Distribuzione con densità volumetrica?
salve, ho un problema di tipo concettuale, vi spiego: supponiamo di avere una carica positiva distribuita con densità volumetrica $rho$ uniforme nella regione di spazio limitata dai piani x=-L e x=L, come trovo il campo elettrostatico tra i due piani? dove metto la superficie di gaus?
il risultato è $E=rho*x/epsilon_0$ come faccio a ottenerlo?
grazie
il risultato è $E=rho*x/epsilon_0$ come faccio a ottenerlo?
grazie
Risposte
La cosa più semplice da fare è considerare un cilindro di base $A$ e altezza $x$, con l'asse perpendicolare ai piani e avente una base giacente sul piano di equazione $x=0$.
Il flusso di $E$ attraverso la superficie laterale è nullo, perchè il campo è parallelo a tale superficie per ragioni di simmetria.
Anche il flusso attraverso la base posta in $x=0$ è nullo, perchè lungo tale piano è il campo ad essere nullo (siccome $x=0$ è esattamente al centro della distribuzione, per ogni elemento di volume che si trova, diciamo, nella posizione $x=x_0$, esiste sempre un elemento, nella posizione $x=-x_0$, che genera in $x=0$ un campo uguale in modulo ed opposto in verso al campo dovuto all'altro volumetto).
L'unico flusso netto è quello attraverso la base posta alla coordinata generica $x$; qui il campo è ortogonale alla base (cioè parallelo al versore $hat(n)$ ortogonale alla base).
Per il teorema di Gauss, quindi, si ha che:
$int int vec(E)*hat(n) dA = E A = q/(epsilon_0) = (rho A x)/(epsilon_0) -> E = (rho x)/(epsilon_0)$
Il flusso di $E$ attraverso la superficie laterale è nullo, perchè il campo è parallelo a tale superficie per ragioni di simmetria.
Anche il flusso attraverso la base posta in $x=0$ è nullo, perchè lungo tale piano è il campo ad essere nullo (siccome $x=0$ è esattamente al centro della distribuzione, per ogni elemento di volume che si trova, diciamo, nella posizione $x=x_0$, esiste sempre un elemento, nella posizione $x=-x_0$, che genera in $x=0$ un campo uguale in modulo ed opposto in verso al campo dovuto all'altro volumetto).
L'unico flusso netto è quello attraverso la base posta alla coordinata generica $x$; qui il campo è ortogonale alla base (cioè parallelo al versore $hat(n)$ ortogonale alla base).
Per il teorema di Gauss, quindi, si ha che:
$int int vec(E)*hat(n) dA = E A = q/(epsilon_0) = (rho A x)/(epsilon_0) -> E = (rho x)/(epsilon_0)$
non capisco perchè il campo è nullo in x=0? non riesco ad immaginare l'elementino di volume che dici tu posto a $x=x0$ e l'altro posto a $x=-x0$ se inoltre scegliessi una superficie di gaus che non ha la base giacente sul piano di equazione $x=0$ ? come si potrebbe fare in quel caso?
Supponi che la densità di carica sia positiva (se è negativa non cambia nulla).
Immagina questi volumetti come cariche puntiformi.
La carica in $x=x_0$ genera un campo elettrico nel punto $x=0$ diretto verso le $x$ negative: possiamo chiamarlo $-dE$.
L'altra carica in $x=-x_0$ genera invece, nello stesso punto, un campo $dE$, che sommandosi al primo da zero.
Tutto ciò vale per ogni coppia di punti equidistanti dal piano $x=0$ che si trovano dalle parti opposte di questo piano.
Il caso più semplice si ha se le due cariche hanno la stessa ordinata, cioè se formano un segmento di lunghezza $2x_0$ centrato in$x=0$ e parallelo all'asse $x$, ma si possono avere anche altre possibilità: infatti, fissate le due ascisse, le ordinate possono essere diverse ed assumere qualunque valore. In tal caso i due campi infinitesimi che si sommano annullandosi non sono paralleli all'asse x ma diretti invece come la congiungente le due cariche.
Ho posto la prima base su $x=0$ per semplicità, cioè per avere un flusso nullo di $vec(E)$ attraverso tale base. In realtà puoi porre quella base in ogni altro punto, non cambia nulla.
Immagina questi volumetti come cariche puntiformi.
La carica in $x=x_0$ genera un campo elettrico nel punto $x=0$ diretto verso le $x$ negative: possiamo chiamarlo $-dE$.
L'altra carica in $x=-x_0$ genera invece, nello stesso punto, un campo $dE$, che sommandosi al primo da zero.
Tutto ciò vale per ogni coppia di punti equidistanti dal piano $x=0$ che si trovano dalle parti opposte di questo piano.
Il caso più semplice si ha se le due cariche hanno la stessa ordinata, cioè se formano un segmento di lunghezza $2x_0$ centrato in$x=0$ e parallelo all'asse $x$, ma si possono avere anche altre possibilità: infatti, fissate le due ascisse, le ordinate possono essere diverse ed assumere qualunque valore. In tal caso i due campi infinitesimi che si sommano annullandosi non sono paralleli all'asse x ma diretti invece come la congiungente le due cariche.
Ho posto la prima base su $x=0$ per semplicità, cioè per avere un flusso nullo di $vec(E)$ attraverso tale base. In realtà puoi porre quella base in ogni altro punto, non cambia nulla.
bene, grazie, ho capito il tuo ragionamento, ho però un obbiezione...il campo in $x=0$ non può essere nullo, perché fuori dalla regione compresa tra i due piani il campo è costante ed è diverso da 0. no?
poi se per esempio mettessi il cilindro di gaus non coincidente con il piano, come si trasformerebbero le cose? avrei due aree in cui passa il campo?
come funziona in questo caso?
poi se per esempio mettessi il cilindro di gaus non coincidente con il piano, come si trasformerebbero le cose? avrei due aree in cui passa il campo?
come funziona in questo caso?
Bè, più che invitarti ad immaginare le cariche puntiformi disposte simmetricamente rispetto a $x=0$ non posso fare...fai un pò di prove (dei disegni), vedrai che se le ascisse delle due cariche sono opposte allora il campo risultante in $x=0$ è sempre nullo.
Inoltre, il risultato finale (sicuramente corretto, visto che me lo hai fornito tu) dice chiaramente che $E=0$ per $x=0$.
Se le basi del cilindro si trovano alle ascisse $x_1$ e $x_2$ generiche, allora:
$int int vec(E)*hat(n) dA = (E(x_1) + E(x_2))A = (rho A)/(epsilon_0) (|x_1| + |x_2|)$
Questa formula generale è inutilmente prolissa: conviene porre, per esempio, $x_1=0$ e chiamare $x_2=x$; poichè $E(x_1=0)=0$ (spero che te ne convincerai), allora riottieni la formula precedente più comoda.
Inoltre, il risultato finale (sicuramente corretto, visto che me lo hai fornito tu) dice chiaramente che $E=0$ per $x=0$.
Se le basi del cilindro si trovano alle ascisse $x_1$ e $x_2$ generiche, allora:
$int int vec(E)*hat(n) dA = (E(x_1) + E(x_2))A = (rho A)/(epsilon_0) (|x_1| + |x_2|)$
Questa formula generale è inutilmente prolissa: conviene porre, per esempio, $x_1=0$ e chiamare $x_2=x$; poichè $E(x_1=0)=0$ (spero che te ne convincerai), allora riottieni la formula precedente più comoda.
beh si chiaramente, scusami ho interpretato male il tuo messaggio, avevo inteso il tuo piano x=o in un'altro modo...comunque si torna tutto...mentre all'esterno dei due piani ho un campo che posso calcolarmi mettendo una superficie di gaus mezza fuori e mezza dentro o semplicemente ponendo $x=d$ nell'espressione finale giusto? un'ultima cosa, se invece avessi una densità volumetrica dipendente da x $rho(x)$? come mi devo comportare?applico il teorema della divergenza? se si come posso fare?
grazie
grazie
Si, per avere il campo fuori dai due piani basta porre $x=L$; infatti, la massima quantità di carica che si può avere nel cilindro così costruito è $rho A L$.
Nel caso della densità di carica funzione della distanza dal piano $x=0$, ovvero $rho(x)$, la novità è che non puoi calcolare più la carica semplicemente come $rho A x$.
In tal caso, è necessario scrivere la carica nel cilindro come l'integrale $q = A int_0^x rho(x') dx'$; il risultato finale sarebbe:
$E(x) = 1/(epsilon_0) int_0^x rho(x') dx'$
Per risolvere l'integrale devi necessariamente conoscere la forma funzionale di $rho(x)$ (per esempio $x$, $x^2$ o qualunque altra funzione più complicata).
Se non conosci la forma funzionale, non puoi andare oiltre questa formula generica.
Nel caso della densità di carica funzione della distanza dal piano $x=0$, ovvero $rho(x)$, la novità è che non puoi calcolare più la carica semplicemente come $rho A x$.
In tal caso, è necessario scrivere la carica nel cilindro come l'integrale $q = A int_0^x rho(x') dx'$; il risultato finale sarebbe:
$E(x) = 1/(epsilon_0) int_0^x rho(x') dx'$
Per risolvere l'integrale devi necessariamente conoscere la forma funzionale di $rho(x)$ (per esempio $x$, $x^2$ o qualunque altra funzione più complicata).
Se non conosci la forma funzionale, non puoi andare oiltre questa formula generica.
Un metodo alternativo al teorema di Gauss è quello di impostare l'equazione differenziale
$(partialE_x)/(partialx)+(partialE_y)/(partialy)+(partialE_z)/(partialz)=(rho(x,y,z))/epsilon_0$
Per simmetria, con asse x perpendicolare ai due piani diventa solo
$(partialE_x)/(partialx)=(rho(x,y,z))/epsilon_0$
E quindi risolvere questa all'interno dei due piani con la condizione ricavata dalla simmetria $E_x(0,y,z)=0$
Impostando poi la condizione che il campo elettrico sia continuo risolvere anche all'esterno, dove la distribuzione di carica volumetrica è nulla.
$(partialE_x)/(partialx)+(partialE_y)/(partialy)+(partialE_z)/(partialz)=(rho(x,y,z))/epsilon_0$
Per simmetria, con asse x perpendicolare ai due piani diventa solo
$(partialE_x)/(partialx)=(rho(x,y,z))/epsilon_0$
E quindi risolvere questa all'interno dei due piani con la condizione ricavata dalla simmetria $E_x(0,y,z)=0$
Impostando poi la condizione che il campo elettrico sia continuo risolvere anche all'esterno, dove la distribuzione di carica volumetrica è nulla.
non capisco come si possa affermare che il campo è parallelo all'asse x, e quindi assumere che sulla superficie laterale del cilindro il flusso sia nullo. a me non pare tanto ovvio: abbiamo un certo volume pieno di carica, semmai è naturale pensare che E vada in tutte le direzioni, per cui non vedo queste "ragioni di simmetria"..
sei sicuro del testo del problema? oppure qualcuno mi può chiarire questo argomento?
sei sicuro del testo del problema? oppure qualcuno mi può chiarire questo argomento?
@sonoqui_ grazie per la soluzione alternativa cosa intendi con $(rho(x,y,z))/(epsilon_0)$ nell'equazione differenziale?
@VINX89
non capisco la tua nuova proposta di formula, non manca una $x$ nell'integrale?
il teorema della divergenza si può applicare in questo caso?
non capisco come si possa affermare che il campo è parallelo all'asse x, e quindi assumere che sulla superficie laterale del cilindro il flusso sia nullo. a me non pare tanto ovvio: abbiamo un certo volume pieno di carica, semmai è naturale pensare che E vada in tutte le direzioni, per cui non vedo queste "ragioni di simmetria"..Vinx, non ha detto questo, sulla superficie laterale il flusso infatti non è nullo...è nullo solamente "in mezzo" essendo i due piani posti in $x=+-l$ per il discorso fatto a me in precendenza,
sei sicuro del testo del problema? oppure qualcuno mi può chiarire questo argomento?
@VINX89
non capisco la tua nuova proposta di formula, non manca una $x$ nell'integrale?
il teorema della divergenza si può applicare in questo caso?
Immagina di suddividere la regione di spazio racchiusa tra i due piani in tanti cubetti con due facce parallele ai piani, di scegliere un qualsiasi punto dello spazio e di posizionare tutta la carica contenuta all'interno di ogni cubetto prima nel punto più lontano del cubetto dal punto considerato e poi in quello più vicino, come fosse una carica puntiforme. In entrambe le situazioni ad ogni punto su un cubetto, visto che i piani si estendono illimitatamente, è possibile trovare un punto simmetrico rispetto all'asse perpendicolare ai due piani e passante per il punto considerato nello spazio.
Utilizzando la legge di Coulomb risulta che indipendentemente dalle dimensioni dei cubetti in cui si divide il piano il campo elettrico è parallelo all'asse in entrambi i casi.
Utilizzando la legge di Coulomb risulta che indipendentemente dalle dimensioni dei cubetti in cui si divide il piano il campo elettrico è parallelo all'asse in entrambi i casi.
"giolb10":
@sonoqui_ grazie per la soluzione alternativa cosa intendi con $(rho(x,y,z))/(epsilon_0)$ nell'equazione differenziale?
In questo caso è solo $rho(x)$.
@giolb10
No, non manca una $x$ nell'integrale. L'integrale è una somma: in questo caso bisogna sommare tanti contributi del tipo $rho(x) dx$ (ognuno dei quali è
moltiplicato per $A$, che viene "messo in evidenza", cioè tirato fuori dall'integrale).
Ognuno di questi contributi, $rho(x) dx A$, è la carica contenuta in un cilindro infinitesimo di base $A$ e altezza $dx$. La somma integrale ti da la carica totale.
Aggiungere $x$ da un risultato sbagliato, non ha significato; tra l'altro, neanche le dimensioni del''integrando (carica elettrica) tornerebbero (avresti una
carica per una lunghezza).
Il teorema della divergenza semplicemente ti porterebbe alla proposta di soluzione di sonoqui_:
$int int vec(E)*hat(n) dA = int int int nabla*vec(E) dV = 1/(epsilon_0) int int int rho(x) dV -> nabla*vec(E) = (rho(x))/(epsilon_0)$
In tal caso, per coerenza di notazione ho scritto l'integrale della densità di carica in questo modo, ma volendo si potrebbe esplicitare il tutto come:
$int int int rho(x) dV = int rho(x) dx int dy int dz = A int rho(x) dx$
No, non manca una $x$ nell'integrale. L'integrale è una somma: in questo caso bisogna sommare tanti contributi del tipo $rho(x) dx$ (ognuno dei quali è
moltiplicato per $A$, che viene "messo in evidenza", cioè tirato fuori dall'integrale).
Ognuno di questi contributi, $rho(x) dx A$, è la carica contenuta in un cilindro infinitesimo di base $A$ e altezza $dx$. La somma integrale ti da la carica totale.
Aggiungere $x$ da un risultato sbagliato, non ha significato; tra l'altro, neanche le dimensioni del''integrando (carica elettrica) tornerebbero (avresti una
carica per una lunghezza).
Il teorema della divergenza semplicemente ti porterebbe alla proposta di soluzione di sonoqui_:
$int int vec(E)*hat(n) dA = int int int nabla*vec(E) dV = 1/(epsilon_0) int int int rho(x) dV -> nabla*vec(E) = (rho(x))/(epsilon_0)$
In tal caso, per coerenza di notazione ho scritto l'integrale della densità di carica in questo modo, ma volendo si potrebbe esplicitare il tutto come:
$int int int rho(x) dV = int rho(x) dx int dy int dz = A int rho(x) dx$
"giolb10":
@sonoqui_ grazie per la soluzione alternativa cosa intendi con $(rho(x,y,z))/(epsilon_0)$ nell'equazione differenziale?
non capisco come si possa affermare che il campo è parallelo all'asse x, e quindi assumere che sulla superficie laterale del cilindro il flusso sia nullo. a me non pare tanto ovvio: abbiamo un certo volume pieno di carica, semmai è naturale pensare che E vada in tutte le direzioni, per cui non vedo queste "ragioni di simmetria"..Vinx, non ha detto questo, sulla superficie laterale il flusso infatti non è nullo...è nullo solamente "in mezzo" essendo i due piani posti in $x=+-l$ per il discorso fatto a me in precendenza,
sei sicuro del testo del problema? oppure qualcuno mi può chiarire questo argomento?
forse sei tu ad aver letto male: "Il flusso di E attraverso la superficie laterale è nullo, perchè il campo è parallelo a tale superficie per ragioni di simmetria."
secondo me hai un po' di confusione su cosa sia il flusso, o almeno è quello che traspare dall'affermazione che fai.
@sonoqui: non trovo fosse così ovvio, comunque ora ho capito. a prima vista mi sembrava si potesse fare lo stesso ragionamento anche per l'altro asse, però il metodo fallisce perchè la distanza tra i due piani è finita, e quindi non tutte le componenti verrebbero compensate.
@VINX87
è vero, ora è tutto chiaro, ti ringrazio davvero per la pazienza che ci hai messo e per l'ottima spiegazione.
complimenti.
@enr87
no scusa, ovviamente intendevo il campo, il campo non da contributo in quella zona appunto perchè il flusso è nullo,comunque perchè dici che non tutte le componenti verrebbero compensate?
edit: ok ho capito.
è vero, ora è tutto chiaro, ti ringrazio davvero per la pazienza che ci hai messo e per l'ottima spiegazione.
complimenti.
@enr87
no scusa, ovviamente intendevo il campo, il campo non da contributo in quella zona appunto perchè il flusso è nullo,comunque perchè dici che non tutte le componenti verrebbero compensate?
edit: ok ho capito.
ma guarda che non c'entra: campo nullo e flusso nullo sono due cose del tutto indipendenti (quasi sempre). il flusso in questo caso è nullo perchè la superficie attraversata da E ha misura nulla, oppure se preferisci la superficie è ortogonale al campo (sono due punti di vista).
per la seconda questione, dovresti ripetere il ragionamento di sonoqui_ per l'asse parallelo ai due piani e al piano xy (in pratica giri l'asse di prima di 90 gradi), con un po' di meditazione dovresti accorgerti che non è possibile ottenere un campo parallelo a quest'asse.
per la seconda questione, dovresti ripetere il ragionamento di sonoqui_ per l'asse parallelo ai due piani e al piano xy (in pratica giri l'asse di prima di 90 gradi), con un po' di meditazione dovresti accorgerti che non è possibile ottenere un campo parallelo a quest'asse.
si certo,ho fatto un po di confusione,il campo infatti non è nullo dove lo stiamo considerando, ho capito grazie.
Mi ricollego a questo topic per non crearne uno nuovo, sperando di avere una risposta, sono 3 ore che sto sbattendo la testa su un problema concettuale simile.
Il mio problema è questo : Una distribuzione omogena di carica di densità $\rho$ (quindi volumetrica) è compresa tra le cordinate x=-d e x=0 ed è infinitamente estesa nelle direzioni y e z. Determinarne usando la legge di guass l'espressione analitica del campo elettrico in tutto lo spazio.
Io ho provato creando come su la mia bella superficie di gauss ed il conto mi riesce, perchè ottengo che
\(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{x}}{\epsilon_{{0}}}\) e inserisco X=d/2 ed il conto mi viene come nella soluzione : \(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{d}}{2 \epsilon_{{0}}}\) (è giusto il mio ragionamento ?)
Solo che quando devo valutare il campo all'interno mi blocco, non so proprio come procedere. Nelle soluzioni c''è scritto \(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{x+d/2}}{\epsilon_{{0}}}\)
Grazie in anticipo.
Il mio problema è questo : Una distribuzione omogena di carica di densità $\rho$ (quindi volumetrica) è compresa tra le cordinate x=-d e x=0 ed è infinitamente estesa nelle direzioni y e z. Determinarne usando la legge di guass l'espressione analitica del campo elettrico in tutto lo spazio.
Io ho provato creando come su la mia bella superficie di gauss ed il conto mi riesce, perchè ottengo che
\(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{x}}{\epsilon_{{0}}}\) e inserisco X=d/2 ed il conto mi viene come nella soluzione : \(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{d}}{2 \epsilon_{{0}}}\) (è giusto il mio ragionamento ?)
Solo che quando devo valutare il campo all'interno mi blocco, non so proprio come procedere. Nelle soluzioni c''è scritto \(\displaystyle {E}=\rho\cdot\frac{{x+d/2}}{\epsilon_{{0}}}\)
Grazie in anticipo.
Inserisco un immagine per maggior chiarezza :
Mi autorispondo, oggi pensandoci a mente fresca dopo un bel cartone animato ho capito il mio ragionamento era sbagliato, in quanto il campo che ho all'esterno è dato dalla somma delle 2 superfici laterali normali alla lamina, mentre all'interno è dato da una singola superficie (perchè le 2 si annullerebbero per simmetria) e parte da d\2 e ed aumenta con l'aumentare di x, e i conti mi tornano.
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