Disco rotante con molla e smorzatore [Meccanica]
Salve ragazzi vi posto il seguente esercizio con svolgimento vorrei solo chiedere se è tutto corretto :
Traccia :
Svolgimento :
scrivo il principio di D'Alambert sui tre assi $x$ $y$ $\theta$ e ottengo rispettivamente :
$-m*ddot x - \sigma dot x - kax - R_0 = 0$
$R_v - mg = 0$
$I_0*ddot \theta + R_0*R=0$
dove $R_0->$reazione orizzontale , $R_v->$reazione verticale , $I_0->$momendo di massa d'inerzia
Risolvendo il sistema e sapendo che $x=R\theta$ otteniamo un unica equazione in incognita $\theta$
$ddot \theta*(mR+(I_0)/R)+\sigmaR dot \theta+kRa\theta=0$
che può essere riscritta come :
$M ddot \theta +\sigma^* dot \theta +K\theta=0$
quindi posso immediatamente ricavare $\omega_n=sqrt(K/M)$ ; $\sigma_c=2sqrt(KM)$ ; $\omega_s=sqrt(\omega_n-(\sigma^*/2m)^2)$.
per il sistema forzato aggiungo la forzante $M_0 cos(\omega t)$ all'equazione e so che la soluzione forzata sarà del tipo
$\theta_f=CC_(f) cos(\omega t - \phi ) $ quindi ne faccio la derivata prima e seconda e la sostituisco nell'equazione del moto, poi riscrivo l'equazione al tempo $t=(\pi/2-\phi)/\omega$ e $t=\phi/\omega$ e ricavo due equazioni dalle quali posso ricavare i termini $CC_f$ e $\phi$
Il problema è $I_0$ quanto vale ? non è nei dati del sistema e non saprei come ricavarlo.
[xdom="JoJo_90"]Il problema mi sembra più adatto per la sezione di Fisica. Sposto lì il messaggio.[/xdom]
Traccia :
Svolgimento :
scrivo il principio di D'Alambert sui tre assi $x$ $y$ $\theta$ e ottengo rispettivamente :
$-m*ddot x - \sigma dot x - kax - R_0 = 0$
$R_v - mg = 0$
$I_0*ddot \theta + R_0*R=0$
dove $R_0->$reazione orizzontale , $R_v->$reazione verticale , $I_0->$momendo di massa d'inerzia
Risolvendo il sistema e sapendo che $x=R\theta$ otteniamo un unica equazione in incognita $\theta$
$ddot \theta*(mR+(I_0)/R)+\sigmaR dot \theta+kRa\theta=0$
che può essere riscritta come :
$M ddot \theta +\sigma^* dot \theta +K\theta=0$
quindi posso immediatamente ricavare $\omega_n=sqrt(K/M)$ ; $\sigma_c=2sqrt(KM)$ ; $\omega_s=sqrt(\omega_n-(\sigma^*/2m)^2)$.
per il sistema forzato aggiungo la forzante $M_0 cos(\omega t)$ all'equazione e so che la soluzione forzata sarà del tipo
$\theta_f=CC_(f) cos(\omega t - \phi ) $ quindi ne faccio la derivata prima e seconda e la sostituisco nell'equazione del moto, poi riscrivo l'equazione al tempo $t=(\pi/2-\phi)/\omega$ e $t=\phi/\omega$ e ricavo due equazioni dalle quali posso ricavare i termini $CC_f$ e $\phi$
Il problema è $I_0$ quanto vale ? non è nei dati del sistema e non saprei come ricavarlo.
[xdom="JoJo_90"]Il problema mi sembra più adatto per la sezione di Fisica. Sposto lì il messaggio.[/xdom]
Risposte
Posso svolgere l'esercizio pur non conoscendo il momento di inerzia di massa $I_0$ ?
Il momento d'inerzia che cerchi è quello di un disco di massa m e raggio R e di spessore trascurabile. E' uno di quelli noti che trovi in tutti i libri di fisica e vale \(\displaystyle I= \frac{1}{2}mR^2 \). Inoltre direi che non puoi proprio farne a meno per risolvere il problema. Ci sarebbero diverse osservazioni da fare su ciò che hai scritto ma ora non ho molto tempo. Per ora ti dico che nell'equazione per theta che hai scritto il coefficiente della derivata seconda di theta deve essere \(\displaystyle I \) ed inoltre devi cambiare il segno del termine in theta. Per ora riflettici un po' , poi nel pomeriggio forse aggiungo altro 
Ho provato a riflettere su ciò che mi hai detto e ho riscontrato qualche errore , allora :
ricavo $R_0$ dalla terza equazione e ottengo $R_0=-(I_0*ddot \theta)/R$
sostituendo nella prima equazione ottengo :
$m ddotx + \sigma dotx +kax-(I_0*ddot \theta)/R =0$
dove $ddot x = R ddot \theta$ , $dotx = R dot\theta$ e $x=R \theta$
quindi ottengo :
$ddot \theta*(mR-(I_0)/R)+\sigmaR dot \theta+kRa\theta=0$
non riesco a capire come può essere il coefficiente di $\theta$ pari a $I$
ricavo $R_0$ dalla terza equazione e ottengo $R_0=-(I_0*ddot \theta)/R$
sostituendo nella prima equazione ottengo :
$m ddotx + \sigma dotx +kax-(I_0*ddot \theta)/R =0$
dove $ddot x = R ddot \theta$ , $dotx = R dot\theta$ e $x=R \theta$
quindi ottengo :
$ddot \theta*(mR-(I_0)/R)+\sigmaR dot \theta+kRa\theta=0$
non riesco a capire come può essere il coefficiente di $\theta$ pari a $I$
La prima cosa da osservare è che il sistema ha un solo grado di libertà e quindi è sufficiente una sola coordinata per descriverlo. Supponiamo che il disco rotoli sull'asse x (orientato verso destra) e che x=0 corrisponda alla proiezione del centro del disco sull'asse x quando la molla è in posizione di riposo. Sia \(\displaystyle \theta \) l'angolo di rotazione del disco intorno al suo asse centrale, considerandolo positivo quando il disco ruota in senso antiorario. In queste ipotesi, la relazione tra x e theta è \(\displaystyle x=-R\theta \). Visto che si tratta di un moto rotatorio di un corpo rigido, in cui sono presenti momenti di forza, è evidente che la coordinata da preferire tra x e \(\displaystyle \theta \) è \(\displaystyle \theta \). L'equazione da scrivere è la seconda cardinale:
\(\displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\vec M \)
I vettori sono tutti perpendicolari al foglio e le componenti che scriverò nel seguito sono riferite ad un versore uscente dal foglio.
Il momento angolare del disco è \(\displaystyle I\dot{\theta} \). La molla genera un momento di forza pari a \(\displaystyle kxa \) (se x è positiva significa che la molla è allungata e quindi cerca di far ruotare il disco in senso antiorario e quindi il momento è positivo) e cioè \(\displaystyle -Rka\theta \); lo smorzatore dà una forza lungo x pari a \(\displaystyle -\sigma \dot{x} \) e quindi un momento pari a \(\displaystyle -\sigma R^2\dot{\theta} \) (se \(\displaystyle \dot{\theta} \) è positiva significa che il disco ruota in senso antiorario e quindi lo smorzatore cerca di farlo ruotare in senso orario e quindi il momento è negativo). Mettendo tutto insieme si trova:
\(\displaystyle I\ddot{\theta}=-Rka\theta -\sigma R^2\dot{\theta} \)
e quindi
\(\displaystyle I\ddot{\theta}+Rka\theta +\sigma R^2\dot{\theta}=0 \)
PS: la terza equazione scritta da te, quella per theta, è errata perché innanzi tutto mancano i momenti della forza elastica e dello smorzatore e poi ci hai messo la reazione vincolare orizzontale che non va considerata perché in realtà di essa tieni conto attraverso la relazione \(\displaystyle x=-R\theta \)
\(\displaystyle \frac{d\vec L}{dt}=\vec M \)
I vettori sono tutti perpendicolari al foglio e le componenti che scriverò nel seguito sono riferite ad un versore uscente dal foglio.
Il momento angolare del disco è \(\displaystyle I\dot{\theta} \). La molla genera un momento di forza pari a \(\displaystyle kxa \) (se x è positiva significa che la molla è allungata e quindi cerca di far ruotare il disco in senso antiorario e quindi il momento è positivo) e cioè \(\displaystyle -Rka\theta \); lo smorzatore dà una forza lungo x pari a \(\displaystyle -\sigma \dot{x} \) e quindi un momento pari a \(\displaystyle -\sigma R^2\dot{\theta} \) (se \(\displaystyle \dot{\theta} \) è positiva significa che il disco ruota in senso antiorario e quindi lo smorzatore cerca di farlo ruotare in senso orario e quindi il momento è negativo). Mettendo tutto insieme si trova:
\(\displaystyle I\ddot{\theta}=-Rka\theta -\sigma R^2\dot{\theta} \)
e quindi
\(\displaystyle I\ddot{\theta}+Rka\theta +\sigma R^2\dot{\theta}=0 \)
PS: la terza equazione scritta da te, quella per theta, è errata perché innanzi tutto mancano i momenti della forza elastica e dello smorzatore e poi ci hai messo la reazione vincolare orizzontale che non va considerata perché in realtà di essa tieni conto attraverso la relazione \(\displaystyle x=-R\theta \)
Occhio mathbells che peró scrivendo il momento rispetto al centro del cilindro la forza di attrito statico in P va considerata.
"Faussone":
Occhio mathbells che peró scrivendo il momento rispetto al centro del cilindro la forza di attrito statico in P va considerata.
devo dire che questa cosa mi mette un po' in crisi..
mi viene da dire che quella reazione non serve per determinare il moto, anche perché non è nota a priori ...mi sa che mi devo rivedere qualcosa. Mi potresti dire come riesci a liberarti da quella reazione nelle equazioni del moto? 
"mathbells":
[quote="Faussone"]Occhio mathbells che peró scrivendo il momento rispetto al centro del cilindro la forza di attrito statico in P va considerata.
devo dire che questa cosa mi mette un po' in crisi..
mi viene da dire che quella reazione non serve per determinare il moto, anche perché non è nota a priori ...mi sa che mi devo rivedere qualcosa. Mi potresti dire come riesci a liberarti da quella reazione nelle equazioni del moto? [/quote] ...o cambi il punto rispetto a cui calcoli il momento, in modo che quella forza non dia contributo, oppure devi aggiungere l'equazione di Newton o d'Alambert..
Io ho svolto un esercizio molto simile in cui mancava solo lo smorzatore ed era noto il valore di $I=I_0$ ; per rivolvere tale esercizio abbiamo applicato il principio di D'Alambert su $x$ e $\theta$ perchè mi dite di non farlo ?
Inoltre in anche in tale esercizio ottengo un coefficiente di $ddot \theta$ pari a $(m+I_0/(R^2))$.
Perchè esce questo risultato la derivata seconda di $x=-R\theta$ non è $ddot x = -R ddot \theta$ ?
Per quanto riguarda i segni ho capito che devo fare maggiore attenzione e considerare le diverse direzioni di movimento.
Inoltre in anche in tale esercizio ottengo un coefficiente di $ddot \theta$ pari a $(m+I_0/(R^2))$.
"mathbells":
lo smorzatore dà una forza lungo x pari a \(\displaystyle -\sigma \dot{x} \) e quindi un momento pari a \(\displaystyle -\sigma R^2\dot{\theta} \)
Perchè esce questo risultato la derivata seconda di $x=-R\theta$ non è $ddot x = -R ddot \theta$ ?
Per quanto riguarda i segni ho capito che devo fare maggiore attenzione e considerare le diverse direzioni di movimento.
"frenky46":
Io ho svolto un esercizio molto simile in cui mancava solo lo smorzatore ed era noto il valore di $I=I_0$ ; per rivolvere tale esercizio abbiamo applicato il principio di D'Alambert su $x$ e $\theta$ perchè mi dite di non farlo ?
Non mi sembra che io abbia sostenuto di non farlo (vedi messaggio precedente a mathbells).
L'errore principale che avevi commesso era di non considerare nell'equazione dei momenti alcune componenti, come ti aveva fatto notare mathbells (che però ha sua volta non ha considerato la forza di attrito statico orizzontale).
"Faussone":
L'errore principale che avevi commesso era di non considerare nell'equazione dei momenti alcune componenti, come ti aveva fatto notare mathbells (che però ha sua volta non ha considerato la forza di attrito statico orizzontale).
è corretto quindi il coefficiente di $ddot \theta$ pari a $(m+I_0/(R^2))$ ? è corretta la mia equazione o quella di mathbells ?
La forza di attrito non è considerata perchè ritenuta trascurabile , tutti i nostri esercizi sono basati su questa ipotesi.
"frenky46":
è corretto quindi il coefficiente di $ddot \theta$ pari a $(m+I_0/(R^2))$ ?
Mi suona un po' male a dire il vero, a moltiplicare $ddot theta$ dovrebbe esserci un coefficiente che ha le dimensioni di un momento di inerzia, se scrivi l'equazione dei momenti.
"frenky46":
è corretta la mia equazione o quella di mathbells ?
Così come sono scritte temo nessuna delle due, come avevo detto, se non ho male interpretato, manca qualcosa in entrambe.
"frenky46":
La forza di attrito non è considerata perchè ritenuta trascurabile , tutti i nostri esercizi sono basati su questa ipotesi.
Guarda che intendo forza di attrito statico tra cilindro e piano non forza di attrito dell'aria...
Quelle forza di attrito statico non può essere trascurarata perché è alla base del rotolamento. Tu mi pare l'avessi considerata l'hai solo chiamata reazione orizzontale.
Ragazzi scusate per l'intromissione, come ripeto non è mia abitudine intervenire in discussioni dove altri competenti hanno risposto. Ma vorrei dire questo.
Il problema si può impostare, e penso risolvere, con la seconda equazione cardinale della dinamica, come ha fatto mathbells : "la variazione del momento angolare è causata dal momento delle forze agenti". Basta questa sola equazione perché giustamente il sistema ha 1 solo grado di libertà.
Perciò io scriverei così, e basta :
$ I_0*ddot\theta = M_m - \sigma*R^2*dot\theta -k*a*R*\theta$
MA naturalmente posso anche sbagliarmi, perciò attendo le vostre correzioni.
EDIT : ci ho ripensato. Quello che ho scritto prima non è corretto. La reazione orizzontale va considerata, Faussone ha perfettamente ragione. Ma per determinarla, occorre allora anche un'altra equazione, relativa al moto traslatorio in direzione orizzontale.
Se poi ci vogliamo proprio liberare della reazione orizzontale che ci disturba, assumiamo come polo dei momenti il punto di contatto tra disco e piano, e allora l'equazione differenziale va scritta introducendo il momento di inerzia rispetto a questo polo, che si calcola col teorema del trasporto. E i momenti vanno scritti relativamente a questo polo.
Il problema si può impostare, e penso risolvere, con la seconda equazione cardinale della dinamica, come ha fatto mathbells : "la variazione del momento angolare è causata dal momento delle forze agenti". Basta questa sola equazione perché giustamente il sistema ha 1 solo grado di libertà.
Perciò io scriverei così, e basta :
$ I_0*ddot\theta = M_m - \sigma*R^2*dot\theta -k*a*R*\theta$
MA naturalmente posso anche sbagliarmi, perciò attendo le vostre correzioni.
EDIT : ci ho ripensato. Quello che ho scritto prima non è corretto. La reazione orizzontale va considerata, Faussone ha perfettamente ragione. Ma per determinarla, occorre allora anche un'altra equazione, relativa al moto traslatorio in direzione orizzontale.
Se poi ci vogliamo proprio liberare della reazione orizzontale che ci disturba, assumiamo come polo dei momenti il punto di contatto tra disco e piano, e allora l'equazione differenziale va scritta introducendo il momento di inerzia rispetto a questo polo, che si calcola col teorema del trasporto. E i momenti vanno scritti relativamente a questo polo.
Mi suona un po' male a dire il vero, a moltiplicare $ddot \theta$ dovrebbe esserci un coefficiente che ha le dimensioni di un momento di inerzia, se scrivi l'equazione dei momenti.
Scusa ma non riesco a capire io prima di questo esercizio come dicevo ho fatto un altro esercizio simile in cui c'è una molla , un carrello e un disco rotante, lo svolgimento di questo esercizio è il seguente:
perchè in questo caso il coefficiente di $ddot x$ è massa + momento di inerzia ?
nel mio caso l'equazione è scritta rispetto a $\theta$ ma non dovrebbe essere simile in quanto $x=R\theta$ ?
Così come sono scritte temo nessuna delle due, come avevo detto, se non ho male interpretato, manca qualcosa in entrambe.
cosa manca ancora nella mia equazione ?
"navigatore":
Perciò io scriverei così, e basta :
$ I_0*ddot\theta = M_m - \sigma*R^2*dot\theta -k*a*R*\theta$
Non riesco poi a capire perchè continuate a scrivermi il termine $-\sigma*R^2 dot \theta$ non dovrebbe essere $- \sigma *R dot \theta$ , in quanto è $-\sigma dotx$ e $dot x= R dot \theta$ ?
Continuiamo a scrivere $R^2$ perchè nell'equazione differenziale in $\theta$ ci devono essere al secondo membro dei "momenti" di forze, quindi la forza di tipo viscoso devi ancora moltiplicarla per il braccio $R$.
L'accelerazione angolare $ddot\theta$ va moltiplicata per un momento di inerzia, non per una massa. In generale, come ti hanno fatto già osservare, deve essere : "momento delle forze esterne = variazione del momento angolare", e quindi :
$M_e = I*ddot\theta$
Nell'altro esercizio, il coefficiente di $ddotx$ è una massa giustamente, e non un momento di inerzia ma un'altra massa $J/R^2$ , giustamente.
L'accelerazione angolare $ddot\theta$ va moltiplicata per un momento di inerzia, non per una massa. In generale, come ti hanno fatto già osservare, deve essere : "momento delle forze esterne = variazione del momento angolare", e quindi :
$M_e = I*ddot\theta$
Nell'altro esercizio, il coefficiente di $ddotx$ è una massa giustamente, e non un momento di inerzia ma un'altra massa $J/R^2$ , giustamente.
Ho riguardato con calma questo esercizio e devo chiedere scusa a frenky46 per avergli confuso le idee e ringrazio faussone per avermi costretto a riflettere meglio su alcuni aspetti. Quando invece di mettersi lì a scrivere le equazioni per bene si rovista frettolosamente nella propria memoria, si rischia di inciampare contro la ruggine...ed allora vengono fuori le stupidaggini..
Quello che sbagliavo è di non aver ben chiarito a me stesso rispetto a quale polo si calcolano i momenti.
Prendiamo quindi come polo il punto O all'intersezione tra il pavimento e la parete verticale e scriviamo la seconda equazione cardinale rispetto a questo punto:
\(\displaystyle \vec M_{O} = \frac{d\vec L_{O}}{dt} \)
Ora conviene scrivere \(\displaystyle \vec L_{O} \) come somma tra il momento angolare rispetto al centro C del disco (che è il centro di massa del sistema) ed il momento angolare del centro di massa
\(\displaystyle \vec L_{O}=\vec L_{C} + \overrightarrow{OC} \times m\vec v_{C} \)
e quindi si ottiene l'equazione:
\(\displaystyle \vec M_{O} = \frac{d}{dt}(\vec L_{C} + \overrightarrow{OC} \times m\vec v_{C}) \)
Ora possiamo scrivere tutte le componenti di questi momenti (angolari e di forza) rispetto ad un versore uscente dal foglio. Qui valgono tutte le ipotesi e le considerazioni che avevo fatto nel post precedente per giustificare i segni:
momento della forza elastica =\(\displaystyle kx(a+R) \)
momento dello smorzatore =\(\displaystyle \sigma \dot{x}2R \)
momento della reazione vincolare orizzontale (quella che causa il rotolamento) = 0
momento angolare rispetto a C = \(\displaystyle I\dot{\theta} \)
momento angolare del centro di massa = \(\displaystyle -Rm\dot{x} \)
La terza uguaglianza è un nodo importante di questa discussione. Questa reazione è antiparallela al raggio vettore del punto di applicazione e quindi il suo momento è nullo; questo permette di eliminare la reazione dall' equazione del moto.
Considerando ora la relazione \(\displaystyle x=-R\theta \), e derivando rispetto al tempo si ottiene
\(\displaystyle \ddot{\theta}(I+mR^2) + 2\sigma R^2\dot{\theta} + kR(a+R)\theta =0 \)
Quello che sbagliavo è di non aver ben chiarito a me stesso rispetto a quale polo si calcolano i momenti.
Prendiamo quindi come polo il punto O all'intersezione tra il pavimento e la parete verticale e scriviamo la seconda equazione cardinale rispetto a questo punto:
\(\displaystyle \vec M_{O} = \frac{d\vec L_{O}}{dt} \)
Ora conviene scrivere \(\displaystyle \vec L_{O} \) come somma tra il momento angolare rispetto al centro C del disco (che è il centro di massa del sistema) ed il momento angolare del centro di massa
\(\displaystyle \vec L_{O}=\vec L_{C} + \overrightarrow{OC} \times m\vec v_{C} \)
e quindi si ottiene l'equazione:
\(\displaystyle \vec M_{O} = \frac{d}{dt}(\vec L_{C} + \overrightarrow{OC} \times m\vec v_{C}) \)
Ora possiamo scrivere tutte le componenti di questi momenti (angolari e di forza) rispetto ad un versore uscente dal foglio. Qui valgono tutte le ipotesi e le considerazioni che avevo fatto nel post precedente per giustificare i segni:
momento della forza elastica =\(\displaystyle kx(a+R) \)
momento dello smorzatore =\(\displaystyle \sigma \dot{x}2R \)
momento della reazione vincolare orizzontale (quella che causa il rotolamento) = 0
momento angolare rispetto a C = \(\displaystyle I\dot{\theta} \)
momento angolare del centro di massa = \(\displaystyle -Rm\dot{x} \)
La terza uguaglianza è un nodo importante di questa discussione. Questa reazione è antiparallela al raggio vettore del punto di applicazione e quindi il suo momento è nullo; questo permette di eliminare la reazione dall' equazione del moto.
Considerando ora la relazione \(\displaystyle x=-R\theta \), e derivando rispetto al tempo si ottiene
\(\displaystyle \ddot{\theta}(I+mR^2) + 2\sigma R^2\dot{\theta} + kR(a+R)\theta =0 \)
@frenky46
se dividi tutta l'equazione per \(\displaystyle R^2 \) ottieni il tua caro coefficiente per \(\displaystyle \ddot{\theta} \)
@navigatore
si può prendere come polo il punto di contatto tra disco e pavimento ma tale punto non solo è mobile ma non è più un riferimento inerziale (ricordiamo che il disco accelera). Quindi nello scrivere la seconda equazione cardinale rispetto a tale punto bisogna modificarla aggiungendo alla derivata del momento angolare il prodotto vettore tra la velocità del polo e la quantità di moto del sistema. Inoltre credo che bisognerebbe aggiungere anche la forza virtuale agente sul centro di massa a causa della non inerzialità del sistema di riferimento. non ho provato a rifare i calcoli rispetto a tale polo...ma se qualcuno ci vuole provare
se dividi tutta l'equazione per \(\displaystyle R^2 \) ottieni il tua caro coefficiente per \(\displaystyle \ddot{\theta} \)
@navigatore
si può prendere come polo il punto di contatto tra disco e pavimento ma tale punto non solo è mobile ma non è più un riferimento inerziale (ricordiamo che il disco accelera). Quindi nello scrivere la seconda equazione cardinale rispetto a tale punto bisogna modificarla aggiungendo alla derivata del momento angolare il prodotto vettore tra la velocità del polo e la quantità di moto del sistema. Inoltre credo che bisognerebbe aggiungere anche la forza virtuale agente sul centro di massa a causa della non inerzialità del sistema di riferimento. non ho provato a rifare i calcoli rispetto a tale polo...ma se qualcuno ci vuole provare
"mathbells":
momento della forza elastica =\(\displaystyle kx(a+R) \)
perchè $(a+R)$ ?
"mathbells":
momento dello smorzatore =\(\displaystyle \sigma \dot{x}2R \)
perchè $2R$ ?
"mathbells":
\(\displaystyle \ddot{\theta}(I+mR^2) + 2\sigma R^2\dot{\theta} + kR(a+R)\theta =0 \)
io dal principio ottenevo : $ddot \theta (m+I/R^2) + \sigma dot\theta + ka\theta=0$ ...
"frenky46":
perchè (a+R) ?
perché rispetto al polo considerato il braccio della forza elastica è a+R. Si vede dal disegno mi pare...
"frenky46":
perchè 2R ?
anche qui, il braccio è 2R
"frenky46":
io dal principio ottenevo...
ed infatti ti ho chiesto scusa per la confusione fatta
. Comunque ci sono gli errori sui bracci, a meno che non stia sbagliando ancora io...aspetto conferme
"mathbells":
@navigatore
si può prendere come polo il punto di contatto tra disco e pavimento ma tale punto non solo è mobile ma non è più un riferimento inerziale (ricordiamo che il disco accelera). Quindi nello scrivere la seconda equazione cardinale rispetto a tale punto bisogna modificarla aggiungendo alla derivata del momento angolare il prodotto vettore tra la velocità del polo e la quantità di moto del sistema. Inoltre credo che bisognerebbe aggiungere anche la forza virtuale agente sul centro di massa a causa della non inerzialità del sistema di riferimento. non ho provato a rifare i calcoli rispetto a tale polo...ma se qualcuno ci vuole provare
Mathbells
e chi ha detto il contrario, parlando in generale?
Ti faccio semplicemente osservare che, assumendo come polo il centro di istantanea rotazione si arriva per direttissima alla tua equazione. Infatti l'equazione si può scrivere uguagliando due membri:
1º membro : variazione del momento angolare, cioè prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare:
$( I_0 + mR^2)*ddot\theta$
2º membro : momenti delle forze agenti, cioè :$ -\sigma*R*dot\theta*2R - k*R*\theta*(a+R)$
Ugagliando i due membri si ha la tua equazione.
frenky46 ha già avuto risposta alle sue domande.
Quel prodotto vettore che dici è zero perchè i due vettori "velocità del polo" e "quantità di moto" del sistema (cioè, della massa concentrata nel cdm del disco) rispetto al riferimento assoluto da te assunto sono paralleli.
Inoltre non vedo "forze virtuali" qui.
"navigatore":
Mathbells
e chi ha detto il contrario?
no, no...non stavo dicendo che avevi detto il contrario
, stavo solo dicendo che come cambiavano le cose prendendo quel punto come polo. Scusami se ti ho dato l'impressione che fosse una critica 
...i limiti del linguaggio scritto... 
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