Dischi concentrici
Salve, sto risolvendo un problema di fisica che a dire il vero era stato già pubblicato una decina di anni fa sul forum, ma il dubbio che ho è differente da ciò di cui discussero in passato quindi:
La situazione è la seguente:
Il testo è:
Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema.
Per quanto riguarda il punto A, ho risolto senza problemi. Il punto B invece no.
In particolare, questa è la correzione del prof:
I miei dubbi sono:
- Perchè ha diviso il momento delle forze in questo modo? Che ragionamento c'è dietro?
- Non ho capito la formula finale di $ Omega $
Un aiutino??
La situazione è la seguente:
Il testo è:
Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema.
Per quanto riguarda il punto A, ho risolto senza problemi. Il punto B invece no.
In particolare, questa è la correzione del prof:
I miei dubbi sono:
- Perchè ha diviso il momento delle forze in questo modo? Che ragionamento c'è dietro?
- Non ho capito la formula finale di $ Omega $
Un aiutino??
Risposte
L’esercizio passato a cui ti riferisci dovrebbe essere questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ci#p938587
che è un’applicazione della nota relazione della dinamica per i corpi girevoli attorno ad un asse : il momento delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare :
$M_e = (dL) /(dt) $
per cui, con vari passaggi, si ottiene la relazione riportata nel riquadro di stampa. L’equazione differenziale finale da risolvere è :
L'eq. diff, finale da risolvere é in definitiva : $ […]ddoty+kR_1y=mgR_2$
dove Navigatore chiamava “porcheria” la quantità in parentesi quadra.
Sitratta di una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, dove manca il termine in $doty$. La puoi riscrivere :
$addoty + by = cR_2$
con ovvio significato delle costanti $a,b,c$ . Ho provato a risolvere con Wolfram Alpha[nota]non mi metto più a competere con le eq diff
[/nota] , che mi dà questo :
https://www.wolframalpha.com/input?i=ay ... y+%3D+cR_2
dall’espressione di y si trova la velocità angolare .
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ci#p938587
che è un’applicazione della nota relazione della dinamica per i corpi girevoli attorno ad un asse : il momento delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare :
$M_e = (dL) /(dt) $
per cui, con vari passaggi, si ottiene la relazione riportata nel riquadro di stampa. L’equazione differenziale finale da risolvere è :
L'eq. diff, finale da risolvere é in definitiva : $ […]ddoty+kR_1y=mgR_2$
dove Navigatore chiamava “porcheria” la quantità in parentesi quadra.
Sitratta di una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, dove manca il termine in $doty$. La puoi riscrivere :
$addoty + by = cR_2$
con ovvio significato delle costanti $a,b,c$ . Ho provato a risolvere con Wolfram Alpha[nota]non mi metto più a competere con le eq diff
[/nota] , che mi dà questo : https://www.wolframalpha.com/input?i=ay ... y+%3D+cR_2
dall’espressione di y si trova la velocità angolare .
Grazie per la risposta. Ma non capisco il ragionamento che c'è dietro la scomposizione del momento della forza in quei due termini, ovvero quello a cui ti sei riferito con "vari passaggi".
A quali due termini ti riferisci? Primo membro o secondo membro? Al primo membro, è ovvio che i momenti delle due forze agiscono in versi opposti. Al secondo membro, si tratta di passaggi matematici più che di ragionamenti fisici, rileggiti la risposta di navigatore e fai tutti i passaggi.
Il secondo membro. Nella risposta del navigatore, per quanto possa leggerla, non è spiegato.
Hai ragione, ho provato in vari modi a ricavare quella relazione al secondo membro, ma senza venirne a capo. Per me è buona la soluzione che mi dà Wolfram Alpha.
Non ti rimane che chiedere al tuo docente.
Non ti rimane che chiedere al tuo docente.
Va bene, grazie per averci provato
.
Grazie mille
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