Dischi coassiali e momento dell'attrito
"Due dischi coassiali, I1 = 0.5 kgm^2, I2 = 0.8 kgm^2, sono premuti uno contro l'altro; in queste condizioni il massimo momento di attrito statico è Ms = 1.5 Nm, mentre quando slittano uno rispetto all'altro il momento di attrito dinamico è Md = 1.4 Nm. Calcolare: a) l'accelerazione angolare del disco 2 se al disco 1 è applicato il momento costante M = 2 Nm. b) Ripetere il calcolo se M = 5 Nm."
Non capisco bene la soluzione di questo problema. So che dovrei verificare se i due corpi slittano l'uno rispetto all'altro o meno, ma non capisco come fare.
Per il disco 1, considerando che M supera Ms: $ M-Md = I_1alpha $
Per il disco 2: $ Md = I_2alpha $
L'accelerazione angolare è uguale per entrambi.
Come faccio a capire se slittano o meno?
Risposte
up
L'accelerazione angolare è uguale per entrambi.
Ne sei sicuro ?
Il testo dice chiaramente che il momento motore applicato al disco 1 è maggiore del massimo momento di attrito statico che il disco 2 può opporre, quindi si ha strisciamento relativo tra i due dischi . Hai scritto correttamente la relazione per calcolare l'accelerazione angolare del disco 1:
$M-M_d = I_1alpha_1$
Adesso, quale sarà il momento che accelera il disco 2 ?
Fa' il paragone col caso lineare , a destra .
"Shackle":
quindi si ha strisciamento relativo tra i due dischi.
Questo è quello che pensavo anche io, ma la soluzione dice che non c'è slittamento reciproco.
La riporto:
"Nell'ipotesi di assenza di slittamento reciproco dei due dischi (stesse $ omega $ e $ alpha $):
$ M-Md = I_1alpha $
$ Md = I_2alpha $
$ alpha=M/(I_1+I_2)=1,54 (rad)/s^2 $
$ Md= (I_2M)/(I_1+I_2)=1,23 Nm $
ed è verificata l'ipotesi $ Md
Con il momento di $\tau = 2 Nm$ il disco non slitta.
Infatti l'accelerazione e' $\alpha = \tau /(J_1+J_2)$.
La forza di attrito necessaria per far accelerare il disco 2 e' $\alpha J_1 = (\tau\ J_1)/(J_1+J_2) = 1.23 Nm < M_s$
Infatti l'accelerazione e' $\alpha = \tau /(J_1+J_2)$.
La forza di attrito necessaria per far accelerare il disco 2 e' $\alpha J_1 = (\tau\ J_1)/(J_1+J_2) = 1.23 Nm < M_s$
Ripeto la mia idea : il testo pubblicato dice che il momento applicato al disco 1 vale : $M= 2Nm$ , quindi è maggiore del massimo momento di attrito statico che il disco 2 può opporre : $M_s= 1.5Nm $ . E in queste condizioni , per me , c'è slittamento tra i dischi . Inoltre il testo aggiunge che :
quindi fornisce un ben preciso valore del momento di attrito dinamico, inferiore a quello statico: a quale scopo, se poi "ne trova" uno diverso? " attrito dinamico" non significa che le due parti siano in quiete una rispetto all'altra, significa che c'è moto relativo ! Nessuna meraviglia che sia $M_d
Consideriamo il caso dei due blocchi sovrapposti, poggiati su un piano orizzontale per ipotesi liscio ( cioè , non ci interessa quello che succede tra blocco 2 e piano) , rappresentato a destra nella tua figura. Allego un disegno esplicativo:
Se la forza $F$ è, in modulo, inferiore alla forza max di attrito statico tra i due corpi, essi rimangono attaccati, viaggiando con la stessa accelerazione, data da :
$a =F/(m_1+m_2)$
ma se supponiamo che la forza F applicata sia superiore alla forza di attrito massima , cioè supponiamo:
$F>F_(amax) = mu_sm_1g $
allora sia ha strisciamento tra i corpi. Durante il moto, la forza $F_a$ che si sviluppa tra i corpi è forza di attrito dinamico :
$F_a = mu_d m_1g$ , con $mu_d
$m_1a_1 = F-F_a$
$m_2a_2 = F_a$
da cui : $ a_2 = F_a/m_2 = (F-m_1a_1)/(m_2) $
Come è evidente, è proprio la forza di attrito dinamico che imprime l'accelerazione $a_2$ al corpo 2 ; ma questo non significa che c'è quiete relativa tra i due corpi. In quali condizioni potrebbe essere : $a_2 =a_1 $ ?
Dovremmo porre : $a_1 = (F-m_1a_1)/(m_2) \rarr F = (m_1+m_2)a_1$
ma questo, come detto all'inizio, può aversi solo se la forza $F
Nel caso dei dischi, mutatis mutandis, la situazione è la stessa, a parer mio .
...in queste condizioni il massimo momento di attrito statico è Ms = 1.5 Nm, mentre quando slittano uno rispetto all'altro il momento di attrito dinamico è Md = 1.4 Nm
quindi fornisce un ben preciso valore del momento di attrito dinamico, inferiore a quello statico: a quale scopo, se poi "ne trova" uno diverso? " attrito dinamico" non significa che le due parti siano in quiete una rispetto all'altra, significa che c'è moto relativo ! Nessuna meraviglia che sia $M_d
Consideriamo il caso dei due blocchi sovrapposti, poggiati su un piano orizzontale per ipotesi liscio ( cioè , non ci interessa quello che succede tra blocco 2 e piano) , rappresentato a destra nella tua figura. Allego un disegno esplicativo:
Se la forza $F$ è, in modulo, inferiore alla forza max di attrito statico tra i due corpi, essi rimangono attaccati, viaggiando con la stessa accelerazione, data da :
$a =F/(m_1+m_2)$
ma se supponiamo che la forza F applicata sia superiore alla forza di attrito massima , cioè supponiamo:
$F>F_(amax) = mu_sm_1g $
allora sia ha strisciamento tra i corpi. Durante il moto, la forza $F_a$ che si sviluppa tra i corpi è forza di attrito dinamico :
$F_a = mu_d m_1g$ , con $mu_d
$m_1a_1 = F-F_a$
$m_2a_2 = F_a$
da cui : $ a_2 = F_a/m_2 = (F-m_1a_1)/(m_2) $
Come è evidente, è proprio la forza di attrito dinamico che imprime l'accelerazione $a_2$ al corpo 2 ; ma questo non significa che c'è quiete relativa tra i due corpi. In quali condizioni potrebbe essere : $a_2 =a_1 $ ?
Dovremmo porre : $a_1 = (F-m_1a_1)/(m_2) \rarr F = (m_1+m_2)a_1$
ma questo, come detto all'inizio, può aversi solo se la forza $F
Nel caso dei dischi, mutatis mutandis, la situazione è la stessa, a parer mio .
Ma no, @Shackle. Una situazione analoga sarebbe se prendiamo due blocchi di massa $M$, collegati da una fune che regge al massimo la forza $F$. Se applichiamo a uno dei due blocchi una forza $F' = 1.5F$, la fune si rompe? Secondo la tua idea sì, dovrebbe rompersi: $F'$ è maggiore del carico di rottura! Invece no: la metà di $F'$ è per così dire "consumata" dal primo blocco, e al secondo, tramite la fune arriva solo l'altra metà. Almeno, a me pare così...
"mgrau":
Ma no, @Shackle. Una situazione analoga sarebbe se prendiamo due blocchi di massa $M$, collegati da una fune che regge al massimo la forza $F$. Se applichiamo a uno dei due blocchi una forza $F' = 1.5F$, la fune si rompe? Secondo la tua idea sì, dovrebbe rompersi: $F'$ è maggiore del carico di rottura! Invece no: la metà di $F'$ è per così dire "consumata" dal primo blocco, e al secondo, tramite la fune arriva solo l'altra metà. Almeno, a me pare così...
Giusto. Non considerate le mie risposte.
No, non mi pare corretto. in quel caso la forza di attrito è l'esatto equivalente della fune che collega i due blocchi. La forza applicata alle due masse dà una certa accelerazione $a = F/(m_1+m_2)$, per dare questa accelerazione alla massa $m_2$ occorre una forza $F' = Fm_2/(m_1+m_2) < F$, per cui se $F > F_(max)$ non è detto che ci sia scorrimento; se $F_(max) >F'$ non c'è.
"mgrau":
No, non mi pare corretto. in quel caso la forza di attrito è l'esatto equivalente della fune che collega i due blocchi. La forza applicata alle due masse dà una certa accelerazione $a = F/(m_1+m_2)$, per dare questa accelerazione alla massa $m_2$ occorre una forza $F' = Fm_2/(m_1+m_2) < F$, per cui se $F > F_(max)$ non è detto che ci sia scorrimento; se $F_(max) >F'$ non c'è.
Intanto ho già modificato la risposta sopra, temporaneamente.
Però mi rimane qualche dubbio. Chi ti dice a priori che $a = F/(m_1+m_2)$ , cioè le due masse hanno la stessa accelerazione ? Mi sembra un po’ una forzatura partire da qui
Supponiamo che il blocco di sopra sia molto leggero rispetto a quello di sotto, oppure che il coefficiente di attrito statico sia molto piccolo , al limite della “ liscezza “ : è lecito fare l’ipotesi di partenza suddetta?
La forza di attrito non è del tutto uguale a una fune . Se collego una macchina a un carro attrezzi con un filo di spago e faccio partire il carro, che succede? Ma comunque , lasciamo perdere certi esempi che possono essere ingannevoli, nel caso ora detto ci sono altre resistenze come l'attrito delle gomme con l'asfalto, per cui è più complicato. Torniamo ai blocchi sovrapposti .
Domani esaminerò nuovamente la questione . Ora sono troppo stanco. Ciao .
Proviamo a guardare le cose più da vicino. Caso dei blocchi sovrapposti. Se applichiamo una forza a uno dei due, diciamo a quello sopra, $M_1$ (mi pare indifferente, ai fini della teoria, non dei risultati, applicarla a quello sopra o a quello sotto), che succede?
$M_1$ è soggetto ad un transitorio (molto breve, ma c'è) in cui la forza, applicata istantaneamente al tempo 0, sposta impercettibilmente il blocco rispetto all'altro il che fa nascere l'attrito statico. $M_1$ è soggetto alla forza $F$ costante e all'attrito $F_a$ che passa durante il tempuscolo del transitorio da 0 ad un certo valore. Di conseguenza l'accelerazione passa dal valore iniziale $a_0 = F/M_1$ al valore di regime $(F-F_a)/M_1$.
In corrispondenza a questo, anche $M_2$ è soggetta ad una forza che passa da 0 a $F_a$.
Il tutto è condizionato dal fatto che $F_a$ sia maggiore o minore di $F_(max)$.
Se è minore, si ha il moto solidale fra le due masse, con accelerazione $F/(M_1+M_2)$.
Se maggiore, si ha slittamento: $a_1 = (F-F_(max)/M_1)$ (non sto ora a distinguere fra attrito statico e dinamico), e $a_2=F_(max)/M_2$
Ti metto una interpretazione grafica delle accelerazioni delle due masse nei due casi. Ho fatto il caso più semplice di masse uguali.
Qui si vede che l'attrito raggiunge il massimo prima che le due masse abbiano pareggiato le accelerazioni, da cui lo slittamento
Qui invece le accelerazioni siuguagliano prima che l'attrito abbia raggiunto il massimo, e da qui in poi le masse procedono insieme.
Che ne dici?
$M_1$ è soggetto ad un transitorio (molto breve, ma c'è) in cui la forza, applicata istantaneamente al tempo 0, sposta impercettibilmente il blocco rispetto all'altro il che fa nascere l'attrito statico. $M_1$ è soggetto alla forza $F$ costante e all'attrito $F_a$ che passa durante il tempuscolo del transitorio da 0 ad un certo valore. Di conseguenza l'accelerazione passa dal valore iniziale $a_0 = F/M_1$ al valore di regime $(F-F_a)/M_1$.
In corrispondenza a questo, anche $M_2$ è soggetta ad una forza che passa da 0 a $F_a$.
Il tutto è condizionato dal fatto che $F_a$ sia maggiore o minore di $F_(max)$.
Se è minore, si ha il moto solidale fra le due masse, con accelerazione $F/(M_1+M_2)$.
Se maggiore, si ha slittamento: $a_1 = (F-F_(max)/M_1)$ (non sto ora a distinguere fra attrito statico e dinamico), e $a_2=F_(max)/M_2$
Ti metto una interpretazione grafica delle accelerazioni delle due masse nei due casi. Ho fatto il caso più semplice di masse uguali.
Qui si vede che l'attrito raggiunge il massimo prima che le due masse abbiano pareggiato le accelerazioni, da cui lo slittamento
Qui invece le accelerazioni siuguagliano prima che l'attrito abbia raggiunto il massimo, e da qui in poi le masse procedono insieme.
Che ne dici?
@ mgrau :
No, non è la stessa cosa applicare la forza al blocco di sopra oppure a quello di sotto . Si vede nei due esercizi che allego dopo.
No, per me non c'è questo spostamento che fa nascere l'attrito statico. Non mettiamo altra carne a cuocere con i transitori; tutti i corpi , per passare dalla quiete al moto a causa dell'applicazione di una forza, sono soggetti a un breve transitorio, ma è trascurabile. Se la forza è "piccola" , inferiore alla max forza di attrito statico sviluppabile, i due blocchi si comportano come un unico blocco, non c'è spostamento relativo.
Quindi il resto del tuo discorso non mi trova d'accordo, salvo questo :
che è giusto.
Mi sono dato da fare anch'io . Ho trovato due esercizi , in un testo di Mazzoldi, Saggion, Voci , che sono questi :
ti chiedo di esaminarli attentamente , in particolare il secondo (NB : i numeri dei blocchi sono invertiti rispetto ai nostri) ; nei due esercizi si considera anche l'attrito tra blocco inferiore e piano, cosa che invece è nulla nel nostro sistema . Perciò occorre assumere un coefficiente di attrito nullo col piano, per ricadere, col secondo esercizio , nel nostro caso: vedi come si modificano le soluzioni date dal Mazzoldi.
Ritengo quindi corretto tutto quanto ho scritto in questo post .
Naturalmente , chiedo all' OP di parlarne col suo docente, poiché tutti possiamo sbagliare.
"mgrau":
Se applichiamo una forza a uno dei due, diciamo a quello sopra, $M_1$ (mi pare indifferente, ai fini della teoria, non dei risultati, applicarla a quello sopra o a quello sotto), che succede?
No, non è la stessa cosa applicare la forza al blocco di sopra oppure a quello di sotto . Si vede nei due esercizi che allego dopo.
"mgrau":
$ M_1 $ è soggetto ad un transitorio (molto breve, ma c'è) in cui la forza, applicata istantaneamente al tempo 0, sposta impercettibilmente il blocco rispetto all'altro il che fa nascere l'attrito statico.
No, per me non c'è questo spostamento che fa nascere l'attrito statico. Non mettiamo altra carne a cuocere con i transitori; tutti i corpi , per passare dalla quiete al moto a causa dell'applicazione di una forza, sono soggetti a un breve transitorio, ma è trascurabile. Se la forza è "piccola" , inferiore alla max forza di attrito statico sviluppabile, i due blocchi si comportano come un unico blocco, non c'è spostamento relativo.
Quindi il resto del tuo discorso non mi trova d'accordo, salvo questo :
Il tutto è condizionato dal fatto che $ F_a $ sia maggiore o minore di $ F_(max) $.
Se è minore, si ha il moto solidale fra le due masse, con accelerazione $ F/(M_1+M_2) $.
Se maggiore, si ha slittamento: $ a_1 = (F-F_(max)/M_1) $ (non sto ora a distinguere fra attrito statico e dinamico), e $ a_2=F_(max)/M_2 $
che è giusto.
Mi sono dato da fare anch'io . Ho trovato due esercizi , in un testo di Mazzoldi, Saggion, Voci , che sono questi :
ti chiedo di esaminarli attentamente , in particolare il secondo (NB : i numeri dei blocchi sono invertiti rispetto ai nostri) ; nei due esercizi si considera anche l'attrito tra blocco inferiore e piano, cosa che invece è nulla nel nostro sistema . Perciò occorre assumere un coefficiente di attrito nullo col piano, per ricadere, col secondo esercizio , nel nostro caso: vedi come si modificano le soluzioni date dal Mazzoldi.
Ritengo quindi corretto tutto quanto ho scritto in questo post .
Naturalmente , chiedo all' OP di parlarne col suo docente, poiché tutti possiamo sbagliare.
"Shackle":
@ mgrau :
[quote="mgrau"]Se applichiamo una forza a uno dei due, diciamo a quello sopra, $M_1$ (mi pare indifferente, ai fini della teoria, non dei risultati, applicarla a quello sopra o a quello sotto), che succede?
No, non è la stessa cosa applicare la forza al blocco di sopra oppure a quello di sotto . Si vede nei due esercizi che allego dopo.
[/quote]
Non ho detto che è la stessa cosa. Ho detto che i risultati cambiano, ma la teoria è la stessa, mutatis mutandis
Quanto al resto, mi sto un po' confondendo, non mi stupirei che magari stiamo dicendo la stessa cosa.
Mi attengo a una tua frase precedente:
"Shackle":
ma se supponiamo che la forza F applicata sia superiore alla forza di attrito massima , cioè supponiamo:
$F>Famax=μsm1g$
allora sia ha strisciamento tra i corpi
Facciamo un caso numerico.
$M_1 = 10 Kg$ (il blocco superiore), $M_2 = 1Kg$
$mu_s = 0.2$
$F = 22 N$, applicata al blocco superiore.
La $F_(max) = 21.6N$
L'accelerazione, se i blocchi viaggiano insieme, è $a = 22/11 = 2m/s^2$
La forza necessaria a dare questa accelerazione al blocco inferiore è $F' = 2 N $, inferiore a $F_(max)$
Se ho capito bene, secondo te c'è strisciamento, visto che $F > F_(max)$? A me pare di no...
Spero che questo esercizio risponda alle tue esigenze :
http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/s ... 13/es2.pdf
tieni presente, comunque, che i risultati numerici della seconda pagina sono sbagliati , in quanto deve essere :
$F = (m_1+m_2)mu_sg = 15.68 N $ , e non $17.7N$
di conseguenza , questo errore porta con sé i successivi.(*) Tuttavia , il concetto è giusto. Oltre al coefficiente di attrito statico, va considerato quello dinamico, altrimenti non si arriva alle soluzioni richieste dal testo .
--------------------------------------
(*) Ho trovato, nell'ordine, i valori corretti :
$a = 1.96 m/s^2$
$a_2 = 2.55m/s^2$
$a'_1 = 4.25 m/s^2$
--------------------------------------
Se vuoi, qui trovi altro materiale , tra cui anche varie risposte date nel nostro forum.
Neanche a dirlo, ritengo per analogia che la soluzione proposta per i dischi sia sbagliata, almeno come impostazione di partenza. Posso solo aggiungere “secondo me”. Tornerò oggi sul problema dei dischi, perché forse vedo la soluzione .
Per ora non dico altro.
http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/s ... 13/es2.pdf
tieni presente, comunque, che i risultati numerici della seconda pagina sono sbagliati , in quanto deve essere :
$F = (m_1+m_2)mu_sg = 15.68 N $ , e non $17.7N$
di conseguenza , questo errore porta con sé i successivi.(*) Tuttavia , il concetto è giusto. Oltre al coefficiente di attrito statico, va considerato quello dinamico, altrimenti non si arriva alle soluzioni richieste dal testo .
--------------------------------------
(*) Ho trovato, nell'ordine, i valori corretti :
$a = 1.96 m/s^2$
$a_2 = 2.55m/s^2$
$a'_1 = 4.25 m/s^2$
--------------------------------------
Se vuoi, qui trovi altro materiale , tra cui anche varie risposte date nel nostro forum.
Neanche a dirlo, ritengo per analogia che la soluzione proposta per i dischi sia sbagliata, almeno come impostazione di partenza. Posso solo aggiungere “secondo me”. Tornerò oggi sul problema dei dischi, perché forse vedo la soluzione .
Per ora non dico altro.
Ritorno al problema originale dei dischi, per impostare una soluzione ragionevole. Il testo dice :
Dunque , c'è un momento massimo di attrito statico $M_s = 1.5 Nm$ , superato il quale i dischi slittano (o dovrebbero slittare ) ; e quando slittano il momento di attrito dinamico è $M_d = 1.4 Nm$ . Siccome il momento applicato dall'esterno al disco 1 vale $M = 2 Nm$ , è superiore a $M_s$ . Allora , per applicare la 2º equazione della dinamica dei sitemi ai due dischi dobbiamo considerare che al momento applicato sul disco 1 si oppone il momento dinamico $M_d$ , per cui :
mentre sul disco 2 agisce il momento dinamico $M_d$ , per cui sarebbe :
ora, questo risultato è fisicamente inaccettabile, perché non è possibile che il disco 1 trasmetta al disco 2 più della propria accelerazione angolare ! Al massimo, il disco 1 potrà imprimere al 2 una accelerazione uguale alla sua.
Ecco allora che bisogna scrivere :
ed uguagliare : $alpha_1 = alpha_2 $ , da cui :
Adesso sí , che questo valore è fisicamente giustificato! Da notare che questo momento ora determinato non è affatto dinamico , ma piuttosto è un momento statico , cioè che trasmette staticamente l'accelerazione angolare dal primo al secondo disco.
Ciò che mi ha dato disturbo fin dall'inizio è la " ipotesi" riportata dal' OP, come incipit della soluzione del libro:
Quale base fisica c'è , sotto questa ipotesi ? Nessuna. Si uguagliano le due accelerazioni angolari, senza nessun precedente ragionamento . E questo non è il modo di fare fisica .
Due dischi coassiali, I1 = 0.5 kgm^2, I2 = 0.8 kgm^2, sono premuti uno contro l'altro; in queste condizioni il massimo momento di attrito statico è Ms = 1.5 Nm, mentre quando slittano uno rispetto all'altro il momento di attrito dinamico è Md = 1.4 Nm. Calcolare: a) l'accelerazione angolare del disco 2 se al disco 1 è applicato il momento costante M = 2 Nm.
Dunque , c'è un momento massimo di attrito statico $M_s = 1.5 Nm$ , superato il quale i dischi slittano (o dovrebbero slittare ) ; e quando slittano il momento di attrito dinamico è $M_d = 1.4 Nm$ . Siccome il momento applicato dall'esterno al disco 1 vale $M = 2 Nm$ , è superiore a $M_s$ . Allora , per applicare la 2º equazione della dinamica dei sitemi ai due dischi dobbiamo considerare che al momento applicato sul disco 1 si oppone il momento dinamico $M_d$ , per cui :
$M-M_d = I_1alpha_1 rarr alpha_1 = (2-1.4)/0.5 = 1.2 (rad)/s^2 $
mentre sul disco 2 agisce il momento dinamico $M_d$ , per cui sarebbe :
$M_d = I_2alpha_2 rarr alpha_2 = 1.4/0.8 = 1.45 (rad)/s^2$
ora, questo risultato è fisicamente inaccettabile, perché non è possibile che il disco 1 trasmetta al disco 2 più della propria accelerazione angolare ! Al massimo, il disco 1 potrà imprimere al 2 una accelerazione uguale alla sua.
Ecco allora che bisogna scrivere :
$alpha_1 = (M-M_d)/I_1$ $\bigwedge$ $alpha_2 = M_d/I_2 $
ed uguagliare : $alpha_1 = alpha_2 $ , da cui :
$I_2(M-M_d) = I_1M_d rarr M_d = M I_2/(I_1+I_2) = 2* 0.8/1.3 = 1.23 Nm $
Adesso sí , che questo valore è fisicamente giustificato! Da notare che questo momento ora determinato non è affatto dinamico , ma piuttosto è un momento statico , cioè che trasmette staticamente l'accelerazione angolare dal primo al secondo disco.
Ciò che mi ha dato disturbo fin dall'inizio è la " ipotesi" riportata dal' OP, come incipit della soluzione del libro:
Questo è quello che pensavo anche io, ma la soluzione dice che non c'è slittamento reciproco.
La riporto:
"Nell'ipotesi di assenza di slittamento reciproco dei due dischi (stesse ω e α):
Quale base fisica c'è , sotto questa ipotesi ? Nessuna. Si uguagliano le due accelerazioni angolari, senza nessun precedente ragionamento . E questo non è il modo di fare fisica .
Ma il| momento di frizione $M_f$" e' incognito e dipende dal momento di inerzia del disco inferiore e non solo dalla coppia esterna applicata.
Se il momento d'inerzia del disco inferiore e' molto piccolo, io posso applicare una coppia esterna maggiore del massimo momento di frizione statico (maggiore di 1.5) e i dischi non slittano (potrebbero non slittare).
Le equazioni che reggono il sistema sono dunque:
$M-M_f=I_1dotomega_1$
$M_f=I_2dotomega_2$
A questo punto, visto che le equazioni a mia disposizione sono finite, non posso che fare una considerazione: siccome sto usando l'attrito statico per descrivere il problema, i dischi non possono che essere solidali, cioe' $dotomega_1=dotomega_2=dotomega$, cosa che e' vera solo se $m_f<1.5$.
Vediamo se e' vero: risolvendo il sistema,
$dotomega=1.54$
Da cui $M_f=0.8*0.54=1.23<1.5$
E siccome $M_f$ e' minore del massimo momento statico, la mia supposizione e' corretta: i dischi non stanno slittando.
Se ora aumento la coppia al secondo valore dell'esercizio (5NM) con lo stesso ragionamento mi accorgo la mia supposizione di non strisciamento non regge piu', perche mi risulta $M_f>1.5$
Quindi ora le equazioni da usare saranno certamente $M-M_d=I_1dotomega_1$, che risolta fornisce $dotomega_1=(5-1.4)/0.5=7.2$ e $dotomega_2=1.4/0.8=1.75[rad]/[sec^2]$
la differenza fondamentale sta appunto nel fatto che il momento statico e' incognito, mentre quello dinamico e' noto e' costante
IMHO OFC
Se il momento d'inerzia del disco inferiore e' molto piccolo, io posso applicare una coppia esterna maggiore del massimo momento di frizione statico (maggiore di 1.5) e i dischi non slittano (potrebbero non slittare).
Le equazioni che reggono il sistema sono dunque:
$M-M_f=I_1dotomega_1$
$M_f=I_2dotomega_2$
A questo punto, visto che le equazioni a mia disposizione sono finite, non posso che fare una considerazione: siccome sto usando l'attrito statico per descrivere il problema, i dischi non possono che essere solidali, cioe' $dotomega_1=dotomega_2=dotomega$, cosa che e' vera solo se $m_f<1.5$.
Vediamo se e' vero: risolvendo il sistema,
$dotomega=1.54$
Da cui $M_f=0.8*0.54=1.23<1.5$
E siccome $M_f$ e' minore del massimo momento statico, la mia supposizione e' corretta: i dischi non stanno slittando.
Se ora aumento la coppia al secondo valore dell'esercizio (5NM) con lo stesso ragionamento mi accorgo la mia supposizione di non strisciamento non regge piu', perche mi risulta $M_f>1.5$
Quindi ora le equazioni da usare saranno certamente $M-M_d=I_1dotomega_1$, che risolta fornisce $dotomega_1=(5-1.4)/0.5=7.2$ e $dotomega_2=1.4/0.8=1.75[rad]/[sec^2]$
la differenza fondamentale sta appunto nel fatto che il momento statico e' incognito, mentre quello dinamico e' noto e' costante
IMHO OFC
L'analogia lineare si puo forse intuire meglio se cambiamo il problema in questo modo:
2 masse sono sovrapposte, di modo che la massa superiore sia di $m_1=10kg$, quella inferiore sia $m_2$. Il coefficiente di attrito statico sia $mu_s=0.5$ e quello dinamico $mu_d=0.1$ Si verifichi se la masse scivolano o restano solidalei quando alla massa $m_1$ e' applicata una forza di 80N
Intanto notiamo subito che 80N e' un valore maggiore della massima forza di attrito statico (che e' 50N). Ma questo fatto, da solo, non ci assicura che la masse slittano! La massa $m_2$ e' incognita!
Quindi, supponiamo che le masse non scivolino e scriviamo
$80-f_a=10*a$
$f_a=m_2a$
Risolvendo $80=(10+m_2)a$ e ricordando che $f_a
Vedendola cosi forse si intuisce meglio?
2 masse sono sovrapposte, di modo che la massa superiore sia di $m_1=10kg$, quella inferiore sia $m_2$. Il coefficiente di attrito statico sia $mu_s=0.5$ e quello dinamico $mu_d=0.1$ Si verifichi se la masse scivolano o restano solidalei quando alla massa $m_1$ e' applicata una forza di 80N
Intanto notiamo subito che 80N e' un valore maggiore della massima forza di attrito statico (che e' 50N). Ma questo fatto, da solo, non ci assicura che la masse slittano! La massa $m_2$ e' incognita!
Quindi, supponiamo che le masse non scivolino e scriviamo
$80-f_a=10*a$
$f_a=m_2a$
Risolvendo $80=(10+m_2)a$ e ricordando che $f_a
Vedendola cosi forse si intuisce meglio?
Grazie per tuoi interventi, professorkappa.
Il punto è che , sia nel caso dei dischi che nel caso dei blocchi , i quali sono perfettamente analoghi (basta mettere le masse al posto dei momenti d inerzia , le accelerazioni lineari al posto delle angolari, e le forze al posto dei momenti) , nel caso generale , in cui non sappiamo come evolve il sistema e quindi pensiamo a priori che ci possa essere slittamento tra i due corpi , abbiamo a disposizione due sole equazioni :
e analogamente nel caso lineare , mentre invece le incognite sono tre : $M_f , dotomega_1, dotomega_2$ . Perciò , in questi termini , il problema è matematicamente indeterminato. Soltanto facendo una ipotesi aggiuntiva di carattere fisico , e cioè, come ho fatto io, che non è ammissibile che il disco 1 imprima al disco 2 una accelerazione angolare maggiore della propria , quindi al massimo si potrà avere :
si può arrivare a determinare due incognite con due equazioni. Ma , appunto, è necessario dapprima fare il calcolo "sbagliato" , da cui si vede che risulterebbe , coi dati forniti : $dotomega_2>dotomega_1$ , e quindi dire : non è fisicamente accettabile . Solo ora , posso ipotizzare che le due accelerazioni devono al piu essere che uguali.
Non mi va giù che questa ipotesi si faccia prima !
La stessa cosa accade nel caso lineare , se conosciamo $m_2 = 1kg$ ( per esempio) , e scriviamo :
con $f_a = mu_dm_1g$ . Viene fuori una accelerazione $a_2 >\>a_1$ , il che è fisicamente inaccettabile , per cui ecco che bisogna fare l'ipotesi aggiuntiva che le due accelerazioni siano al più uguali , per trovare sia $a$ che $f_a$.
Diverso è il caso in cui la forza motrice è applicata al corpo sottostante, di massa inferiore. Immaginiamo di avere una tavoletta di legno, da $1kg$ , poggiata a terra, senza attrito col suolo, e mettiamoci sopra una valigia di $10kg$ ; poi supponiamo che sia $mu_s= 0.2$ e $mu_d = 0.1 $ , e applichiamo una forza di $22N$ ( sono i numeri di mgrau) , prima alla tavoletta , poi alla valigia.
Di nuovo grazie. Al solito, constato l'assenza dell'OP .
Il punto è che , sia nel caso dei dischi che nel caso dei blocchi , i quali sono perfettamente analoghi (basta mettere le masse al posto dei momenti d inerzia , le accelerazioni lineari al posto delle angolari, e le forze al posto dei momenti) , nel caso generale , in cui non sappiamo come evolve il sistema e quindi pensiamo a priori che ci possa essere slittamento tra i due corpi , abbiamo a disposizione due sole equazioni :
$M-M_f=I_1dotomega_1$
$M_f=I_2dotomega_2$
e analogamente nel caso lineare , mentre invece le incognite sono tre : $M_f , dotomega_1, dotomega_2$ . Perciò , in questi termini , il problema è matematicamente indeterminato. Soltanto facendo una ipotesi aggiuntiva di carattere fisico , e cioè, come ho fatto io, che non è ammissibile che il disco 1 imprima al disco 2 una accelerazione angolare maggiore della propria , quindi al massimo si potrà avere :
$dotomega_1=dotomega_2$
si può arrivare a determinare due incognite con due equazioni. Ma , appunto, è necessario dapprima fare il calcolo "sbagliato" , da cui si vede che risulterebbe , coi dati forniti : $dotomega_2>dotomega_1$ , e quindi dire : non è fisicamente accettabile . Solo ora , posso ipotizzare che le due accelerazioni devono al piu essere che uguali.
Non mi va giù che questa ipotesi si faccia prima !
La stessa cosa accade nel caso lineare , se conosciamo $m_2 = 1kg$ ( per esempio) , e scriviamo :
$ 80-f_a=10*a_1 $
$ f_a=1*a_2 $
con $f_a = mu_dm_1g$ . Viene fuori una accelerazione $a_2 >\>a_1$ , il che è fisicamente inaccettabile , per cui ecco che bisogna fare l'ipotesi aggiuntiva che le due accelerazioni siano al più uguali , per trovare sia $a$ che $f_a$.
Diverso è il caso in cui la forza motrice è applicata al corpo sottostante, di massa inferiore. Immaginiamo di avere una tavoletta di legno, da $1kg$ , poggiata a terra, senza attrito col suolo, e mettiamoci sopra una valigia di $10kg$ ; poi supponiamo che sia $mu_s= 0.2$ e $mu_d = 0.1 $ , e applichiamo una forza di $22N$ ( sono i numeri di mgrau) , prima alla tavoletta , poi alla valigia.
Di nuovo grazie. Al solito, constato l'assenza dell'OP .
Questo è uno di quei post che lievitano nonostante la loro relativa semplicità.
Il punto che ti ha portato fuori strada è stato assumere che, siccome la coppia applicata è maggiore del massimo momento d attrito statico, allora i dischi devono giocoforza slittare. Questo non è vero, e ipotizzare che i dischi non slittano ha la stessa validità di ipotizzare che slittino. Non è una forzatura aprioristica. I calcoli poi rigetteranno o confermeranno la validità dell'ipotesi scelta.
Se vogliamo togliere questa "forzatura" basta che ci domandiamo quale coppia massima possiamo applicare all'asse prima che entri lo slittamento. Si trova che $C_m=I_1/I_2*M_d+M_d$.
Con i dati del problema $C_m=2.27$.
A questo punto, dato che $C=2
Viceversa, nel secondo caso in cui $C=5>C_m$, siamo sicuri che i dischi slittano e allora $alpha_1=(C-M_d)/I_1$ e $alpha_2=M_d/I_2$.
Ora non c'è più alea o arbitrarietà nella scelta delle equazioni da impiegare a seconda della coppia applicata all'asse.
Un caro saluto.
Il punto che ti ha portato fuori strada è stato assumere che, siccome la coppia applicata è maggiore del massimo momento d attrito statico, allora i dischi devono giocoforza slittare. Questo non è vero, e ipotizzare che i dischi non slittano ha la stessa validità di ipotizzare che slittino. Non è una forzatura aprioristica. I calcoli poi rigetteranno o confermeranno la validità dell'ipotesi scelta.
Se vogliamo togliere questa "forzatura" basta che ci domandiamo quale coppia massima possiamo applicare all'asse prima che entri lo slittamento. Si trova che $C_m=I_1/I_2*M_d+M_d$.
Con i dati del problema $C_m=2.27$.
A questo punto, dato che $C=2
Viceversa, nel secondo caso in cui $C=5>C_m$, siamo sicuri che i dischi slittano e allora $alpha_1=(C-M_d)/I_1$ e $alpha_2=M_d/I_2$.
Ora non c'è più alea o arbitrarietà nella scelta delle equazioni da impiegare a seconda della coppia applicata all'asse.
Un caro saluto.
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