Doppio prodotto vettoriale
$\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})=(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$
eccolo qua...ho provato a verificarlo con 3 vettori a piacere...ma mentre nella prima uguaglianza mi viene un vettore, nella seconda mi risulta uguale a $0$.
non vorrei che questo teorema è valido solamente per versori....
eccolo qua...ho provato a verificarlo con 3 vettori a piacere...ma mentre nella prima uguaglianza mi viene un vettore, nella seconda mi risulta uguale a $0$.
non vorrei che questo teorema è valido solamente per versori....
Risposte
scusa se invece di risponderti ti chiedo io qualcosa 
nn capisco l'uguaglianza che hai scritto, me la spiegheresti ?
nn capisco l'uguaglianza che hai scritto, me la spiegheresti ?
è un identità nota come "identità del doppio prodotto vettoriale".
a,b,c rappresentano 3 vettori di $RR^3$ ....in poche parole ti dice che quel doppio prodotto vettoriale a sinistra lo puoi scrivere più convenientemente come quel prodotto scalare a destra.
E' un'identità molto comoda con la quale si dimostrano molti teoremi, tra i quali quello di Poisson di $\omega$...è per quello che vorrei capirla bene...
a,b,c rappresentano 3 vettori di $RR^3$ ....in poche parole ti dice che quel doppio prodotto vettoriale a sinistra lo puoi scrivere più convenientemente come quel prodotto scalare a destra.
E' un'identità molto comoda con la quale si dimostrano molti teoremi, tra i quali quello di Poisson di $\omega$...è per quello che vorrei capirla bene...
E' valida per qualsiasi terna di vettori. Per come l'hai scritta ci sono due prodotti scalari di troppo, ma forse intendevi semplicemente la moltiplicazione.
La riscrivo per comodità $\veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb)$.
La riscrivo per comodità $\veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb)$.
ma questo prodotto scalare $(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$ ti restituisce uno scalare, mentre questo prodotto vettoriale $\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})$ ti restituisce un vettore. Immagino che il secondo membro ti dia il modulo del vettore che ottieni dal primo membro giusto?
"ELWOOD":
$\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})=(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$
eccolo qua...ho provato a verificarlo con 3 vettori a piacere...ma mentre nella prima uguaglianza mi viene un vettore, nella seconda mi risulta uguale a $0$.
non vorrei che questo teorema è valido solamente per versori....
Probabilmente hai sbagliato i calcoli, oppure hai preso un caso particolare in cui b e c sono paralleli, oppure il loro prodotto è parallelo ad a. Ma se così è, deve esserti venuto il vettore nullo anche calcolandolo come doppio prodotto vettoriale.
Comunque, è valido per tutti i vettori.
"strangolatoremancino":
ma questo prodotto scalare $(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$ ti restituisce uno scalare, mentre questo prodotto vettoriale $\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})$ ti restituisce un vettore. Immagino che il secondo membro ti dia il modulo del vettore che ottieni dal primo membro giusto?
Come dicevo nel messaggio precedente o è sbagliata la formula oppure quelle sono semplici moltiplicazioni.
Non può essere come dici perchè non avrebbe senso uguagliare un vettore ad uno scalare.
"Eredir":
[quote="strangolatoremancino"]ma questo prodotto scalare $(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$ ti restituisce uno scalare, mentre questo prodotto vettoriale $\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})$ ti restituisce un vettore. Immagino che il secondo membro ti dia il modulo del vettore che ottieni dal primo membro giusto?
Come dicevo nel messaggio precedente o è sbagliata la formula oppure quelle sono semplici moltiplicazioni.
Non può essere come dici perchè non avrebbe senso uguagliare un vettore ad uno scalare.[/quote]
a ecccooooo!!!!io invece li ho considerati come scalari.....grazie mille a tutti!
"Eredir":
[quote="strangolatoremancino"]ma questo prodotto scalare $(\bar{a}\cdot\bar{c})\cdot\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\cdot\bar{c}$ ti restituisce uno scalare, mentre questo prodotto vettoriale $\bar{a}\times(\bar{b}\times\bar{c})$ ti restituisce un vettore. Immagino che il secondo membro ti dia il modulo del vettore che ottieni dal primo membro giusto?
Come dicevo nel messaggio precedente o è sbagliata la formula oppure quelle sono semplici moltiplicazioni.
Non può essere come dici perchè non avrebbe senso uguagliare un vettore ad uno scalare.[/quote]
appunto era quello che nn capivo, come si potesse uguagliare un vettore a uno scalare, e chiedevo se l'uguaglianza si riferisse esclusivamente a valori numerici
ma quindi la questione come si è risolta?
infatti...non si è risolta per nulla...
Ho preso: $\bar{a}=(3,5,2)$ $\bar{b}=(-2,1,-1)$ $\bar{c}=(3,1,2)$
ora $(\bar{a}\cdot\bar{c})\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\bar{c}=[(3,5,2)\cdot(3,1,2)](-2,1,-1)-[(3,5,2)\cdot(-2,1-1)](3,1,2)$
anche se la considero semplicemente come moltiplicazione mi da sempre zero $-17-(-17)=0$
mentre il prodotto vettoriale è diverso da zero....
Ho preso: $\bar{a}=(3,5,2)$ $\bar{b}=(-2,1,-1)$ $\bar{c}=(3,1,2)$
ora $(\bar{a}\cdot\bar{c})\bar{b}-(\bar{a}\cdot\bar{b})\bar{c}=[(3,5,2)\cdot(3,1,2)](-2,1,-1)-[(3,5,2)\cdot(-2,1-1)](3,1,2)$
anche se la considero semplicemente come moltiplicazione mi da sempre zero $-17-(-17)=0$
mentre il prodotto vettoriale è diverso da zero....
strano che non ti venga.
A me viene come segue:
$veca*vecc=18$
$veca*vecb=-3$
Quindi $18*(-2,1,-1)+3*(3,1,2)=(-36,18,-18)+(9,3,6)=(-27,21,-12)$
A te che vettore viene?
A me viene come segue:
$veca*vecc=18$
$veca*vecb=-3$
Quindi $18*(-2,1,-1)+3*(3,1,2)=(-36,18,-18)+(9,3,6)=(-27,21,-12)$
A te che vettore viene?
Ma se la moltiplicazione di un prodotto vettoriale A X (B X C) è uguale a A(BC) - C(AB) questo non è sempre uguale a 0??
ABC - CAB = 0! (prop. Commutativa)
Quale errore sto commettendo?
ABC - CAB = 0! (prop. Commutativa)
Quale errore sto commettendo?
il punto è che quando scrivi $(veca * vecb) *vecc$, stai facendo due prodotti diversi:
$veca * vecb$ è il prodotto scalare tra due vettori, e sputa fuori come risultato uno scalare $alpha$
$alpha *vecc$ è il prodotto di uno scalare per un vettore, e sputa fuori come risultato un vettore
$veca * vecb$ è il prodotto scalare tra due vettori, e sputa fuori come risultato uno scalare $alpha$
$alpha *vecc$ è il prodotto di uno scalare per un vettore, e sputa fuori come risultato un vettore
Buongiorno, mi accodo a questa discussione per porre la mia domanda.
Nei miei appunti ho scritto:
$ \vecd=\veca\xx(\vecb\xx\vecc)$ , $ \vecd$ è un vettore perpendicolare sia a $ \veca$ che a $ \vecbxx\vecc$ allora:
$ \veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb) $.
Non riesco a capire se l'uguaglianza è una conseguenza logica della perpendicolarità (ed in tal caso perché) o se è semplicemente una regola da memorizzare e l'appunto sulla perpendicolarità è una semplice osservazione aggiuntiva.
Grazie in anticipo, come sempre
Nei miei appunti ho scritto:
$ \vecd=\veca\xx(\vecb\xx\vecc)$ , $ \vecd$ è un vettore perpendicolare sia a $ \veca$ che a $ \vecbxx\vecc$ allora:
$ \veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb) $.
Non riesco a capire se l'uguaglianza è una conseguenza logica della perpendicolarità (ed in tal caso perché) o se è semplicemente una regola da memorizzare e l'appunto sulla perpendicolarità è una semplice osservazione aggiuntiva.
Grazie in anticipo, come sempre
Ragazzi, qui la risposta giusta è stata la prima di Eredir, questa :
È chiaro che il primo membro è un vettore. Perciò anche il secondo deve esserlo, e infatti lo è!
Il secondo membro non è altro che la combinazione lineare di $vecb$ e $vecc$ , essendo i coefficienti della combinazione lineare dati dagli scalari $(\veca*\vecc)$ e $-(\veca*\vecb)$.
Questo vuol dire pure che il vettore finale giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ (supponendo di disegnarli con la stessa origine).
Volete fare una verifica? Scrivete i tre vettori in forma cartesiana :
$veca = a_xveci + a_yvecj + a_zveck$ e analoghi per $vecb$ e $vecc$
Poi calcolate il primo membro eseguendo dapprima il prodotto vettoriale $(\vecb\xx\vecc)$ con la regola del determinante simbolico : ve la ricordate la regola del determinante simbolico ? Ha come prima riga i tre versori $veci,veci,veck$ degli assi; come seconda riga le tre componenti di $vecb$ , come terza riga le tre componenti di $vecc$ .
E poi, ottenuto $vecv = \vecb\xx\vecc$ , procedete analogamente per calcolare il prodotto vettoriale $veca\timesvecv$ .
Alla fine vi troverete un vettore che giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ , come detto.
Poi calcolate la combinazione lineare al secondo membro.
Questa formula è utile in molte questioni.
Per esempio, in meccanica, che cosa vi ricorda questa : $ vec\omega\times(vec\omega\times\vecr)$ ???
"Eredir":
E' valida per qualsiasi terna di vettori. Per come l'hai scritta ci sono due prodotti scalari di troppo, ma forse intendevi semplicemente la moltiplicazione.
La riscrivo per comodità $\veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb)$.
È chiaro che il primo membro è un vettore. Perciò anche il secondo deve esserlo, e infatti lo è!
Il secondo membro non è altro che la combinazione lineare di $vecb$ e $vecc$ , essendo i coefficienti della combinazione lineare dati dagli scalari $(\veca*\vecc)$ e $-(\veca*\vecb)$.
Questo vuol dire pure che il vettore finale giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ (supponendo di disegnarli con la stessa origine).
Volete fare una verifica? Scrivete i tre vettori in forma cartesiana :
$veca = a_xveci + a_yvecj + a_zveck$ e analoghi per $vecb$ e $vecc$
Poi calcolate il primo membro eseguendo dapprima il prodotto vettoriale $(\vecb\xx\vecc)$ con la regola del determinante simbolico : ve la ricordate la regola del determinante simbolico ? Ha come prima riga i tre versori $veci,veci,veck$ degli assi; come seconda riga le tre componenti di $vecb$ , come terza riga le tre componenti di $vecc$ .
E poi, ottenuto $vecv = \vecb\xx\vecc$ , procedete analogamente per calcolare il prodotto vettoriale $veca\timesvecv$ .
Alla fine vi troverete un vettore che giace nel piano individuato da $vecb$ e $vecc$ , come detto.
Poi calcolate la combinazione lineare al secondo membro.
Questa formula è utile in molte questioni.
Per esempio, in meccanica, che cosa vi ricorda questa : $ vec\omega\times(vec\omega\times\vecr)$ ???
L' emisfero in cui mi trovo 
Bravo Luce! 
Ma mica solo quello !
Ma mica solo quello !
Il bello è che più vado avanti nello studio della fisica , più incontro fenomeni dovuti a quel tipo di effetto .
[ot]Proprio ieri ho rivisto con piacere un film in cui il protagonista afferma :
[ot]Proprio ieri ho rivisto con piacere un film in cui il protagonista afferma :
Sa cosa ci vuole per realizzare un tiro da quella distanza?[/ot]
Entra in gioco tutto da così lontano , umidità , altitudine , temperatura , vento , pulviscolo ,
c' è un tempo di vole da 6 a 10 secondi , bisogna sparare dove andrà a trovarsi il bersaglio ,
entra in gioco perfino l' effetto Coriolis la rotazione della terra..
@light
a scanso di equivoci, non volevo dire Coriolis, che non c'entra : $vec\omega\times(vec\omega\timesvecr) = -\omega^2vecr$ .
Per promemoria, la formula del doppio prodotto vettoriale si chiama anche "regola del bac-cab" , dall'ordine dei vettori a secondo membro.
a scanso di equivoci, non volevo dire Coriolis, che non c'entra : $vec\omega\times(vec\omega\timesvecr) = -\omega^2vecr$ .
Per promemoria, la formula del doppio prodotto vettoriale si chiama anche "regola del bac-cab" , dall'ordine dei vettori a secondo membro.
@Navigatore
Hai ragione ,
qui si parlava solo di accelerazione centripeta.
Hai ragione ,
qui si parlava solo di accelerazione centripeta.
"navigatore":[/quote]
Ragazzi, qui la risposta giusta è stata la prima di Eredir, questa :
[quote="Eredir"]E' valida per qualsiasi terna di vettori. Per come l'hai scritta ci sono due prodotti scalari di troppo, ma forse intendevi semplicemente la moltiplicazione.
La riscrivo per comodità $ \veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb) $.
Io non ho negato o messo in dubbio questo, infatti ho riscritto la stessa identica formula nella mia domanda. E ho capito anche tutto il ragionamento per verificare che l'uguaglianza sia vera, ma non era questa la mia domanda.
Il mio "dubbio" è capire il senso della frase
"NaliB":
$ \vecd=\veca\xx(\vecb\xx\vecc) $ , $ \vecd $ è un vettore perpendicolare sia a $ \veca $ che a $ \vecbxx\vecc $ allora:
$ \veca\xx(\vecb\xx\vecc)=\vecb(\veca*\vecc)-\vecc(\veca*\vecb) $.
Per capirci meglio, non capisco se dire che $ \vecd $ è un vettore perpendicolare è da considerare come un'osservazione pratica o un passaggio fondamentale per spiegare l'uguaglianza. Non so se sono riuscita a farmi capire
è più per capire se è sbagliata la forma in cui ho scritto gli appunti oppure no, se quell'allora è logicamente ben messo o è un errore.
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