, dove $B=Ae^(i phi)$
Non tutte le onde sono sinusoidali, ad esempio la tipica "gobba" che si muove lungo la corda non lo è.
"lozaio":
di solito si usa: $f(x,t)=fe^(i(kx-\omegat))$, ci sono degli $omega$ e $k$.
Beh, non ti devi scusare proprio di niente...
Quanto a $e^(i(kx - omegat))$ questo si usa in genere quando la si vuol mettere giù dura. I comuni mortali di solito scrivono qualcosa come $sin(kx-omegat)$ oppure $sin(2pi(x/lambda - t/T))$ ma non è che cambi molto.
Comunque devi vedere che l'argomento del seno deve essere adimensionale, $lambda$ ha dimensione $L$ e $T$ di un tempo; $lambda$ rappresenta la lunghezza d'onda e $T$ il periodo. Infatti vedi che se $x$ aumenta di $lambda$ l'argomento aumenta di $2pi$ e la funzione resta identica, idem se $t$ aumenta di $T$
Grazie. Mi avete aiutato tantissimo a inquadrare i dubbi della prima lettura/studio. Continuo sul tracciato.
Non so come ringraziarvi
Non so come ringraziarvi
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