Disco su un piano con attrito
Buonasera, cerco aiuto con questo problema.
Un disco uniforme di raggio R è messo in rotazione con velocità angolare Wo intorno ad un asse ortogonale al piano del disco e passante per il suo Centro di massa. Viene quindi adagiato con cura su una superficie orizzontale scabra, essendo μd il coefficiente di attrito dinamico tra la superficie e il disco. Calcolare il tempo necessario affinché il disco, inizialmente in moto,si fermi, assumendo che la pressione esercitata dal disco sulla superficie possa essere considerata uniforme.
(t=3WoR/4μd g)
Ho provato con un approccio energetico, eguagliando il lavoro non conservativo alla variazione di energia cinetica rotazionale, immaginando che il moto sia di sola rotazione attorno all'asse passante per il centro di massa, ma il risultato non coincide.Vi ringranzio in anticipo
Un disco uniforme di raggio R è messo in rotazione con velocità angolare Wo intorno ad un asse ortogonale al piano del disco e passante per il suo Centro di massa. Viene quindi adagiato con cura su una superficie orizzontale scabra, essendo μd il coefficiente di attrito dinamico tra la superficie e il disco. Calcolare il tempo necessario affinché il disco, inizialmente in moto,si fermi, assumendo che la pressione esercitata dal disco sulla superficie possa essere considerata uniforme.
(t=3WoR/4μd g)
Ho provato con un approccio energetico, eguagliando il lavoro non conservativo alla variazione di energia cinetica rotazionale, immaginando che il moto sia di sola rotazione attorno all'asse passante per il centro di massa, ma il risultato non coincide.Vi ringranzio in anticipo
Risposte
Devi applicare la seconda equazione cardinale della dinamica : la variazione nel tempo del momento angolare è data dal momento delle forze esterne, rispetto a un certo polo fisso o coincidente col CM del disco.
Il disco ha un momento angolare iniziale , rispetto all’asse di rotazione dato, $vecL= I\vec\omega$ ; considera la proiezione sull'asse di rotazione, che è asse centrale di inerzia del disco; si può scrivere, in forma scalare : $ L = I\omega$. $I$ è noto.
Il momento delle forze esterne è il momento delle forze di attrito , che devi valutare. Prendi delle coordinate polari $(r,theta)$ con origine nel centro. Un elemento di superficie è : $dA = r*d\theta*dr$. Assegna una densità superficiale costante $sigma = M/A$ , e valuta la forza di attrito che agisce su $dA$ , supponendo, come dice il testo, che la forza per unità di superficie sia costante su tutto il disco ; sarà :
$df = mu*g*sigma*dA $
Scritta la forza di attrito elementare, devi calcolarne il momento rispetto al polo, moltiplicando per $r$, e poi integrarlo sia rispetto al raggio $r$ che rispetto all'angolo $theta$ , per avere il momento totale dovuto all'attrito , che tutto il disco subisce dal piano, rallentando con decelerazione angolare costante, fino all'arresto ("decelerazione" è un termine che non mi piace, sarebbe meglio dire "accelerazione discorde con la velocità " . Uso decelerazione solo per brevità ) . Il momento ti consente di calcolare il valore della decelerazione $alpha$ .
È come un moto uniformemente decelerato, ma con $omega$ anziché v .
Il disco ha un momento angolare iniziale , rispetto all’asse di rotazione dato, $vecL= I\vec\omega$ ; considera la proiezione sull'asse di rotazione, che è asse centrale di inerzia del disco; si può scrivere, in forma scalare : $ L = I\omega$. $I$ è noto.
Il momento delle forze esterne è il momento delle forze di attrito , che devi valutare. Prendi delle coordinate polari $(r,theta)$ con origine nel centro. Un elemento di superficie è : $dA = r*d\theta*dr$. Assegna una densità superficiale costante $sigma = M/A$ , e valuta la forza di attrito che agisce su $dA$ , supponendo, come dice il testo, che la forza per unità di superficie sia costante su tutto il disco ; sarà :
$df = mu*g*sigma*dA $
Scritta la forza di attrito elementare, devi calcolarne il momento rispetto al polo, moltiplicando per $r$, e poi integrarlo sia rispetto al raggio $r$ che rispetto all'angolo $theta$ , per avere il momento totale dovuto all'attrito , che tutto il disco subisce dal piano, rallentando con decelerazione angolare costante, fino all'arresto ("decelerazione" è un termine che non mi piace, sarebbe meglio dire "accelerazione discorde con la velocità " . Uso decelerazione solo per brevità ) . Il momento ti consente di calcolare il valore della decelerazione $alpha$ .
È come un moto uniformemente decelerato, ma con $omega$ anziché v .
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