Domanda semplice su Lavoro delle forze non conservative
Ciao a tutti!
Ultimamente mi sto dando, nel tempo libero, alla fisica (di livello universitario). Sto vedendo il lavoro delle forze; in particolare, sto vedendo che il lavoro della forza di attrito è non conservativo, e quindi dipende dal percorso del corpo a cui il lavoro si applica.
Se a livello concettuale questo mi è chiarissimo ed è intuitivo, è a livello formale che non mi torna. Mi spiego meglio: in generale il lavoro è definito come:
$ L=\int_A^B \vecF \cdot d\vec(s)\cdotcos\theta $
Dove il theta rappresenta l'angolo compreso tra la direzione del vettore della forza e la direzione del vettore della traiettoria.
Quando applichiamo questa formula alla forza peso, otteniamo:
$ L=\int_A^B m\cdot\vec(g) \cdot d\vec(s)\cdotcos0° $
Ho impostato coseno di 0 (anziché di 90°) perché in realtà stiamo guardando il movimento verticale.
Il coseno di 0° è 1; m è una grandezza scalare fissa e g è un vettore di modulo costante, quindi li porto fuori. Ottengo di conseguenza:
$ L=m\cdot\vec(g) \int_A^B d\vec(s) $
E' proprio perché abbiamo l'integrale dello spostamento del vettore, da quanto ho capito, che la forza è conservativa, perché matematicamente si tratta di guardare lo spostamento del vettore e quindi delle sue componenti, e quindi conta solo "il delta" tra le posizioni finale e iniziale.
Quando sono arrivato alla determinazione del lavoro della forza di attrito, sostanzialmente la procedura è la stessa; si imposta la formula:
$ L=\int_A^B \vecF \cdot d\vec(s)\cdotcos\theta -> L=\int_A^B \mu \cdot N \cdot \hat{s} \cdot d\vec(s)\cdot cos 0° $
Dove $ \hat{a} $ è il versore parallelo alla traiettoria del corpo, N è il modulo della reazione vincolare, $ \mu $ è il fattore di attrito dinamico, e l'angolo theta è impostato a 0° perché la direzione della forza è parallela alla traiettoria del corpo.
A questo punto, come prima, porto fuori i fattori costanti (mu, N e il coseno di 0):
$ L = \mu \cdot N \int_A^B\hat{s} \cdot d\vec(s) $
Da qui, non so per quale motivo, il libro mostra la trasformazione:
$ L = \mu \cdot N \int_A^B\hat{s} \cdot d\vec(s)=\mu \cdot N \int_A^Bds $
In cui in pratica ha fatto: $ \hat{s} \cdot d\vec(s)=ds $
Immagino dunque che l'integrale di tutti i microspostamenti del corpo (cioè i "ds") sia diverso dall'integrale del vettore dello spostamento (cioè $ dvec(s) $), perché in qualche modo gli spostamenti "si accumulano" in valore assoluto, anche se si torna indietro nella traiettoria. E questo quindi immagino implichi che il lavoro compiuto in una traiettoria chiusa da questa forza non sia nullo.
Qualcuno riesce a spiegarmi sia il passaggio matematico di quella uguaglianza, sia l'interpretazione geometrica?
Grazie mille in anticipo!!
Jona
Ultimamente mi sto dando, nel tempo libero, alla fisica (di livello universitario). Sto vedendo il lavoro delle forze; in particolare, sto vedendo che il lavoro della forza di attrito è non conservativo, e quindi dipende dal percorso del corpo a cui il lavoro si applica.
Se a livello concettuale questo mi è chiarissimo ed è intuitivo, è a livello formale che non mi torna. Mi spiego meglio: in generale il lavoro è definito come:
$ L=\int_A^B \vecF \cdot d\vec(s)\cdotcos\theta $
Dove il theta rappresenta l'angolo compreso tra la direzione del vettore della forza e la direzione del vettore della traiettoria.
Quando applichiamo questa formula alla forza peso, otteniamo:
$ L=\int_A^B m\cdot\vec(g) \cdot d\vec(s)\cdotcos0° $
Ho impostato coseno di 0 (anziché di 90°) perché in realtà stiamo guardando il movimento verticale.
Il coseno di 0° è 1; m è una grandezza scalare fissa e g è un vettore di modulo costante, quindi li porto fuori. Ottengo di conseguenza:
$ L=m\cdot\vec(g) \int_A^B d\vec(s) $
E' proprio perché abbiamo l'integrale dello spostamento del vettore, da quanto ho capito, che la forza è conservativa, perché matematicamente si tratta di guardare lo spostamento del vettore e quindi delle sue componenti, e quindi conta solo "il delta" tra le posizioni finale e iniziale.
Quando sono arrivato alla determinazione del lavoro della forza di attrito, sostanzialmente la procedura è la stessa; si imposta la formula:
$ L=\int_A^B \vecF \cdot d\vec(s)\cdotcos\theta -> L=\int_A^B \mu \cdot N \cdot \hat{s} \cdot d\vec(s)\cdot cos 0° $
Dove $ \hat{a} $ è il versore parallelo alla traiettoria del corpo, N è il modulo della reazione vincolare, $ \mu $ è il fattore di attrito dinamico, e l'angolo theta è impostato a 0° perché la direzione della forza è parallela alla traiettoria del corpo.
A questo punto, come prima, porto fuori i fattori costanti (mu, N e il coseno di 0):
$ L = \mu \cdot N \int_A^B\hat{s} \cdot d\vec(s) $
Da qui, non so per quale motivo, il libro mostra la trasformazione:
$ L = \mu \cdot N \int_A^B\hat{s} \cdot d\vec(s)=\mu \cdot N \int_A^Bds $
In cui in pratica ha fatto: $ \hat{s} \cdot d\vec(s)=ds $
Immagino dunque che l'integrale di tutti i microspostamenti del corpo (cioè i "ds") sia diverso dall'integrale del vettore dello spostamento (cioè $ dvec(s) $), perché in qualche modo gli spostamenti "si accumulano" in valore assoluto, anche se si torna indietro nella traiettoria. E questo quindi immagino implichi che il lavoro compiuto in una traiettoria chiusa da questa forza non sia nullo.
Qualcuno riesce a spiegarmi sia il passaggio matematico di quella uguaglianza, sia l'interpretazione geometrica?
Grazie mille in anticipo!!
Jona
Risposte
[/quote][/quote]"Jona_AT”:
[...]
Da qui, non so per quale motivo, il libro mostra la trasformazione:
$ L = \mu \cdot N \int_A^B\hat{s} \cdot d\vec(s)=\mu \cdot N \int_A^Bds $
In cui in pratica ha fatto: $ \hat{s} \cdot d\vec(s)=ds $
..........
Qualcuno riesce a spiegarmi sia il passaggio matematico di quella uguaglianza, sia l'interpretazione geometrica?
Grazie mille in anticipo!!
Jona
Non so su quale libro stai rivedendo questi concetti. Dal tuo scritto, mi rendo conto che hai qualche idea un po’ confusa...
Per quanto riguarda quel passaggio, il tuo libro in un eccesso di zelo ha specificato il versore $hats$ , che moltiplicato scalarmente per $vecds$ dà lo spostamento $ds$ in forma scalare.
Ciao Shackle,
Grazie mille. Per quanto riguarda la confusione a cui hai accennato, a parte il fatto che non avevo capito si trattasse di un prodotto scalare che diventa appunto $ ds $ come hai detto tu, dove altro sto sbagliando?
Inoltre posso chiedere perché l'integrale di $ int_A^Bd\vec(s) $, al contrario dell'integrale di $ ds $, dipende solo dai valori finale e iniziale dei componenti, e non dal "percorso" effettuato?
Grazie!!
Jona
Grazie mille. Per quanto riguarda la confusione a cui hai accennato, a parte il fatto che non avevo capito si trattasse di un prodotto scalare che diventa appunto $ ds $ come hai detto tu, dove altro sto sbagliando?
Inoltre posso chiedere perché l'integrale di $ int_A^Bd\vec(s) $, al contrario dell'integrale di $ ds $, dipende solo dai valori finale e iniziale dei componenti, e non dal "percorso" effettuato?
Grazie!!
Jona
Ho impostato coseno di 0 (anziché di 90°) perché in realtà stiamo guardando il movimento verticale
Il secondo valore non è 90º, è 180º , perché l’asse verticale cambia orientamento, da positivo verso il basso, cioè concorde con $vecg$ , a positivo verso l’alto, quindi discorde con $vecg$ . Infatti $cos90º = 0 $ , e $cos 180º = -1$ .
Ma poi, che cosa c’entra tutto questo discorso sull’integrale dello spostamento, cioé questo :
E' proprio perché abbiamo l'integrale dello spostamento del vettore, da quanto ho capito, che la forza è conservativa, perché matematicamente si tratta di guardare lo spostamento del vettore e quindi delle sue componenti, e quindi conta solo "il delta" tra le posizioni finale e iniziale.
che ti fa capire che la forza è conservativa ? E anche quest’altro :
Immagino dunque che l'integrale di tutti i microspostamenti del corpo (cioè i "ds") sia diverso dall'integrale del vettore dello spostamento (cioè ds⃗), perché in qualche modo gli spostamenti "si accumulano" in valore assoluto, anche se si torna indietro nella traiettoria. E questo quindi immagino implichi che il lavoro compiuto in una traiettoria chiusa da questa forza non sia nullo.
non riesco ad afferrare i tuoi ragionamenti.
Ciao Shackle, credo che il problema sia che Jona stia cercando di razionalizzare il problema che l'attrito sia non conservativo cercando una spiegazione in termini di spostamento.
Vediamo se affrontando diversamente la questione risulta più chiaro che il problema non sono gli spostamenti ma la forza.
Nel caso della forza peso, questa è realmente costante e non cambia verso invertendo il moto, per cui se integro il lavoro in un percorso chiuso A->B->A l'integrale risultante è nullo (per una dimostrazione effettiva rimando ai libri di testo).
Questo significa che l'integrale non dipende dal percorso: infatti se integro A->B secondo due percorsi (1) e (2) differenti tra loro e cambio il verso di percorrenza del secondo percorso, e quindi ne inverto il valore, ottengo un percorso chiuso e quindi (1) - (2) = 0 ovvero (1) = (2).
Invece la forza di attrito dinamico è descritta in realtà dalla seguente espressione vettoriale:
$vec F_a = -mu*N*vec v/abs(v)$
Quindi non è costante come la forza peso!
Poichè tale forza si inverte cambiando il senso del moto l'integrale in un percorso chiuso non può essere nullo e quindi l'attrito non è una forza conservativa.
Vediamo se affrontando diversamente la questione risulta più chiaro che il problema non sono gli spostamenti ma la forza.
Nel caso della forza peso, questa è realmente costante e non cambia verso invertendo il moto, per cui se integro il lavoro in un percorso chiuso A->B->A l'integrale risultante è nullo (per una dimostrazione effettiva rimando ai libri di testo).
Questo significa che l'integrale non dipende dal percorso: infatti se integro A->B secondo due percorsi (1) e (2) differenti tra loro e cambio il verso di percorrenza del secondo percorso, e quindi ne inverto il valore, ottengo un percorso chiuso e quindi (1) - (2) = 0 ovvero (1) = (2).
Invece la forza di attrito dinamico è descritta in realtà dalla seguente espressione vettoriale:
$vec F_a = -mu*N*vec v/abs(v)$
Quindi non è costante come la forza peso!
Poichè tale forza si inverte cambiando il senso del moto l'integrale in un percorso chiuso non può essere nullo e quindi l'attrito non è una forza conservativa.
Si certo Ingres. Suggerisco talvolta, a chi fa domande , di usare la funzione “cerca…” del forum. Digitando “lavoro forze non conservative “ vengono fuori più di 400 messaggi, con spiegazioni ed esempi pratici, che aiutano a capire. Perché buttarsi a capofitto in ragionamenti non corretti? L ‘ OP non ha un docente a cui chiedere.
Ciao Ingres,
Grazie mille, è molto vicino a quello che cercavo, sebbene stessi focalizzandomi più sul formalismo matematico, ma sicuramente la tua spiegazione mi ha messo sulla giusta strada, grazie mille
@Shackle,
Ho sfogliato più di una trentina di topic che potevano essere rilevanti e non ho trovato nulla che facesse al caso mio Li hai guardati anche tu? Sai indicare qualcuno che risponde proprio alla mia domanda? Su che presupposto dici che mi sono buttato a capofitto?
Ti consiglio di essere più amichevole, almeno qui sul forum, perché 4200 messaggi non ti rendono superiore a nessuno.
Grazie!
Jona
Grazie mille, è molto vicino a quello che cercavo, sebbene stessi focalizzandomi più sul formalismo matematico, ma sicuramente la tua spiegazione mi ha messo sulla giusta strada, grazie mille
@Shackle,
Ho sfogliato più di una trentina di topic che potevano essere rilevanti e non ho trovato nulla che facesse al caso mio
Li hai guardati anche tu? Sai indicare qualcuno che risponde proprio alla mia domanda? Su che presupposto dici che mi sono buttato a capofitto?Ti consiglio di essere più amichevole, almeno qui sul forum, perché 4200 messaggi non ti rendono superiore a nessuno.
Grazie!
Jona
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