Domande seconda equazione cardinale e calcolo momento d'inerzia
Buongiorno, scrivo nuovamemte perché avrei ancora delle domande, precisamente due.
1)A lezione abbiamo dimostrato la seguente formulazione per la seconda equazione cardinale. Io non capisco, quando la devo applicare negli esercizi, come interpretare il tensore d'inerzia dato che é un operatore che non ho mai ultilizzato e di cui c'é stato spiegato ben poco.
Possibile che io possa riscriverlo come il prodotto tra la matrice d'inerzia e $dot \omega$ o $\omega$ a seconda del vettore su cui é applicato?
2)In questo esercizio non capisco come abbia fatto a calcolare l'energia cinetica della corona circolare, o meglio non riesco a capire come ne abbia calcolato il momento di inerzia. Ho immaginato che avesse fatto il momento d'inerzia del disco grande meno quello piccolo ma a quanto pare non é cosí, dato che il risultato é il seguente:
Tdisco= $(5/8)MR^2 dot \varphi^2$
Anche perché non é un disco ma una corona circolare che ruota attorno al proprio diametro.
1)A lezione abbiamo dimostrato la seguente formulazione per la seconda equazione cardinale. Io non capisco, quando la devo applicare negli esercizi, come interpretare il tensore d'inerzia dato che é un operatore che non ho mai ultilizzato e di cui c'é stato spiegato ben poco.
Possibile che io possa riscriverlo come il prodotto tra la matrice d'inerzia e $dot \omega$ o $\omega$ a seconda del vettore su cui é applicato?
2)In questo esercizio non capisco come abbia fatto a calcolare l'energia cinetica della corona circolare, o meglio non riesco a capire come ne abbia calcolato il momento di inerzia. Ho immaginato che avesse fatto il momento d'inerzia del disco grande meno quello piccolo ma a quanto pare non é cosí, dato che il risultato é il seguente:
Tdisco= $(5/8)MR^2 dot \varphi^2$
Anche perché non é un disco ma una corona circolare che ruota attorno al proprio diametro.
Risposte
Ti ho fatto cenno al tensore di inerzia, o meglio matrice di inerzia, per parlare in maniera più semplice a questi livelli, in una precedente discussione. Quando moltiplichi $$ per il vettore $vecomega$ (righe per colonne, sono matrici) , ottieni il vettore momento angolare $vecL$. Quando moltiplichi $$ per $dot\vec\omega$ ottieni la derivata nel tempo del momento angolare: ci deve essere un momento di forze esterne che causa la variazione di $vecL$ , come dice la seconda equazione cardinale della dinamica.
2) il momento di inerzia della corona circolare rispetto a un asse diametrale è la differenza tra i momenti di inerzia dei due cerchi, visto che $I$ è additivo.
2) il momento di inerzia della corona circolare rispetto a un asse diametrale è la differenza tra i momenti di inerzia dei due cerchi, visto che $I$ è additivo.
1)Quindi effettivamente posso riscrivere il tensore come matrice di inerzia moltiplicata per il vettore a cui é applicato? O forse é sbagliato e non ho ben capito.
2)Quindi é sufficiente che sottraggo dal il momento d'inerzia del disco piú grande rispetto al diametro il momento d'inerzia del disco piú piccolo rispetto al diametro?
2)Quindi é sufficiente che sottraggo dal il momento d'inerzia del disco piú grande rispetto al diametro il momento d'inerzia del disco piú piccolo rispetto al diametro?
Francamente sono io che non capisco il tuo dubbio. Hai scritto al primo membro il momento delle forze esterne agenti su un corpo rigido, calcolato rispetto a un polo O qualsiasi, non fisso nè coincidente col CM, visita l’espressione al secondo membro. Al secondo membro, i primi due termini rappresentano la derivata del momento angolare, rispetto allo stesso polo di prima, calcolata con la formula di Poisson (cioè: somma della derivata di $vecL$ nel rif. mobile e del prodotto vettoriale $vecomega\timesvecL$) ; gli altri termini sono aggiunti perché il polo non è fisso: consulta il tuo libro di teoria. Nella maggior parte delle applicazioni, comunque, il polo si assume fisso oppure coincidente col CM , così si evitano tante complicazioni.
Per la seconda domanda, la risposta è affermativa.
Per la seconda domanda, la risposta è affermativa.
Non é chiaro come trattare il tensore d'inerzia nelle applicazioni. Lo tratto, cioé lo posso riscrivere, come una matrice(matrice d'inerzia) moltiplicata per il vettore velocità angolare?
2)Ho notato che se li sommo viene il risultato corretto, se li sottraggo no, non ne capisco il motivo, come scritto sopra li avrei sottratti.
2)Ho notato che se li sommo viene il risultato corretto, se li sottraggo no, non ne capisco il motivo, come scritto sopra li avrei sottratti.
Non è chiaro? Te l’ho già spiegato, forse nell’altro thread. Per semplificare, Considera un corpo rigido con un punto fisso O e un riferimento cartesiano ortogonale con origine in O. Detta $$ la matrice di inerzia del corpo rigido rispetto a $(Oxyz)$ (ti ho già detto quali sono i suoi elementi) , e detto $vecomega$ la velocità angolare del corpo, scrivi $vecomega$ come vettore colonna, i cui elementi sono le componenti di $vecomega$ . Il prodotto matriciale di $$ per il vettore colonna detto fornisce un altro vettore colonna , i cui termini sono le componenti del vettore momento angolare del corpo rispetto ad O :
$vecL = vecomega$
Più semplice di così, non so che dire. Consulta questo capitolo di Richard Fitzpatrick:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... ode61.html
La formula che ti ho scritto è la 459 . Puoi trovare un corso intero di “ Newtonian Dynamics “ , di cui fa parte il capitolo.
Per il punto 2 , non saprei. Forse c’è qualche errore di calcolo.
$vecL = vecomega$
Più semplice di così, non so che dire. Consulta questo capitolo di Richard Fitzpatrick:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... ode61.html
La formula che ti ho scritto è la 459 . Puoi trovare un corso intero di “ Newtonian Dynamics “ , di cui fa parte il capitolo.
Per il punto 2 , non saprei. Forse c’è qualche errore di calcolo.
Va bene, quindi la scrittura a matita fatta sopra é corretta giusto?
Se non erro il termine $v_o\timesv_G$ dovrebbe semplificarsi a prescindere dal sistema di riferimento fisso o coincidente con il baricentro. A meno che tu non sia sicura del contrario posso provare a fare il conto e vedere.
Direi che sono sicura, la parte su cui non sono certa é quella con le matrici, é corretta scritta così?
Sì. Tanto per togliermi la curiosità, come avete definito il momento angolare? L'espressione matematica in termini quelle quantità che hai scritto intendo. Ed anche il momento delle forze esterne.
Daniela
la parte scritta con le matrici, cioè i primi due termini al secondo membro, è correttissima, te l’ho detto e spiegato varie volte. È spiegato pure nella dispensa che ti ho allegato.
la parte scritta con le matrici, cioè i primi due termini al secondo membro, è correttissima, te l’ho detto e spiegato varie volte. È spiegato pure nella dispensa che ti ho allegato.
In questo modo:
Bene, allora proviamo a ricavare il momento delle forze esterne con una dimostrazione rigorosa partendo da
$l_0=M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega)$ e $M_0=(dl_0)/dt+M(v_0\timesv_G)$ . Ometto i segni di vettori e l'apice $ext$ al momento.
$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega))+M(v_0\timesv_G)$
Scriviamo la derivata della somma. Uso il termine $D$ per la derivata fatta rispetto ad un sistema assoluto riferita al discorso che sicuramente conosci dell'identità di Poisson. In genere si mette una barra verticale con un pedice ma non ricordo mai la sintassi.
$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0)+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$
Facciamo la derivata del prodotto
$M_0=M(v_G-v_0)\timesv_0+M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$
Ora come vedi
$M(v_G-v_0)\timesv_0=M(v_G\timesv_0)+M(-v_0\timesv_0)=M(v_G\timesv_0)+0$
ma $M(v_G\timesv_0)=-M(v_0\timesv_G)$ quindi nella somma si cancella anche questo addendo con $+M(v_0\timesv_G)$ indipendentemente dal fatto che il sistema sia in $G$, condizione ancora non imposta. Resta che
$M_0=M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)$
sappiamo che, passami come ho detto la notazione scarna,
$D/(Dt)I_0(\omega)=d/(dt)I_0(\omega)+\omega\timesI_0(\omega)$
Quindi ciò che resta è
$M_0=M(G-0)\timesa_0+I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$
che è l'equazione dei momenti della forza per il corpo rigido.
Se $O$ è fisso : $M_0=I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$
Se $O=G$ : $M_G=I_G(dot{\omega})+\omega\timesI_G(\omega)$
Spero di non aver sbagliato qualcosa nel riscrivere qui il conto che ho fatto ma ribadisco, secondo me quel temine finale non va inserito nella somma perché si elide a prescindere. Non mi pare di aver fatto errori di concetto o altro e nemmeno voglio mettere in dubbio quello che avete fatto in classe, però mi resta la curiosità di capire in quale punto la dimostrazione che avete fatto è diversa. Magari il prof ha fatto altre considerazioni e sarei curioso da capire quali. Se ritrovi qualcosa sugli appunti fammi sapere.
$l_0=M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega)$ e $M_0=(dl_0)/dt+M(v_0\timesv_G)$ . Ometto i segni di vettori e l'apice $ext$ al momento.
$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega))+M(v_0\timesv_G)$
Scriviamo la derivata della somma. Uso il termine $D$ per la derivata fatta rispetto ad un sistema assoluto riferita al discorso che sicuramente conosci dell'identità di Poisson. In genere si mette una barra verticale con un pedice ma non ricordo mai la sintassi.
$M_0=d/(dt)(M(G-0)\timesv_0)+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$
Facciamo la derivata del prodotto
$M_0=M(v_G-v_0)\timesv_0+M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)+M(v_0\timesv_G)$
Ora come vedi
$M(v_G-v_0)\timesv_0=M(v_G\timesv_0)+M(-v_0\timesv_0)=M(v_G\timesv_0)+0$
ma $M(v_G\timesv_0)=-M(v_0\timesv_G)$ quindi nella somma si cancella anche questo addendo con $+M(v_0\timesv_G)$ indipendentemente dal fatto che il sistema sia in $G$, condizione ancora non imposta. Resta che
$M_0=M(G-0)\timesa_0+D/(Dt)I_0(\omega)$
sappiamo che, passami come ho detto la notazione scarna,
$D/(Dt)I_0(\omega)=d/(dt)I_0(\omega)+\omega\timesI_0(\omega)$
Quindi ciò che resta è
$M_0=M(G-0)\timesa_0+I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$
che è l'equazione dei momenti della forza per il corpo rigido.
Se $O$ è fisso : $M_0=I_0(dot{\omega})+\omega\timesI_0(\omega)$
Se $O=G$ : $M_G=I_G(dot{\omega})+\omega\timesI_G(\omega)$
Spero di non aver sbagliato qualcosa nel riscrivere qui il conto che ho fatto ma ribadisco, secondo me quel temine finale non va inserito nella somma perché si elide a prescindere. Non mi pare di aver fatto errori di concetto o altro e nemmeno voglio mettere in dubbio quello che avete fatto in classe, però mi resta la curiosità di capire in quale punto la dimostrazione che avete fatto è diversa. Magari il prof ha fatto altre considerazioni e sarei curioso da capire quali. Se ritrovi qualcosa sugli appunti fammi sapere.
Quando il momento delle forze esterne è calcolato rispetto a un polo che non è fisso, nè coincidente col CM o in moto parallelamente al CM, al secondo membro compare , oltre alla derivata del momento angolare rispetto allo stesso polo (che si calcola con la formula di Poisson più volte detta) , un termine aggiuntivo, uguale al momento, rispetto al polo mobile, della quantità di moto $Mvecv_G$ , applicato in $G$, rispetto al polo mobile. Questo termine è nullo solo se il polo è $G$ oppure è fisso o è in moto parallelamente a $G$ .
Qui c’è un esercizio:
viewtopic.php?f=19&t=131098&hilit=jacazio+pastorelli#p839707
Qui c’è un esercizio:
viewtopic.php?f=19&t=131098&hilit=jacazio+pastorelli#p839707
"Shackle":
Quando il momento delle forze esterne è calcolato rispetto a un polo che non è fisso, nè coincidente col CM o in moto parallelamente al CM, al secondo membro compare , oltre alla derivata del momento angolare rispetto allo stesso polo (che si calcola con la formula di Poisson più volte detta) , un termine aggiuntivo, uguale al momento, rispetto al polo mobile, della quantità di moto $Mvecv_G$ , applicato in $G$, rispetto al polo mobile. Questo termine è nullo solo se il polo è $G$ oppure è fisso o è in moto parallelamente a $G$ .
Qui c’è un esercizio:
viewtopic.php?f=19&t=131098&hilit=jacazio+pastorelli#p839707
Sì lo so infatti l'ho inserito. Ma si cancella prima di imporre $O=G$
Se il polo è mobile, non si cancella.
Allora dimmi dove ho sbagliato nel conto. Ho fatto una derivata e qualche somma. Posso certo aver sbagliato ma non vedo dove.
LA faccio breve. Consideriamo un riferimento inerziale $(Oxyz)$ fisso, e un solo punto materiale $(P,m)$ che si muove rispetto ad esso, con velocità $vecv$ , e quindi quantità di moto $vecp = mvecv$ . Prendiamo ora un polo $Omega$ , anch'esso mobile con velocità $vecv_\Omega$ nel riferimento detto.
Il momento angolare di $P$ rispetto a $Omega$ vale :
il punto $P$ ha raggio vettore $vecr$ rispetto ad $O$ ; il polo $Omega$ ha raggio vettore $vecr_\Omega$ rispetto ad $O$ ; si ha :
come è evidente dalla figura seguente :
Se su $P$ agisce una forza $vecF$ , la seconda equazione della dinamica dice che :
Molptiplicando a sinistra per $vec(OmegaP)$ , si ha :
il primo membro non è altro che il momento della forza $vecF$ rispetto ad $Omega$ : lo chiamiamo $vecM$ . Per quanto riguarda il secondo membro, ci interessa introdurre il vettore momento angolare $vecL$ definito all'inizio, per cui deriviamo tale vettore rispetto al tempo :
e quindi, isolando il secondo termine al secondo membro :
ora al primo membro possiamo scrivere il momento della forza $vecF$ rispetto al polo mobile $Omega$ :
al posto di $vec (OmegaP)$ possiamo scrivere : $ vecr - vecr_\Omega$ . Effettuando la derivata di questa differenza di vettori , e moltiplicando vettorialmente per $vecp = mvecv$, notiamo che $ (dvecr)/(dt) = vecv$ e $vecp= mvecv$ sono paralleli, per cui il loro prodotto vettoriale è nullo. Rimane perciò :
quindi, il momento della forza esterna rispetto al polo mobile $Omega$ è uguale alla derivata temporale del momento angolare più la quantità $vecv_\Omega timesvecp$ , che non si annulla se non quando il polo $Omega$ è fisso. Naturalmente qui non si parla di centro di massa perché le equazioni sono state scritte per un solo punto materiale . Ma il procedimento è analogo se si parla di un corpo rigido , nel qual caso la quantità di moto è uguale alla massa del corpo per la velocità del CM :
per cui , nel caso del corpo rigido si può dire che il termine aggiuntivo è nullo solo se :
1) il polo $Omega$ è fisso, oppure
2) il polo è coincidente con il CM , perché hanno la stessa velocità, oppure
3) il polo è diverso dal CM , ma ha velocità parallela a quella del CM .
Naturalmente , resta valido tutto quanto detto circa il calcolo della derivata del momento angolare $(dvecL)/(dt)$ nel riferimento fisso , che si effettua applicando la formula di Poisson .
Il momento angolare di $P$ rispetto a $Omega$ vale :
$vecL = vec(OmegaP) times vecp $
il punto $P$ ha raggio vettore $vecr$ rispetto ad $O$ ; il polo $Omega$ ha raggio vettore $vecr_\Omega$ rispetto ad $O$ ; si ha :
$ vecr = vecr_\Omega + \vec(OmegaP) $
come è evidente dalla figura seguente :
Se su $P$ agisce una forza $vecF$ , la seconda equazione della dinamica dice che :
$vecF = (dvecp)/(dt) $
Molptiplicando a sinistra per $vec(OmegaP)$ , si ha :
$vec(OmegaP)timesvecF = vec(OmegaP) times(dvecp)/(dt)$
il primo membro non è altro che il momento della forza $vecF$ rispetto ad $Omega$ : lo chiamiamo $vecM$ . Per quanto riguarda il secondo membro, ci interessa introdurre il vettore momento angolare $vecL$ definito all'inizio, per cui deriviamo tale vettore rispetto al tempo :
$(dvecL)/(dt) = (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp + vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) $
e quindi, isolando il secondo termine al secondo membro :
$vec(OmegaP)times (dvecp)/(dt) =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$
ora al primo membro possiamo scrivere il momento della forza $vecF$ rispetto al polo mobile $Omega$ :
$vecM =(dvecL)/(dt) - (dvec (OmegaP))/(dt) timesvecp$
al posto di $vec (OmegaP)$ possiamo scrivere : $ vecr - vecr_\Omega$ . Effettuando la derivata di questa differenza di vettori , e moltiplicando vettorialmente per $vecp = mvecv$, notiamo che $ (dvecr)/(dt) = vecv$ e $vecp= mvecv$ sono paralleli, per cui il loro prodotto vettoriale è nullo. Rimane perciò :
$vecM =(dvecL)/(dt) - (-vecv_\Omega timesvecp) =(dvecL)/(dt) + vecv_\Omega timesvecp$
quindi, il momento della forza esterna rispetto al polo mobile $Omega$ è uguale alla derivata temporale del momento angolare più la quantità $vecv_\Omega timesvecp$ , che non si annulla se non quando il polo $Omega$ è fisso. Naturalmente qui non si parla di centro di massa perché le equazioni sono state scritte per un solo punto materiale . Ma il procedimento è analogo se si parla di un corpo rigido , nel qual caso la quantità di moto è uguale alla massa del corpo per la velocità del CM :
$ vecP = mvecv_(CM) $
per cui , nel caso del corpo rigido si può dire che il termine aggiuntivo è nullo solo se :
1) il polo $Omega$ è fisso, oppure
2) il polo è coincidente con il CM , perché hanno la stessa velocità, oppure
3) il polo è diverso dal CM , ma ha velocità parallela a quella del CM .
Naturalmente , resta valido tutto quanto detto circa il calcolo della derivata del momento angolare $(dvecL)/(dt)$ nel riferimento fisso , che si effettua applicando la formula di Poisson .
Vabè insomma ho capito che non vuoi guardarlo quello che ho scritto, perché questi sono esattamente i presupposti da cui sono partito, come ti sto dicendo da tre messaggi e come sarebbe evidente guardando il primo rigo del calcolo. Infatti la dipendenza dal polo mobile permane anche nel mio calcolo ma solo sottoforma di accelerazione dello stesso. Comunque hai esposto una chiara spiegazione, sarà sicuramente utile a chi legge.
I tuoi calcoli li ho guardati, invece. I passaggi sono giusti, ma penso che l'errore sia nella prima riga , cioè nella scrittura di di $l_0$ e di $M_0$ . Non dovrebbe esserci , nel primo termine , la velocità di G , cioè $v_G$ , anzichè quella del polo $v_0$ ? E perché in $M_0$ parti già dal presupposto che sia presente il termine $M(v_0\timesv_G)$?
spiega per quale ragione hai scritto queste due quantità in questo modo.
"Nikikinki":
$l_0=M(G-0)\timesv_0+I_0(\omega)$ e $M_0=(dl_0)/dt+M(v_0\timesv_G)$
spiega per quale ragione hai scritto queste due quantità in questo modo.
Sto calcolando rispetto ad O, é lui il polo mobile perché dovrei metterci vg ? Scusami se scrivo così sono con il telefono non posso inserire le formule.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo