Domanda generica sul momento di inerzia.
"Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse dato descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse" (Wikipedia)
Sappiamo che: Momento di inerzia = Massa del corpo x (Distanza tra baricentro e asse o centro di rotazione)^2
Se il baricentro però coincide con il centro di rotazione, oppure giace sull'asse di rotazione, automaticamente il momento di inerzia risulta paria a zero.
Però piú avanti leggo, sempre da Wikipedia: "Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore."
Ma io mi chiedo... se abbiamo due oggetti omogenei e simmetrici come sfere, anelli, cilindri mi viene naturale pensare che durante il rotolamento il loro baricentro giace già sull'asse di rotazione che li attraversa (o sbaglio?), il che vorrebbe dire, come visto poco fa, che il momento di inerzia risulterebbe zero per tutti questi oggetti, quindi in accordo con la citazione iniziale, la difficoltà a far variare il moto angolare dovrebbe risultare uguale.
Dov'è che sbaglio?
Sappiamo che: Momento di inerzia = Massa del corpo x (Distanza tra baricentro e asse o centro di rotazione)^2
Se il baricentro però coincide con il centro di rotazione, oppure giace sull'asse di rotazione, automaticamente il momento di inerzia risulta paria a zero.
Però piú avanti leggo, sempre da Wikipedia: "Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore."
Ma io mi chiedo... se abbiamo due oggetti omogenei e simmetrici come sfere, anelli, cilindri mi viene naturale pensare che durante il rotolamento il loro baricentro giace già sull'asse di rotazione che li attraversa (o sbaglio?), il che vorrebbe dire, come visto poco fa, che il momento di inerzia risulterebbe zero per tutti questi oggetti, quindi in accordo con la citazione iniziale, la difficoltà a far variare il moto angolare dovrebbe risultare uguale.
Dov'è che sbaglio?
Risposte
il momento di inerzia $I=mr^2$ è una grandezza scalare che esprime la "inerzia" di un corpo a modificare la sua velocità di rotazione. E' una grandezza molto utile a descrivere il moto di corpi in rotazione rispetto a un asse. Un classico caso da studiare mediante il momento di inerzia è la pattinatrice che aumenta la sua velocità raccogliendo le braccia attorno al corpo...
tale grandezza dipende strettamente da come è fatto il corpo... per un disco, una sfera vuota, una sfera piena, un cilindro, una sbarra hai momenti di inerzia diversi! si calcolano mediante integrale triplo e il calcolo non è per nulla semplice. il valore della formula $I=mr^2$ si riferisce a un punto ma per esempio un disco ha $I=1/2 mr^2$.
per rispondere alla tua domanda: prendi due dischi, stessa massa, ma uno di raggio 1 metro e l'altro di raggio 10cm... prova a farli girare... sarà più difficile far girare il primo perchè a parità di massa quella del primo è distribuita più lontano dall'asse di rotazione e la grandezza I esprime questa difficoltà
tale grandezza dipende strettamente da come è fatto il corpo... per un disco, una sfera vuota, una sfera piena, un cilindro, una sbarra hai momenti di inerzia diversi! si calcolano mediante integrale triplo e il calcolo non è per nulla semplice. il valore della formula $I=mr^2$ si riferisce a un punto ma per esempio un disco ha $I=1/2 mr^2$.
per rispondere alla tua domanda: prendi due dischi, stessa massa, ma uno di raggio 1 metro e l'altro di raggio 10cm... prova a farli girare... sarà più difficile far girare il primo perchè a parità di massa quella del primo è distribuita più lontano dall'asse di rotazione e la grandezza I esprime questa difficoltà
Me se r (che sarebbe la distanza tra l'asse di rotazione e il baricentro) risulta zero in entrambi i casi (poichè il baricentro giace sull'asse di rotazione), allora anche il momento di inerzia risulta zero, indipendentemente dalla massa o raggio dei dischi, o sbaglio?
"Marvin94":
Dov'è che sbaglio?
Certamente sbagli nel leggere queste fandonie su Wikipedia ! ( Ci sarebbe un termine ben più pesante da dire, anziché fandonie….
)"Marvin94":
"Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse dato descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse" (Wikipedia)
Inesatto! E quale sarebbe "il proprio asse?" Qual è l'asse di una patata? E una sfera? Ha un solo asse, una sfera? (ho messo vicino apposta due casi estremi…per farti riflettere un po'
). Si può calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse qualsiasi, messo anche sulla Luna….Ed esso non "descrive" solo quello...Sappiamo che: Momento di inerzia = Massa del corpo x (Distanza tra baricentro e asse o centro di rotazione)^2
No, completamente sbagliato! Pure questo dice Wikipedia? Non ci posso credere...
Se il baricentro però coincide con il centro di rotazione, oppure giace sull'asse di rotazione, automaticamente il momento di inerzia risulta paria a zero.
Logicamente, se fossero vere le cose dette prima , questa sarebbe la conclusione! Che è sbagliata !
Però piú avanti leggo, sempre da Wikipedia: "Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore."
Beh, anche qui c'è una imprecisione. Prima dice : "l'anello rotolerà "più lentamente" . Poi dice "a parità di velocità" . E allora : si può sapere che cosa vuol dire ?
Se anello e disco hanno la stessa massa e raggio , l'anello supposto "sottile" ha momento di inerzia $mr^2$ , il disco $1/2mr^2$. Per imprimere la stessa velocità angolare $\omega$ a entrambi , l'anello richiede energia cinetica maggiore : $1/2I\omega^2 = 1/2mr^2\omega^2$ ; il disco richiede minor energia cinetica : $1/2I\omega^2 = 1/4mr^2\omega^2$ . Questo vuol dire . E naturalmente si sta parlando di asse di rotazione centrale di inerzia, perpendicolare al piano che taglia anello e disco secondo una circonferenza (cerchio per il disco).
Quanti errori e imprecisioni!
Ma io mi chiedo... se abbiamo due oggetti omogenei e simmetrici come sfere, anelli, cilindri mi viene naturale pensare che durante il rotolamento il loro baricentro giace già sull'asse di rotazione che li attraversa (o sbaglio?), il che vorrebbe dire, come visto poco fa, che il momento di inerzia risulterebbe zero per tutti questi oggetti, quindi in accordo con la citazione iniziale, la difficoltà a far variare il moto angolare dovrebbe risultare uguale.
Stesso discorso di prima : se parti da premesse errate, arrivi a conclusioni errate come questa.
Chi ti ha risposto già ha detto cose buone. Rifletti su quelle, e su quanto ti sto dicendo.
Me se r (che sarebbe la distanza tra l'asse di rotazione e il baricentro) risulta zero in entrambi i casi (poichè il baricentro giace sull'asse di rotazione), allora anche il momento di inerzia risulta zero, indipendentemente dalla massa o raggio dei dischi, o sbaglio?
Lo sbaglio ripetuto segue dai precedenti presupposti errati.
Fai questo calcolo : prendi un piano inclinato scabro, di altezza $h$ e lunghezza $L$ . Metti in cima al piano inclinato una sfera, un cilindro cavo (con la massa praticamente concentrata solo sulla circonferenza) e un cilindro pieno. Poi lasciali liberi di rotolare senza strisciare verso il basso. Chi arriva prima ? Si può applicare la conservazione dell'energia, perché la forza di attrito statico non compie lavoro. Avrai qualche utile risultato svolgendo l'esercizio.
Non leggere Wikipedia, te lo consiglio. Forse tu non hai colpa, ma prendi il tuo libro e studia da lì questi importanti concetti di meccanica.
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