Domanda sul teorema di torricelli
Credo di avere un dubbio su cui mi sono incastrato su questo teorema. In particolare ho capito l'idea di trascurare la velocità iniziale all'imboccatura del recipiente.
Tuttavia non capisco come mai la velocità in uscita se il foro è piccolo non abbia una dipendenza dalla sezione. Infatti facendomi un esempio numerico sapendo che la portata è $v_1A_1=v_2A_2$ (scrivo numeri senza unità di misura perché non capisco il motivo numerico) se avessi: $2*100000=100000*2$ bene, se raddoppiassi la sezione A2 dovrei mantenere portata costante $2*100000=50000*4$ e il rapporto $50000/100000$ si dimezza tanto quanto avessi avuto valori paragonabili $2*4=4*2$ raddoppiando la sezione A2 di nuovo $2*4=2*4$ ho lo stesso rapporto di 1/2 nelle velocità, quindi cavolo si che dipende dalla sezione!
Quindi mi pare che sia che la sezione sia piccola rispetto alla velocità, che molto grande, abbia sempre una dipendenza identica: se dimezza la sezione raddoppia, se divido per tre la triplica a prescindere dalla grandezza del buco sul fondo. Cioè ho sempre una dipendenza della velocità dalla sezione tanto quanto.
E' invece vero che è sensato trascurare $v_1$, infatti: $v_1=(v_2A_2)/A_1$ con A1>>A2 notiamo che v1 è davvro piccolo. Questo sì. Ma il discorso precedente non mi convince.
Tuttavia non capisco come mai la velocità in uscita se il foro è piccolo non abbia una dipendenza dalla sezione. Infatti facendomi un esempio numerico sapendo che la portata è $v_1A_1=v_2A_2$ (scrivo numeri senza unità di misura perché non capisco il motivo numerico) se avessi: $2*100000=100000*2$ bene, se raddoppiassi la sezione A2 dovrei mantenere portata costante $2*100000=50000*4$ e il rapporto $50000/100000$ si dimezza tanto quanto avessi avuto valori paragonabili $2*4=4*2$ raddoppiando la sezione A2 di nuovo $2*4=2*4$ ho lo stesso rapporto di 1/2 nelle velocità, quindi cavolo si che dipende dalla sezione!
Quindi mi pare che sia che la sezione sia piccola rispetto alla velocità, che molto grande, abbia sempre una dipendenza identica: se dimezza la sezione raddoppia, se divido per tre la triplica a prescindere dalla grandezza del buco sul fondo. Cioè ho sempre una dipendenza della velocità dalla sezione tanto quanto.
E' invece vero che è sensato trascurare $v_1$, infatti: $v_1=(v_2A_2)/A_1$ con A1>>A2 notiamo che v1 è davvro piccolo. Questo sì. Ma il discorso precedente non mi convince.
Risposte
Certamente c'è dipendenza ma non c'entra niente con la legge di Torricelli 
Per calcolare la velocità di uscita con la tua semplice proporzione, devi conoscere entrambe le sezioni e la velocità in entrata, tre valori non così facili da misurare (la velocità in entrata soprattutto).
Mentre con la legge suddetta ti basta la differenza in altezza tra i due livelli (che forse puoi trovare anche a occhio
)
Cordialmente, Alex
Per calcolare la velocità di uscita con la tua semplice proporzione, devi conoscere entrambe le sezioni e la velocità in entrata, tre valori non così facili da misurare (la velocità in entrata soprattutto).
Mentre con la legge suddetta ti basta la differenza in altezza tra i due livelli (che forse puoi trovare anche a occhio
)Cordialmente, Alex
Tieni presente che la velocità torricelliana di efflusso si trova applicando il teorema di Bernoulli a un “filetto fluido “, la sezione non c’entra. Quando poi vai a risolvere problemi di foronomia, certamente la portata di efflusso dipende anche dalla sezione. Ti dico anche che la sezione del getto ha, dopo un po’ che il getto è uscito dal foro, una contrazione della vena , cioè è più piccola del foro. Ma sono questioni tecniche.
Innanzitutto grazie mille!
Sì, avete ragione, sono stato poco chiaro.
Il punto era: applicando Bernoulli ho $p_1+rhogh_1+1/2rhov_1^2=p_1+rhogh_1+1/2rhov_1^2$
In particolare si trascura v1 perché $v_1=A_2/A_1v_2$ ma essendo A1>>A2 è trascurabile.
Quindi da Bernoulli applicato nel caso specifico in esame ritroviamo: $v_2=sqrt(2gh)$, vero, e quindi il risultato dice che è solo h a parametrizzare la velocità. Però questo mi sembra in contrasto con quanto dicevo sopra, poiché come mostravo la legge della costanza (continuità) della portata sembra invece suggerirmi che v2 dpende eccome dalla sezione anche se A2 è molto piccola e A1 enorme (adesempio avevo dimezzato la sezione piccola A2 considerando A1 enorme e mostrando che numericamente ovviamente la velocità dimezza tanto quanto una sezione A1 comparabile ad A2.
Sì, avete ragione, sono stato poco chiaro.
Il punto era: applicando Bernoulli ho $p_1+rhogh_1+1/2rhov_1^2=p_1+rhogh_1+1/2rhov_1^2$
In particolare si trascura v1 perché $v_1=A_2/A_1v_2$ ma essendo A1>>A2 è trascurabile.
Quindi da Bernoulli applicato nel caso specifico in esame ritroviamo: $v_2=sqrt(2gh)$, vero, e quindi il risultato dice che è solo h a parametrizzare la velocità. Però questo mi sembra in contrasto con quanto dicevo sopra, poiché come mostravo la legge della costanza (continuità) della portata sembra invece suggerirmi che v2 dpende eccome dalla sezione anche se A2 è molto piccola e A1 enorme (adesempio avevo dimezzato la sezione piccola A2 considerando A1 enorme e mostrando che numericamente ovviamente la velocità dimezza tanto quanto una sezione A1 comparabile ad A2.
Ripeto che Bernoulli si applica ad un filetto fluido, la sezione di efflusso non c’entra.
"mattiuzzobis":
... Però questo mi sembra in contrasto con quanto dicevo sopra, ...
Ma perché? Ti dimentichi che questa è un'approssimazione assumendo certe ipotesi e in questo contesto è una buona approssimazione ...
Certamente è una approssimazione e certamente si riduce ad applicare al filetto fluido come dite. Ma questo mi è chiaro, meno chiaro è il fatto che mi sembra che il valore ottenuto con bernoulli non si accordi con quanto mi suggerisce la formula della continuità della portata.
Intendo cioè dire: è chiaro che applicando bernoulli al filetto fluido succede che: 1) $p_1+rhogh_1=p_2+1/2rhov_1^2$ va benissimo trascurare v1 come mostravo. E otteniamo ciò che vogliamo.
Ma il risultato che ottendo da questa applicazione di bernoulli dice: la dipendenza di v2 è solo da h e non dalla sezione. Certo!
2) Ora prendo l'altra equazione altrettando valida $v_1A_1=v_2A_2$ e mostro che cambiando A2 cambia la velocità e mi dico ohibò ma questo stona con quanto mi dice bernoulli applicato al filetto fluido perché la portata sembra dice che anche se la sezione è piccola variandola varia v in uscita, mentre bernoulli dice di no.
Quindi il dubbio si svluppa nel confronto tra i risultati 1 e 2 equamente validi. Devo compiere un erore, è ovvio, ma non capisco dove
Intendo cioè dire: è chiaro che applicando bernoulli al filetto fluido succede che: 1) $p_1+rhogh_1=p_2+1/2rhov_1^2$ va benissimo trascurare v1 come mostravo. E otteniamo ciò che vogliamo.
Ma il risultato che ottendo da questa applicazione di bernoulli dice: la dipendenza di v2 è solo da h e non dalla sezione. Certo!
2) Ora prendo l'altra equazione altrettando valida $v_1A_1=v_2A_2$ e mostro che cambiando A2 cambia la velocità e mi dico ohibò ma questo stona con quanto mi dice bernoulli applicato al filetto fluido perché la portata sembra dice che anche se la sezione è piccola variandola varia v in uscita, mentre bernoulli dice di no.
Quindi il dubbio si svluppa nel confronto tra i risultati 1 e 2 equamente validi. Devo compiere un erore, è ovvio, ma non capisco dove
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