Doppio prodotto vettoriale
$\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})=(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$
eccolo qua...ho provato a verificarlo con 3 vettori a piacere...ma mentre nella prima uguaglianza mi viene un vettore, nella seconda mi risulta uguale a $0$.
non vorrei che questo teorema è valido solamente per versori....
eccolo qua...ho provato a verificarlo con 3 vettori a piacere...ma mentre nella prima uguaglianza mi viene un vettore, nella seconda mi risulta uguale a $0$.
non vorrei che questo teorema è valido solamente per versori....
Risposte
Ciao NailB.
Chiarisco subito : quell' "allora" che trovi nei tuoi appunti non è una implicazione.
Il fatto che il primo membro sia uguale al secondo è una semplice constatazione, alla quale si arriva proprio considerando le componenti cartesiane del vettore $vecd$ che è il risultato finale del primo membro. Ragionando sulle componenti, e facendo alcuni passaggi, si arriva a vedere che il primo membro è uguale alla combinazione lineare "bac - cab" del secondo. Nei libri di calcolo vettoriale si trova così.
Spero di aver soddisfatto la tua richiesta.
Chiarisco subito : quell' "allora" che trovi nei tuoi appunti non è una implicazione.
Il fatto che il primo membro sia uguale al secondo è una semplice constatazione, alla quale si arriva proprio considerando le componenti cartesiane del vettore $vecd$ che è il risultato finale del primo membro. Ragionando sulle componenti, e facendo alcuni passaggi, si arriva a vedere che il primo membro è uguale alla combinazione lineare "bac - cab" del secondo. Nei libri di calcolo vettoriale si trova così.
Spero di aver soddisfatto la tua richiesta.
Perfetto grazie 
Un esempio importante dell'uguaglianza detta si ha per esempio quando si calcola il momento angolare, rispetto a un polo O, di un corpo rigido che supponiamo omogeneo ( $\rho$ = densità). Si ha :
$vecL_O = \int_V vecrxx(vec\omegaxxvecr) \rhodV = \int_V [r^2vec\omega - vecr(vecr*vec\omega)]\rhodV $
da cui si vede che in generale i vettori $vecL_O$ e $vec\omega$ non sono paralleli.
$vecL_O = \int_V vecrxx(vec\omegaxxvecr) \rhodV = \int_V [r^2vec\omega - vecr(vecr*vec\omega)]\rhodV $
da cui si vede che in generale i vettori $vecL_O$ e $vec\omega$ non sono paralleli.
@luce
[ot]il titolo del film è...?[/ot]
[ot]il titolo del film è...?[/ot]
@gio73
[ot]Shooter , con Mark Wahlberg. Un po all' americana , ma molto piacevole
[/ot]
[ot]Shooter , con Mark Wahlberg. Un po all' americana , ma molto piacevole
[/ot]
"navigatore":
@light
a scanso di equivoci, non volevo dire Coriolis, che non c'entra : $vec\omega\times(vec\omega\timesvecr) = -\omega^2vecr$ .
Per promemoria, la formula del doppio prodotto vettoriale si chiama anche "regola del bac-cab" , dall'ordine dei vettori a secondo membro.
Scusatemi, ma è da due giorni che sto cercando di capire perchè, nel piano, il doppio prodotto vettoriale di:
$vec\omega\times(vec\omega\timesvec(B-A)) = -\omega^2vec(B-A)$
perchè il primo membro si annulla?
qualche suggerimento? sto impazzendo perchè non riesco a capire perchè il primo prodotto che ottengo si annulla e resta solo il valore negativo.
"marcusbarnet":
... sto cercando di capire perchè, nel piano, ...
Intanto, visto che due vettori liberi non paralleli individuano un piano, la restrizione di cui sopra non ha molto senso. Inoltre, basta un semplice esempio per toccare con mano che, in generale, l'uguaglianza è falsa:
$[\omega=veci] ^^ [vec(AB)=sqrt2/2veci+sqrt2/2vecj] rarr$
$rarr \omegaxxvec(AB)=sqrt2/2veck rarr$
$rarr \omegaxx(\omegaxxvec(AB))=-sqrt2/2vecj rarr$
$rarr \omegaxx(\omegaxxvec(AB)) ne -\omega^2vec(AB)$
Ciao Noodles, grazie per la risposta! Tuttavia, continuo a non capire.
Il doppio prodotto è venuto fuori mentre studiavamo le accelerazioni per lo studio della cinematica del corpo rigido.
In particolare, quando abbiamo visto l'equazione di Rivals:
$ dot \vec V_b/dt = dot \vec V_a/dt + dot \vec w ^^ \vec(B-A) + \vec w ^^ [\vec w ^^ \vec(B-A)] $
da cui segue che quel doppio prodotto permette di riscrivere tutto come:
$ \vec a_b = \vec a_a + dot \vec w ^^ \vec(B-A) - w^2 ^^ [\vec (B-A)] $
dove il contributo di $ - w^2 ^^ [\vec (B-A)] $ è relativo all'accelerazione centripeta.
Tuttavia, se io svolgo il doppio prodotto, ottengo:
$ \vec w ^^ [\vec w ^^ \vec(B-A)] = \vec w*(\vec w *\vec(B-A)) - (\vec (B-A))*(\vec w * \vec w) $
e non capisco perchè $ \vec w*(\vec w *\vec(B-A)) = 0 $
Non linciatemi per favore, capisco che, probabilmente, è un concetto banale, ma io non ci arrivo.
Vi ringrazio!
Il doppio prodotto è venuto fuori mentre studiavamo le accelerazioni per lo studio della cinematica del corpo rigido.
In particolare, quando abbiamo visto l'equazione di Rivals:
$ dot \vec V_b/dt = dot \vec V_a/dt + dot \vec w ^^ \vec(B-A) + \vec w ^^ [\vec w ^^ \vec(B-A)] $
da cui segue che quel doppio prodotto permette di riscrivere tutto come:
$ \vec a_b = \vec a_a + dot \vec w ^^ \vec(B-A) - w^2 ^^ [\vec (B-A)] $
dove il contributo di $ - w^2 ^^ [\vec (B-A)] $ è relativo all'accelerazione centripeta.
Tuttavia, se io svolgo il doppio prodotto, ottengo:
$ \vec w ^^ [\vec w ^^ \vec(B-A)] = \vec w*(\vec w *\vec(B-A)) - (\vec (B-A))*(\vec w * \vec w) $
e non capisco perchè $ \vec w*(\vec w *\vec(B-A)) = 0 $
Non linciatemi per favore, capisco che, probabilmente, è un concetto banale, ma io non ci arrivo.
Vi ringrazio!
Nel caso generale:
Quindi:
Tuttavia, l'analisi del moto rigido piano si effettua considerando $A$ e $B$ appartenenti ad un piano perpendicolare a $vec\omega$:
A questo punto, presumo che sia questo il tuo caso.
Componente di $vec(AB)$ parallela a $vec\omega$
$vec(AB)_(||)$
Componente di $vec(AB)$ perpendicolare a $vec\omega$
$vec(AB)_(_|_)$
$\omegaxx(\omegaxxvec(AB))=$
$=\omegaxx[\omegaxx(vec(AB)_(||)+vec(AB)_(_|_))]=$
$=\omegaxx(\omegaxxvec(AB)_(||))+\omegaxx(\omegaxxvec(AB)_(_|_))=$
$=\omegaxx(\omegaxxvec(AB)_(_|_))=$
$=-\omega^2vec(AB)_(_|_)$
Quindi:
$\omegaxx(\omegaxxvec(AB))=-\omega^2vec(AB)_(_|_)$
Tuttavia, l'analisi del moto rigido piano si effettua considerando $A$ e $B$ appartenenti ad un piano perpendicolare a $vec\omega$:
$vec(AB)=vec(AB)_(_|_)$
A questo punto, presumo che sia questo il tuo caso.
Grazie per il tempo che hai dedicato a rispondermi. Mi sento in colpa nel dirti che credo di non aver capito ugualmente, probabilmente mi sfugge qualcosa di basilare.
Se ho afferrato il concetto, bisogna considerare le tre componenti di $vec AB$ nello spazio XYZ, quindi due saranno ortogonali a $ vec w$ e una sarà parallela, cioè quella parallela all'asse Z.
Nel caso di quella parallela, il prodotto sarà zero, mentre in quella ortogonale, sarà quello con il segno negativo.
Nel mio caso, sono nel piano e quindi considero le due componenti ortogonali che danno luogo ad un valore diverso da zero. E' corretto? Ma allora questo vale sempre dato che due vettori paralleli hanno sempre come risultato un vettore nullo.
Non lo so, non credo di aver afferrato il concetto, anche perchè io uso la formula uguale a quella di cui si è parlato in un altro post di questo topic:
È chiaro che il primo membro è un vettore. Perciò anche il secondo deve esserlo, e infatti lo è!
Il secondo membro non è altro che la combinazione lineare di $vecb$ e $vecc$ , essendo i coefficienti della combinazione lineare dati dagli scalari $(\veca*\vecc)$ e $-(\veca*\vecb)$.
Questo vuol dire pure che il vettore finale giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ (supponendo di disegnarli con la stessa origine).
Volete fare una verifica? Scrivete i tre vettori in forma cartesiana :
$veca = a_xveci + a_yvecj + a_zveck$ e analoghi per $vecb$ e $vecc$
Poi calcolate il primo membro eseguendo dapprima il prodotto vettoriale $(\vecb\xx\vecc)$ con la regola del determinante simbolico : ve la ricordate la regola del determinante simbolico ? Ha come prima riga i tre versori $veci,veci,veck$ degli assi; come seconda riga le tre componenti di $vecb$ , come terza riga le tre componenti di $vecc$ .
E poi, ottenuto $vecv = \vecb\xx\vecc$ , procedete analogamente per calcolare il prodotto vettoriale $veca\timesvecv$ .
Alla fine vi troverete un vettore che giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ , come detto.
Poi calcolate la combinazione lineare al secondo membro.
Questa formula è utile in molte questioni.
Per esempio, in meccanica, che cosa vi ricorda questa : $ vec\omega\times(vec\omega\times\vecr)$ ???[/quote]
Non capisco poi da dove viene il segno negativo se seguo i tuoi passaggi.
Se ho afferrato il concetto, bisogna considerare le tre componenti di $vec AB$ nello spazio XYZ, quindi due saranno ortogonali a $ vec w$ e una sarà parallela, cioè quella parallela all'asse Z.
Nel caso di quella parallela, il prodotto sarà zero, mentre in quella ortogonale, sarà quello con il segno negativo.
Nel mio caso, sono nel piano e quindi considero le due componenti ortogonali che danno luogo ad un valore diverso da zero. E' corretto? Ma allora questo vale sempre dato che due vettori paralleli hanno sempre come risultato un vettore nullo.
Non lo so, non credo di aver afferrato il concetto, anche perchè io uso la formula uguale a quella di cui si è parlato in un altro post di questo topic:
"navigatore":
Ragazzi, qui la risposta giusta è stata la prima di Eredir, questa :
[quote="Eredir"]E' valida per qualsiasi terna di vettori. Per come l'hai scritta ci sono due prodotti scalari di troppo, ma forse intendevi semplicemente la moltiplicazione.
La riscrivo per comodità $\veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb)$.
È chiaro che il primo membro è un vettore. Perciò anche il secondo deve esserlo, e infatti lo è!
Il secondo membro non è altro che la combinazione lineare di $vecb$ e $vecc$ , essendo i coefficienti della combinazione lineare dati dagli scalari $(\veca*\vecc)$ e $-(\veca*\vecb)$.
Questo vuol dire pure che il vettore finale giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ (supponendo di disegnarli con la stessa origine).
Volete fare una verifica? Scrivete i tre vettori in forma cartesiana :
$veca = a_xveci + a_yvecj + a_zveck$ e analoghi per $vecb$ e $vecc$
Poi calcolate il primo membro eseguendo dapprima il prodotto vettoriale $(\vecb\xx\vecc)$ con la regola del determinante simbolico : ve la ricordate la regola del determinante simbolico ? Ha come prima riga i tre versori $veci,veci,veck$ degli assi; come seconda riga le tre componenti di $vecb$ , come terza riga le tre componenti di $vecc$ .
E poi, ottenuto $vecv = \vecb\xx\vecc$ , procedete analogamente per calcolare il prodotto vettoriale $veca\timesvecv$ .
Alla fine vi troverete un vettore che giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ , come detto.
Poi calcolate la combinazione lineare al secondo membro.
Questa formula è utile in molte questioni.
Per esempio, in meccanica, che cosa vi ricorda questa : $ vec\omega\times(vec\omega\times\vecr)$ ???[/quote]
Non capisco poi da dove viene il segno negativo se seguo i tuoi passaggi.
Premesso che puoi anche ragionare sinteticamente, senza scomodare le componenti cartesiane per intenderci, sto solo dicendo che, se:
allora:
e quindi:
$vec\omega _|_ vec(AB)$
allora:
$vec\omega*vec(AB)=0$
e quindi:
$vec\omegaxx(vec\omegaxxvec(AB))=(vec\omega*vec(AB))vec\omega-(vec\omega*vec\omega)vec(AB)=-\omega^2vec(AB)$
Grazie mille, @Noodles, adesso è tutto chiaro!!
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