Dischi concentrici in rotazione?

[claudio.s11]

per il primo punto tutto ok;
per il secondo io non capisco perché il mio ragionamento dovrebbe essere sbagliato; ho scritto le equazioni dei momenti scegliendo come polo il centro di massa:
$ mgR2 - kxR1= Iα + maR2 $


$I= (M(R1)^2 + M(R2)^2)/2$
qui sorge un problema: sappiamo che l'accelerazione angolare è uguale in ogni punto, e sappiamo che è legata all'accelerazione tangenziale in questo modo: $α= a/R $, tuttavia l'accelerazione lineare cambia da punto a punto; ora: so che la massa m scende con accelerazione a, ed essendo il filo inestensibile ho pensato che l'accelerazione della massa sarà uguale all'accelerazione tangenziale a distanza R2 dal centro di massa, quindi mi sono scritto $α= a/(R2)$ ; a questo punto ho raccolto $a$ e ho svolto l'equazione differenziale
rispetto allo svolgimento, mi viene a numeratore un $R1R2$ invece di $R2^2$..Perché è sbagliato?

[Sk_Anonymous]

L'equazione differenziale di partenza del moto è :

$mgR_2 -kyR_1 = (dL)/(dt) = I_a dot\omega + d/(dt)(mvR_2)$

dove : $v = \omegaR_2 $ e quindi : $ dotv = dot\omegaR_2 \rightarrow dot\omega = (dotv)/R_2$

su questo sei d'accordo ? La quantità $dotv $ è l'accelerazione lineare della massa sospesa $m$ .
Ora l'accelerazione lineare dell'estremo della molla è data da : $ddoty = dot\omegaR_1 = (dotvR_1)/R_2$ . giusto ?

Per cui : $dotv = ddotyR_2/R_1$ , ti trovi ?

PErcio, sostituendo nella eq. diff, del moto si ha :

$ mgR_2 -kyR_1 = 1/2M(R_1^2 + R_2^2)*(ddoty*R_2)/(R_2R_1) + mR_2ddotyR_2/R_1 $

che è uguale al'eq. diff, della soluzione data :

$ mgR_2 -kyR_1 = 1/2M(R_1^2 + R_2^2)*(ddoty)/R_1 + m*ddotyR_2^2/R_1 = [1/2M(R_1^2 + R_2^2)/R_1 + m*R_2^2/R_1]ddoty$

Quindi non capisco la difficoltà che trovi.

[claudio.s11]

Ok come lo hai svolto tu ho capito; però non capisco perché il mio ragionamento sia sbagliato..Cioè: l'accelerazione lineare a distanza R2 non è la stessa con cui scende la massa?

[Sk_Anonymous]

Certo, infatti ho scritto questo :

…..dove : $v=\omegaR_2$ e quindi : $dotv=dot\omegaR_2 \rightarrow dot\omega =dotv/R_2$

su questo sei d'accordo ? La quantità $dotv$ è l'accelerazione lineare della massa sospesa $m$ .

Ma io non vedo il tuo ragionamento, né giusto né sbagliato, perché non hai scritto niente del tuo ragionamento. Forse c'è qualche passaggio nella soluzione dell'eq. diff. dove hai commesso qualche errore?

L'eq. diff, finale da risolvere é in definitiva : $ […] ddoty + kR_1y = mgR_2$

dove con $[…]$ indico quella porcheria dentro le parentesi quadre.

[claudio.s11]

Provo a rifarlo da capo che per una parte è simile ma non riesco a trovare l'errore, comunque ho capito lo svolgimento grazie