Dubbi teorici sulle piccole oscillazioni (dal Landau)
Salve a tutti, come ultimamente mi sta succedendo spesso, la lettura del Landau (vol. 1, Meccanica), oltre che a piacermi sempre, mi lascia piccoli dubbi e perplessità. Ad esempio, studiando le piccole oscillazioni libere, quindi con un solo grado di libertà e un punto di equilibrio in corrispondenza di $q_0$, Landau dice l'energia potenziale si può scrivere come (vedi pag. 99)
\[ U(q)-U(q_0)\simeq \frac{U''(q_0)}{2}(q-q_0)^2. \]
Ovviamente è evidente che questo sia lo sviluppo in serie di Taylor con centro $q_0$ e di ordine 2, tuttavia [highlight]non capisco perché il Landau asserisca che generalmente il termine del primo ordine sia nullo e che quindi il primo termine non nullo sia quello del second ordine[/highlight].
Altro dubbio per le oscillazioni forzate... prendendo una forza periodica del tipo
\[ F(t)=b\cos(\gamma t+\beta) \]
e mettendola nell'equazione differenziale del pendolo semplice l'equazione diventa
\[ \ddot{x}+\omega^2 x=\frac{1}{m}F(t). \]
Risolvendola si ottiene una soluzione del tipo (vedi pag. 104)
\[x(t)=a\cos(\omega t+\alpha)+\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}\cos(\gamma t + \beta).\]
Per calcolare il limite di questa funzione quando $\gamma\to\omega$, il Landau dice che la si deve scrivere nella forma
\[ x(t)=a\cos(\omega t+\alpha)+\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}[\cos(\gamma t + \beta)-\cos(\omega t+\alpha)], \]
così da avere una forma del tipo $0/0$ e usare il teorema di L'Hopital. Per fare ciò il Landau dice che bisogna cambiare adeguatamente i valori delle costanti. La mia seconda domanda è quindi:[highlight]in che maniera bisogna cambiare queste costanti e che trasformazioni si debbono usare per ricondursi alla seconda formula?[/highlight] Io ho tentato di arrovellarmi il cervello, ma senza risultati...
Grazie a chi risponderà.
\[ U(q)-U(q_0)\simeq \frac{U''(q_0)}{2}(q-q_0)^2. \]
Ovviamente è evidente che questo sia lo sviluppo in serie di Taylor con centro $q_0$ e di ordine 2, tuttavia [highlight]non capisco perché il Landau asserisca che generalmente il termine del primo ordine sia nullo e che quindi il primo termine non nullo sia quello del second ordine[/highlight].
Altro dubbio per le oscillazioni forzate... prendendo una forza periodica del tipo
\[ F(t)=b\cos(\gamma t+\beta) \]
e mettendola nell'equazione differenziale del pendolo semplice l'equazione diventa
\[ \ddot{x}+\omega^2 x=\frac{1}{m}F(t). \]
Risolvendola si ottiene una soluzione del tipo (vedi pag. 104)
\[x(t)=a\cos(\omega t+\alpha)+\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}\cos(\gamma t + \beta).\]
Per calcolare il limite di questa funzione quando $\gamma\to\omega$, il Landau dice che la si deve scrivere nella forma
\[ x(t)=a\cos(\omega t+\alpha)+\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)}[\cos(\gamma t + \beta)-\cos(\omega t+\alpha)], \]
così da avere una forma del tipo $0/0$ e usare il teorema di L'Hopital. Per fare ciò il Landau dice che bisogna cambiare adeguatamente i valori delle costanti. La mia seconda domanda è quindi:[highlight]in che maniera bisogna cambiare queste costanti e che trasformazioni si debbono usare per ricondursi alla seconda formula?[/highlight] Io ho tentato di arrovellarmi il cervello, ma senza risultati...
Grazie a chi risponderà.
Risposte
Ciao,
beh dai è abbastanza comune
nel senso che anche a me capita spesso rileggendo qualche passaggio. E' un ottimo testo, ma è noto che la scuola russa sia abbastanza "asciutta" e stringata.
nella posizione di equilibrio la derivata dell'energia potenziale è nulla, quindi il termine lineare nello sviluppo è nullo per costruzione.
come ultimamente mi sta succedendo spesso, la lettura del Landau (vol. 1, Meccanica), oltre che a piacermi sempre, mi lascia piccoli dubbi e perplessità
beh dai è abbastanza comune
nel senso che anche a me capita spesso rileggendo qualche passaggio. E' un ottimo testo, ma è noto che la scuola russa sia abbastanza "asciutta" e stringata.non capisco perché il Landau asserisca che generalmente il termine del primo ordine sia nullo e che quindi il primo termine non nullo sia quello del second ordine
nella posizione di equilibrio la derivata dell'energia potenziale è nulla, quindi il termine lineare nello sviluppo è nullo per costruzione.
Ah giusto! Effettivamente se la posizione è di equilibrio non ci sono forze di richiamo! Certe volte sono proprio distratto XD.
Per il secondo quesito, non devi ricavare esplicitamente le nuove costanti. Poiché $\cos (\omega t + \beta)$ (c'è un refuso nella formula che hai scritto: deve essere $\beta$ e non $\alpha$, per far annullare il numeratore per $\gamma \rightarrow \omega$) è una soluzione dell'omogenea associata la puoi aggiungere sempre alla soluzione particolare, moltiplicata per un qualunque coefficiente, in questo caso scelto opposto a quello della soluzione particolare. $a$ e $\alpha$ si ridefiniscono di conseguenza, ma non interessa sapere come, perché il limite lo calcoli sull'altro termine.
Si potrebbe sollevare un piccolo dubbio: con questa scelta, cosa ci assicura che nel passaggio al limite $a$ rimanga finito? In fondo stiamo aggiungendo un termine, pur soluzione dell'omogenea, il cui coefficiente diverge, e nel ricalcolo potrebbe contenere qualche $\omega^2 - \gamma^2$ al denominatore. In realtà $a$ è un coefficiente arbitrario, semplicemente stiamo sommando alla soluzione particolare una soluzione dell'omogenea nella forma $a\cos(\omega t+\alpha)-\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)} \cos(\omega t+\beta)$. In alternativa, si può ricorrere alla teoria delle equazioni lineari, che ci dice che in un caso come questo possiamo cercare una soluzione particolare nella forma $t \sin (\omega t + \beta)$.
Si potrebbe sollevare un piccolo dubbio: con questa scelta, cosa ci assicura che nel passaggio al limite $a$ rimanga finito? In fondo stiamo aggiungendo un termine, pur soluzione dell'omogenea, il cui coefficiente diverge, e nel ricalcolo potrebbe contenere qualche $\omega^2 - \gamma^2$ al denominatore. In realtà $a$ è un coefficiente arbitrario, semplicemente stiamo sommando alla soluzione particolare una soluzione dell'omogenea nella forma $a\cos(\omega t+\alpha)-\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)} \cos(\omega t+\beta)$. In alternativa, si può ricorrere alla teoria delle equazioni lineari, che ci dice che in un caso come questo possiamo cercare una soluzione particolare nella forma $t \sin (\omega t + \beta)$.
"LucaDeVita":
... se la posizione è di equilibrio non ci sono forze di richiamo ...
Veramente, se si tratta di una posizione di equilibrio stabile, il termine quadratico dell'energia potenziale è proprio associato ad una forza di richiamo.
"anonymous_0b37e9":
[quote="LucaDeVita"]
... se la posizione è di equilibrio non ci sono forze di richiamo ...
Veramente, se si tratta di una posizione di equilibrio stabile, il termine quadratico dell'energia potenziale è proprio associato ad una forza di richiamo.[/quote]
Ma in generale se in $q_0$ c'è equilibrio stabile e dato che definiamo $F=-\grad U$, in $q_0$, essendo che l'oggetto è in quell'istante in equilibrio, $-\grad U(q_0)=0$. O mi sbaglio? Che poi prima e dopo $q_0$ si presentino forze è un altro discorso, o mi sbaglio?
"Cmax":
Per il secondo quesito, non devi ricavare esplicitamente le nuove costanti. Poiché $\cos (\omega t + \beta)$ (c'è un refuso nella formula che hai scritto: deve essere $\beta$ e non $\alpha$, per far annullare il numeratore per $\gamma \rightarrow \omega$) è una soluzione dell'omogenea associata la puoi aggiungere sempre alla soluzione particolare, moltiplicata per un qualunque coefficiente, in questo caso scelto opposto a quello della soluzione particolare. $a$ e $\alpha$ si ridefiniscono di conseguenza, ma non interessa sapere come, perché il limite lo calcoli sull'altro termine.
Si potrebbe sollevare un piccolo dubbio: con questa scelta, cosa ci assicura che nel passaggio al limite $a$ rimanga finito? In fondo stiamo aggiungendo un termine, pur soluzione dell'omogenea, il cui coefficiente diverge, e nel ricalcolo potrebbe contenere qualche $\omega^2 - \gamma^2$ al denominatore. In realtà $a$ è un coefficiente arbitrario, semplicemente stiamo sommando alla soluzione particolare una soluzione dell'omogenea nella forma $a\cos(\omega t+\alpha)-\frac{f}{m(\omega^2-\gamma^2)} \cos(\omega t+\beta)$. In alternativa, si può ricorrere alla teoria delle equazioni lineari, che ci dice che in un caso come questo possiamo cercare una soluzione particolare nella forma $t \sin (\omega t + \beta)$.
Grazie, chiarissimo!
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