Domanda su potenziale (dimostrare lo sia)
In un esercizio mi si chiede:
Sia data, in una regione indefnita di spazio 2-dimensionale, la funzione $V(x,y) = ax^2+bxy-ay^2$, dove a; b sono costanti.
Dimostrare che V (x; y) rappresenta un potenziale elettrostatico.
Ho pensato bene di farne il gradiente, torvare qundi il campo e poi di fare lederivate miste e per schwarz (non ricordo mai se ci vada una t) essendo le miste $b=b$ affermarne che in effetti è campo conservativo il che implica un potenziale poiché il dominio è connesso (cioè usando poincare).
Sia data, in una regione indefnita di spazio 2-dimensionale, la funzione $V(x,y) = ax^2+bxy-ay^2$, dove a; b sono costanti.
Dimostrare che V (x; y) rappresenta un potenziale elettrostatico.
Ho pensato bene di farne il gradiente, torvare qundi il campo e poi di fare lederivate miste e per schwarz (non ricordo mai se ci vada una t) essendo le miste $b=b$ affermarne che in effetti è campo conservativo il che implica un potenziale poiché il dominio è connesso (cioè usando poincare).
Risposte
...e utilizzare semplicemente l’equazione di Laplace: $grad ^2V=0$ ?
Ciao sinuous,grazie per l'intervento.
Vorrei dirti che sei stato chiarificatore ma sono abbastanza nuovo dell'argomento e non ho capito come potrei sfruttare il tuo suggerimento. Potresti chiarirmelo meglio? Vorrei proprio imparare
Io so che l'equazione di laplace che hai scritto discende dalla più generale equazione di poisson $\nabla^2V=-\rho/\epsilon_0$ e in particolare dovrebbe dirci che: "se non c'èdensità di carica (quindi cariche) il laplaciano del potenziale è nullo. Giusto? Ma non ho capito come usarlo in tal caso non sapendo la distribuzione delle cariche.
Vorrei dirti che sei stato chiarificatore ma sono abbastanza nuovo dell'argomento e non ho capito come potrei sfruttare il tuo suggerimento. Potresti chiarirmelo meglio? Vorrei proprio imparare
Io so che l'equazione di laplace che hai scritto discende dalla più generale equazione di poisson $\nabla^2V=-\rho/\epsilon_0$ e in particolare dovrebbe dirci che: "se non c'èdensità di carica (quindi cariche) il laplaciano del potenziale è nullo. Giusto? Ma non ho capito come usarlo in tal caso non sapendo la distribuzione delle cariche.
Presumo che nel tuo problema si tratti di uno spazio libero da cariche distribuite (che dovrebbero essere altrimenti specificate), quindi: $ρ=0$. In altre parole: le cariche che generano il campo dovrebbero essere solo esterne al tuo spazio di indagine.
Quindi mi faccio illaplaciano di $V(x,y) = ax^2+bxy-ay^2$ e vedo ce se viene 0 posso affermare che V è un potenziale?
Però non ho capito come dedurre dalla sola espressione $ax^2+bxy-ay^2$ che $V(x,y)$ sia generato da cariche esterne al mio spazio.
Però non ho capito come dedurre dalla sola espressione $ax^2+bxy-ay^2$ che $V(x,y)$ sia generato da cariche esterne al mio spazio.
Non lo deduci dalla espressione del potenziale: è un dato implicito del problema, altrimenti avrebbero dovuto specificarlo. Prova a svolgere l’equazione di Laplace...
Sì certo l'ho svolta (sono molto curioso e non ho resistito) e funzionava -si tratta di fare la divergenza di un gradinte se non erro-, ma volevo capire per il futuro i motivi per cui potevo farlo. Ti ringrazio.
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