Disco rotante con molla e smorzatore [Meccanica]

frenky46
Salve ragazzi vi posto il seguente esercizio con svolgimento vorrei solo chiedere se è tutto corretto :
Traccia :

Svolgimento :
scrivo il principio di D'Alambert sui tre assi $x$ $y$ $\theta$ e ottengo rispettivamente :

$-m*ddot x - \sigma dot x - kax - R_0 = 0$

$R_v - mg = 0$

$I_0*ddot \theta + R_0*R=0$

dove $R_0->$reazione orizzontale , $R_v->$reazione verticale , $I_0->$momendo di massa d'inerzia

Risolvendo il sistema e sapendo che $x=R\theta$ otteniamo un unica equazione in incognita $\theta$

$ddot \theta*(mR+(I_0)/R)+\sigmaR dot \theta+kRa\theta=0$

che può essere riscritta come :

$M ddot \theta +\sigma^* dot \theta +K\theta=0$

quindi posso immediatamente ricavare $\omega_n=sqrt(K/M)$ ; $\sigma_c=2sqrt(KM)$ ; $\omega_s=sqrt(\omega_n-(\sigma^*/2m)^2)$.

per il sistema forzato aggiungo la forzante $M_0 cos(\omega t)$ all'equazione e so che la soluzione forzata sarà del tipo
$\theta_f=CC_(f) cos(\omega t - \phi ) $ quindi ne faccio la derivata prima e seconda e la sostituisco nell'equazione del moto, poi riscrivo l'equazione al tempo $t=(\pi/2-\phi)/\omega$ e $t=\phi/\omega$ e ricavo due equazioni dalle quali posso ricavare i termini $CC_f$ e $\phi$

Il problema è $I_0$ quanto vale ? non è nei dati del sistema e non saprei come ricavarlo.

[xdom="JoJo_90"]Il problema mi sembra più adatto per la sezione di Fisica. Sposto lì il messaggio.[/xdom]

Risposte
frenky46
"mathbells":

perché rispetto al polo considerato il braccio della forza elastica è a+R. Si vede dal disegno mi pare...
anche qui, il braccio è 2R
Comunque ci sono gli errori sui bracci, a meno che non stia sbagliando ancora io...aspetto conferme


Il polo che stiamo considerando è il centro del disco ?
Considerando appunto il centro come polo la forza elastica non è a distanza $a$ e quella dello smorzatore a distanza $R$ ?

Sk_Anonymous
Va bene mathbells, ci siamo incrociati e forse non ci siamo capiti. L'importante è arrivare ad una conclusione univoca, se no chi ci legge non ci capisce nulla.

frenky quei bracci sono rispetto al centro di istantanea rotazione.

Pero mi sembra che ci siamo dimenticati del MOMENTO MOTORE, che va al secondo membro, col segno positivo mentre i momenti delle due forze hanno segno negativo....

Che brutto esercizio! MA quando mai esisterà un meccanismo del genere! Solo nella testa di qualche.....

frenky46
"navigatore":
frenky quei bracci sono rispetto al centro di istantanea rotazione.


Il centro di istantanea rotazione non coincide con il centro delle masse ovvero il centro del disco ? come fa ad essere ad una distanza $a+R$ dal punto di applicazione della molla ?

Sk_Anonymous
No, il centro di istantanea rotazione è il punto di contatto tra disco e piano. Il testo dice chiaramente che il disco "rotola senza strisciare" sul piano.
Assumendo come polo per il calcolo dei momenti l'origine $O$ delle coordinate, punto di intersezione tra asse orizzontale e asse verticale, (cosi ha fatto mathbells), allo scopo di avere uguale a zero il momento della reazione orizzontale del piano sul disco, rispetto ad $O$ i bracci sono rispettivamente $(a+R)$ e $2R$ per la forza elastica e la forza viscosa, come si vede dal calcolo e dalla formula finale di mathbells.
E questi bracci non cambiano, se prendi come polo un qualunque punto sul piano orizzontale. Compreso il centro di istantanea rotazione.

L'equazione finale si ottiene da : Variazione del momento angolare $I*ddot\theta$ = momento motore - momento resistente $M_m - M_r$ .

Comunque ti ripeto : se non sono ubriaco, per me questo meccanismo non può funzionare, e neanche la sua soluzione. Prova ad immaginare soltanto un quarto di giro del disco: le rette di azione delle forze resistenti cambiano direzione, e perciò l'equazione scritta andrebbe modificata. Quella equazione con quei bracci vale solo nell'istante iniziale del moto. E allora che senso ha? E che senso ha dare un momento motore di quel tipo?

Se si tratta solo di risolvere un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti di quel genere, tanto vale dire : vi dò questa equazione, risolvetela. MA non associarla ad un preteso esercizio di Meccanica delle Macchine. Gli esercizi di Meccanica delle Macchine sono più seri.

Questo secondo il mio modesto parere. Mi piacerebbe sentire il parere di qualcun altro.

mathbells
"navigatore":
le rette di azione delle forze resistenti cambiano direzione, e perciò l'equazione scritta andrebbe modificata. Quella equazione con quei bracci vale solo nell'istante iniziale del moto.


Quando ho letto l'esercizio e guardato la figura anche io avevo notato questo problema: se la molla e lo smorzatore sono "inchiodati" al disco, è un vero casino! Tuttavia ho pensato che l'autore del testo (a meno che non fosse in preda a qualche bevuta di troppo...) abbia dato per scontato che le rette di applicazione di quelle forze fossero costantemente orizzontali. Naturalmente, per realizzare ciò, occorrerebbero dei dispositivi (esistono?) che nel disegno non sono presenti, e quindi riconosco che la mia ipotesi è certamente arbitraria e solo basata sul buon senso.

mathbells
@frenky46

una precisazione per renderti meno ambigue le cose scritte da me e da navigatore, senno sembra che diciamo cose diverse mentre invece le nostre equazioni sono assolutamente compatibili. Il momento d'inerzia \(\displaystyle I \) che compare nella mia equazione è quello del disco rispetto all'asse che passa per il suo centro e cioè \(\displaystyle \frac{1}{2}mR^2 \), mentre quello che comapre nella equazione di navigatore scritta nel post qui sopra è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il punto di contatto del disco col pavimento e vale \(\displaystyle \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 \) e si ottiene, come detto da navigatore, dal teorema di Huygens-Steiner. Questa diversa impostazione dipende dal fatto che abbiamo scelto come polo due punti diversi e che navigatore, invece che decomporre il momento angolare del sistema come somma tra il momento angolare del disco rispetto al suo centro di massa più il momento angolare del centro di massa, ha considerato il disco come un oggetto che ad ogni istante ruota intorno al punto di contatto con il pavimento e quindi ha preso il momento d'inerzia del disco rispetto a tale punto.
Spero di averti chiarito un po' le idee e chiedo conferma a navigatore sulla bontà di questo mio "riassunto".

Sk_Anonymous
Perfetta la tua interpretazione, mathbells. Le equazioni, riferite a poli diversi, richiedono appunto momento di inerzia diverso, e momenti delle forze diversi.
Riguardo alla faccenda dei bracci, se i punti di attacco dei fili sia dello smorzatore che della molla sul disco sono fissi sul disco, come sembra di capire, bisognerebbe scrivere l'equazione differenziale tenendo conto della variabilità dei bracci con l'angolo $\theta$. In altri termini, i coefficienti dei termini che compaiono nell'equazione differenziale, lungi dall'essere costanti, sarebbero variabili con l'angolo.
Forse potrebbe essere costante la direzione, e quindi il braccio, della forza esercitata dallo smorzatore, se si immagina che il suo collegamento al disco avvenga tramite un filo che si avvolge e si svolge sulla periferia del disco, cioè a distanza costante dal centro. Ma il testo non lo dice. Senz'altro reputo "fisso" il punto di attacco del filo a cui è collegata la molla sul disco, e a questo punto il braccio della forza elastica varia con l'angolo.

E una equazione differenziale a coefficienti variabili con l'angolo, se la risolve LUI....( ma lui non è il povero frenky).

Se poi LUI ha la bontà di spiegarci l'esercizio, siamo tutt'orecchi.....

Faussone
Da come la vedo io leggendo il testo, i punti di attacco sul disco sono fissi.
E' richiesta la pulsazione del sistema, lo smorzamento critico, ecc... e questi si trovano abbastanza facilmente considerando (questo credo sia di fatto implicito) piccole oscillazioni del sistema.

Sk_Anonymous
Sí, per calcolare quei parametri siamo d'accordo che basta considerare le piccole oscillazioni.
Ma poi chiede anche la legge del moto forzato, col momento motore armonico dato....

Dico io, ma è tanto difficile essere chiari nel testo di un esercizio? Specificando chiaramente i vincoli per esempio?

E dare un esercizio anche più difficile, ma fatto meglio, che non costringa chi legge a fare ipotesi, non è preferibile?

frenky46
"mathbells":
@frenky46

una precisazione per renderti meno ambigue le cose scritte da me e da navigatore, senno sembra che diciamo cose diverse mentre invece le nostre equazioni sono assolutamente compatibili. Il momento d'inerzia \(\displaystyle I \) che compare nella mia equazione è quello del disco rispetto all'asse che passa per il suo centro e cioè \(\displaystyle \frac{1}{2}mR^2 \), mentre quello che comapre nella equazione di navigatore scritta nel post qui sopra è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il punto di contatto del disco col pavimento e vale \(\displaystyle \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 \) e si ottiene, come detto da navigatore, dal teorema di Huygens-Steiner


Ti ringrazio per i chiarimenti, anche io nel mio esercizio ho preso come polo il centro del disco per questo non riesco a convicermi che la molla sia ad una distanza $a+R$ e che lo smorzatore a $2R$. Tu mathbells perchè hai scritto così ?

"navigatore":
Perfetta la tua interpretazione, mathbells. Le equazioni, riferite a poli diversi, richiedono appunto momento di inerzia diverso, e momenti delle forze diversi.
Riguardo alla faccenda dei bracci, se i punti di attacco dei fili sia dello smorzatore che della molla sul disco sono fissi sul disco, come sembra di capire, bisognerebbe scrivere l'equazione differenziale tenendo conto della variabilità dei bracci con l'angolo $\theta$. In altri termini, i coefficienti dei termini che compaiono nell'equazione differenziale, lungi dall'essere costanti, sarebbero variabili con l'angolo.
Forse potrebbe essere costante la direzione, e quindi il braccio, della forza esercitata dallo smorzatore, se si immagina che il suo collegamento al disco avvenga tramite un filo che si avvolge e si svolge sulla periferia del disco, cioè a distanza costante dal centro. Ma il testo non lo dice. Senz'altro reputo "fisso" il punto di attacco del filo a cui è collegata la molla sul disco, e a questo punto il braccio della forza elastica varia con l'angolo.

E una equazione differenziale a coefficienti variabili con l'angolo, se la risolve LUI....( ma lui non è il povero frenky).

Se poi LUI ha la bontà di spiegarci l'esercizio, siamo tutt'orecchi.....


Purtroppo ragazzi io ho la traccia avanti come la leggete voi , credo comunque in base agli altri esercizi fatti in aula e a ciò che abbiamo studiato che i collegamenti al disco non ruotino con il disco (altrimenti se la risolve LUI :D)

Sk_Anonymous
frenky, lo abbiamo già detto sia io che mathbells, i bracci sono $(a+R)$ e $2R$ rispetto a un polo posto sul pavimento dove rotola il disco, per esempio il centro di istantanea rotazione.

È chiaro che rispetto al centro disco quelle distanze sono invece $a$ ed $R$ !

Se i collegamenti al disco non ruotano col disco, LUI mi dovrebbe spiegare come fa. Perchè IO, che sono fatto diversamente da LUI, devo sforzarmi a immaginare cose non dette chiaramente?

Per esempio, avrebbe potuto dire : lo smorzatore è attaccato al disco con un filo inestensibile che si avvolge e svolge sul disco. Inoltre il disco porta attaccato un piccolo tamburo concentrico, di raggio $a$, di massa trascurabile ( oppure in $m$ e $I_0$ puoi considerare anche questo tamburo) su cui è avvolto un altro filo che collega la molla al sistema.
I due fili così rimangono orizzontali. Però c'è un problema : come recuperare i fili quando vanno in bando....

No, decisamente questo esercizio non mi piace.

Comunque IO a LUI non farei neanche inchiodare un chiodo in una parete.

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