Disco Rigido in rotazione Massa/molla

[Alex_20011]

Ciao a tutti,

Un blocco di massa m = 0.2 kg è connesso ad una fune
ideale avvolta attorno ad un disco di massa M = 1 kg e
raggio R. Il disco può ruotare senza attrito intorno ad un
asse orizzontale passante per il suo centro O. L’altra
estremità della fune è connessa ad una molla di costante
elastica k e lunghezza a riposo nulla, fissata alla parete
verticale. Il disco viene fatto ruotare di un angolo θ0
rispetto alla posizione di equilibrio e lasciato partire da
fermo. Sapendo che t0 = 4s è il tempo che il disco impiega a
tornare per la prima volta a θ0 e che la fune non striscia sul disco, determinare la
costante elastica della molla.



Il problema lo imposto in questo modo:

Si conserva l'energia : $1/2Kθ_0^2=mgθ_0$

Seconda eq.cardinale: $Kθ_0*R-T*R=I_d*alpha$

Cinematica: $1/2alphat^2=θ_0$ (parte dalla posizione d'equilibrio) ed inoltre $T=mg+ma$

Non arrivo al risultato, è 1.72 N/m, non so cosa possa mancare.

[ingres]

La conservazione dell'energia deve comprendere l'energia elastica della molla, l'energia cinetica del disco, l'energia gravitazionale e l'energia cinetica della massa.

Prova a scriverla correttamente. Considera poi che il disco non striscia e calcola quindi come varia il termine cinetico rispetto al caso classico massa-molla, desumendo così la nuova relazione per il periodo del moto (che nel caso normale è $T = 2 pi sqrt(m/k)$) e ricavando infine la costante elastica.

Qui comunque ti metto la soluzione.

La conservazione dell'energia nella sua completezza è:

$1/2 k x^2 + 1/2 I omega^2 +1/2 m v^2 - m g x = text(costante)$

ma poichè non vi è strisciamento $omega = v/R$ quindi:

$1/2 k x^2 + 1/2 (I/R^2 + m) v^2 - m g x = text(costante)$

Ora si può interpretare l'equazione di cui sopra come se la presenza del disco aumentasse la massa di un termine pari $I/R^2 =M/2$. Quindi possiamo dire che il periodo di oscillazione è

$t_0 = 2* pi *sqrt((m+M/2)/k)$

$k = (m + M/2)*((2*pi)/t_0)^2 = (0.2+0.5)*((2*pi)/4)^2 = 1.72 N/m$

[Alex_20011]

Bene, avevo sbagliato tutta l'impostazione, interpretato $t_0$ come il periodo (com'è giusto che sia), perché il moto non è uniformemente accelerato, ed energia scritta in modo corretto, sono arrivato alla tua stessa soluzione con un pò di fatica. Grazie come sempre.