Dinamica del punto materiale: massa, molla sospese...
Una massa puntiforme m=1 kg, è sospesa mediante un filo inestendibile di massa trascurabile, con l=1 m, cui è unita una molla ideale di lunghezza a riposo nulla e k= 2 N/m, ad un piolo fisso cilindrico orizzontale di raggio trascurabile su cui il filo può scorrere senza attrito. Determinare la posizione di m rispetto al piolo all'istante t= 0.2 s, sapendo che a t=0 essa (la posizione di m, o la molla?) si trova in quiete a distanza x(0) = l/2 al di sotto del piolo stesso.
[x= 0.69m]
Il prof ce lo ha dato per casa, anticipandoci che si deve utilizzare la conservazione dell'energia meccanica. E fin qui ci sono perchè comunque le forze in gioco sono conservative, come la forza peso e la forza elastica. Però io sto seguendo la teoria ma con la pratica sono un pò più in difficoltà. Se l'energia meccanica si conserva vuole dire che $E = T_1 + U_1 = T_2 + U_2$
Io so che $P = mg(z_2 - z_1)$ e che $f_e = - k(x - l_o) = -k(x)$
Mi date una piccola mano? Nel senso che vorrei capire come si deve ragionare e come si deve interpretare al meglio il testo. Grazie
[x= 0.69m]
Il prof ce lo ha dato per casa, anticipandoci che si deve utilizzare la conservazione dell'energia meccanica. E fin qui ci sono perchè comunque le forze in gioco sono conservative, come la forza peso e la forza elastica. Però io sto seguendo la teoria ma con la pratica sono un pò più in difficoltà. Se l'energia meccanica si conserva vuole dire che $E = T_1 + U_1 = T_2 + U_2$
Io so che $P = mg(z_2 - z_1)$ e che $f_e = - k(x - l_o) = -k(x)$
Mi date una piccola mano? Nel senso che vorrei capire come si deve ragionare e come si deve interpretare al meglio il testo. Grazie
Risposte
Ma sei sicuro che la massa è appesa in quel modo? Il testo non è molto chiaro ma non accenna al fatto che la massa è appesa alla molla, ma bensí che il filo lo è! Inoltre se la massa è puntiforme la rotazione del corpo che avresti, non la puoi apprezzare e nemmeno misurare.
EDIT: questa che ho detto sopra è davvero una stupidata, la molla si allunga in entrambi i sensi e quindi il corpo non ruota ma trasla solamente
Prova a rivedere meglio il diagramma. Forse mi sbaglio io, ma cosí come l'hai disegnato la vedo dura
EDIT: questa che ho detto sopra è davvero una stupidata, la molla si allunga in entrambi i sensi e quindi il corpo non ruota ma trasla solamente
Prova a rivedere meglio il diagramma. Forse mi sbaglio io, ma cosí come l'hai disegnato la vedo dura
io ho rifatto il disegno che sta sul libro degli esercizi relativo a questo problema, c'è anche scritto! l'ho fatto identico! 
Ok perfetto. Avevo detto una stupidaggine.
Secondo me, non sono sicuro al 100%, i due estremi del filo si distribuiscono uniformemente il peso del corpo, e, visto che il perno è senza attriti, la molla è "tirata" con una forza pari alla meta del peso verso il basso, e con una forza di modulo uguale verso l'alto. Di conseguenza il problema è analogo a considerare il corpo appeso direttamente alla molla. Prova a ragionarci un po' e dimmi se ti sembra sensato.
Secondo me, non sono sicuro al 100%, i due estremi del filo si distribuiscono uniformemente il peso del corpo, e, visto che il perno è senza attriti, la molla è "tirata" con una forza pari alla meta del peso verso il basso, e con una forza di modulo uguale verso l'alto. Di conseguenza il problema è analogo a considerare il corpo appeso direttamente alla molla. Prova a ragionarci un po' e dimmi se ti sembra sensato.
"Emar":
Ok perfetto. Avevo detto una stupidaggine.
Secondo me, non sono sicuro al 100%, i due estremi del filo si distribuiscono uniformemente il peso del corpo, e, visto che il perno è senza attriti, la molla è "tirata" con una forza pari alla meta del peso verso il basso, e con una forza di modulo uguale verso l'alto. Di conseguenza il problema è analogo a considerare il corpo appeso direttamente alla molla. Prova a ragionarci un po' e dimmi se ti sembra sensato.
forse ho capito, dimme se così è giusto:
cioè che causa l'allontanamento della massa dal perno, è la molla: quindi scriverei che
$mg-kx=ma$ e siccome vale $x = 1/2 a t^2$ sostituendo ho $mg- 1/2 kat^2=ma$ e da questa mi posso trovare l'accelerazione da mettere nella legge oraria al tempo dopo 0.2 secondi? così l'incognita che trovo è l'allungamento, ergo andrà aggiunto alla distanza 50 cm, poichè a riposo la massa ha quella distanza rispetto al perno...Usando la conservazione dell'energia meccanica invece come si può fare?
"Emar":
Ok perfetto. Avevo detto una stupidaggine.
Secondo me, non sono sicuro al 100%, i due estremi del filo si distribuiscono uniformemente il peso del corpo, e, visto che il perno è senza attriti, la molla è "tirata" con una forza pari alla meta del peso verso il basso, e con una forza di modulo uguale verso l'alto. Di conseguenza il problema è analogo a considerare il corpo appeso direttamente alla molla. Prova a ragionarci un po' e dimmi se ti sembra sensato.
forse ho capito, dimme se così è giusto:
cioè che causa l'allontanamento della massa dal perno, è la molla: quindi scriverei che
$mg-kx=ma$ e siccome vale $x = 1/2 a t^2$ sostituendo ho $mg- 1/2 kat^2=ma$ e da questa mi posso trovare l'accelerazione da mettere nella legge oraria al tempo dopo 0.2 secondi? così l'incognita che trovo è l'allungamento, ergo andrà aggiunto alla distanza 50 cm, poichè a riposo la massa ha quella distanza rispetto al perno...Usando la conservazione dell'energia meccanica invece come si può fare?
Se x>l/2 (il filo è tendito)
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
Se x
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg \)
x(0) = l/2
All'inizio il filo sarà tendito
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
x(0) = l/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=20 - 8 (x-1/2) \)
x(0) = 1/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+8x-24=0 \)
x(0) = 0,5
x'(0)=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
\(\displaystyle x(t) = 3-2,5cos(2\sqrt{2} t) \)
x(0,2)=3-2,5cos(0,4\sqrt{2})=0,50m
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
Se x
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg \)
x(0) = l/2
All'inizio il filo sarà tendito
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
x(0) = l/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=20 - 8 (x-1/2) \)
x(0) = 1/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+8x-24=0 \)
x(0) = 0,5
x'(0)=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
\(\displaystyle x(t) = 3-2,5cos(2\sqrt{2} t) \)
x(0,2)=3-2,5cos(0,4\sqrt{2})=0,50m
"smaug":
...e siccome vale $x = 1/2 a t^2$ sostituendo ho $mg- 1/2 kat^2=ma$ e da questa mi posso trovare l'accelerazione da mettere nella legge oraria al tempo dopo 0.2 secondi? così l'incognita che trovo è l'allungamento, ergo andrà aggiunto alla distanza 50 cm, poichè a riposo la massa ha quella distanza rispetto al perno...Usando la conservazione dell'energia meccanica invece come si può fare?
Attenzione però non puoi sostituire la x così! dovresti risolvere l'equazione della dinamica (come ti ha suggerito wnvl):
[tex]mg -k \Delta x = m \ddot x[/tex]
il risultato sarà la legge oraria di un moto armonico smorzato.
Tuttavia forse utilizzare la conservazione dell'energia sarebbe meno complicato ma al momento non mi viene in mente come.
Le energie in gioco sono quella potenziale elastica, quella potenziale gravitazionale e dall'instante successivo all'istante iniziale quella cinetica dato che il sistema inizia a muoversi. l'energia potenziale gravitazionale decrescerà a discapito di quella cinetica e di quella elastica dato che la molla si allunga dalla sua posizione di riposo. Detto ciò sinceramente ora non mi viene in mente come poi ricavare la legge oraria così semplicemente per poter rispondere al problema...
"Emar":
il risultato sarà la legge oraria di un moto armonico smorzato.
Perche smorzato?
"wnvl":
[quote="Emar"]
il risultato sarà la legge oraria di un moto armonico smorzato.
Perche smorzato?[/quote]
No, é vero. Niente attriti, moto armonico semplice.
ragazzi io non ho capito come risolvere questo problema! 
Ragazzi,
ho pensato un pò , e mi viene da dire questo :
Per la conservazione dell'energia , qunado la massa si abbassa di $x$ l'en. pot. gravitazionale diminuisce di $mgx$ : non ha alcuna importanza la posizione iniziale . Tale variazione si trasforma in energia cinetica $1/2mv^2 $ più energia elastica (lavoro per allungare la molla ) : $1/2kx^2$ . Percio:
$mgx = 1/2mv^2 + 1/2kx^2 $ ( 1)
E così , accontentiamo il professore , se non ho sbagliato qualcosa....
Ma la (1) contiene 2 incognite , cioè la $x$ e la $v$ . mi serve un'altra equazione , l'eq. del moto .
Si può immaginare , penso , che i due capi del filo esercitino due forze uguali verso l'alto sulla massa : se $T$ è la tensione nella molla $ T= kx$ , ognuno dei due rami esercita una forza uguale a $T$ : il piolo ha solo lo scopo di girare a 180° la tensione , giusto ? ( Non lo so, vedete un pò voi se c'è un errore ... )
Quindi la forza agente su $m$ è : $ mg - 2T $ , e l'equaz del moto dovrebbe essere : $ ma = mg -2T $
Ma che moto è quello di m ? Non è uniformemente accelerato , perchè $T$ è una forza non costante , $T$dipende da $x$ ....qui mi sono bloccato .....
Penso che andrebbe fatta una analisi differenziale piùà accurata ....
Smaug , visto che hai il risultato $x = 0.69$ , calcola il valore di $v$ dalla (1) , che penso sia giusta : se non ci fosse il termine "energia elastica" , avresti il solito valore : $ v = sqrt(2gx) $ . La presenza del termine detto diminuisce il valore di $v$ .....Lo so che non serve a nulla ....
ho pensato un pò , e mi viene da dire questo :
Per la conservazione dell'energia , qunado la massa si abbassa di $x$ l'en. pot. gravitazionale diminuisce di $mgx$ : non ha alcuna importanza la posizione iniziale . Tale variazione si trasforma in energia cinetica $1/2mv^2 $ più energia elastica (lavoro per allungare la molla ) : $1/2kx^2$ . Percio:
$mgx = 1/2mv^2 + 1/2kx^2 $ ( 1)
E così , accontentiamo il professore , se non ho sbagliato qualcosa....
Ma la (1) contiene 2 incognite , cioè la $x$ e la $v$ . mi serve un'altra equazione , l'eq. del moto .
Si può immaginare , penso , che i due capi del filo esercitino due forze uguali verso l'alto sulla massa : se $T$ è la tensione nella molla $ T= kx$ , ognuno dei due rami esercita una forza uguale a $T$ : il piolo ha solo lo scopo di girare a 180° la tensione , giusto ? ( Non lo so, vedete un pò voi se c'è un errore ... )
Quindi la forza agente su $m$ è : $ mg - 2T $ , e l'equaz del moto dovrebbe essere : $ ma = mg -2T $
Ma che moto è quello di m ? Non è uniformemente accelerato , perchè $T$ è una forza non costante , $T$dipende da $x$ ....qui mi sono bloccato .....
Penso che andrebbe fatta una analisi differenziale piùà accurata ....
Smaug , visto che hai il risultato $x = 0.69$ , calcola il valore di $v$ dalla (1) , che penso sia giusta : se non ci fosse il termine "energia elastica" , avresti il solito valore : $ v = sqrt(2gx) $ . La presenza del termine detto diminuisce il valore di $v$ .....Lo so che non serve a nulla ....
Il moto è armonico poichè accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento. Probabilmente si potrebbe anche ricordarsi che [tex]v = \ddot x[/tex] e risolvere l'equazione estraendo la legge del moto direttamente dalla conservazione dell'energia!
"Emar":
Il moto è armonico poichè accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento. Probabilmente si potrebbe anche ricordarsi che [tex]v = \ddot x[/tex] e risolvere l'equazione estraendo la legge del moto direttamente dalla conservazione dell'energia!
Emar , troppi due punti su $x$ , errore di distrazione fu...
E poi , c'è $v^2$ nella conservazione dell'energia : io non la so risolvere l'eq diff che viene fuori !
Si scusa tra latex e distrazione ho scritto i 2 puntini. Ovviamente intendevo velocitá derivata prima della posizione
E comunque , siamo un pò al palo...
Emar , Smaug , siete d'accordo che l'eq del moto si può scrivere cosi :
$ m\ddot{x} = mg - 2 * kx $ , poichè al forza elastica è : $ T = kx $ ???
Innanzitutto , siet d'accordo che su $m$ agiscono , verso l'alto , due forze uguali a $T$ ???
E l'eq della conservazione energia si può scrivere cosi :
$ mgx = 1/2m*(\dot{x})^2 + 1/2k*x^2 $ ????
Sì ,ma il problema ci dà anche un tempo $ t = 0.2 s $ .....
Io non riesco a cavare un ragno dal buco....
Emar , Smaug , siete d'accordo che l'eq del moto si può scrivere cosi :
$ m\ddot{x} = mg - 2 * kx $ , poichè al forza elastica è : $ T = kx $ ???
Innanzitutto , siet d'accordo che su $m$ agiscono , verso l'alto , due forze uguali a $T$ ???
E l'eq della conservazione energia si può scrivere cosi :
$ mgx = 1/2m*(\dot{x})^2 + 1/2k*x^2 $ ????
Sì ,ma il problema ci dà anche un tempo $ t = 0.2 s $ .....
Io non riesco a cavare un ragno dal buco....
"navigatore":
$ m\ddot{x} = mg - 2 * kx $
No,
$ m\ddot{x} = mg - 4 * kx $
perché
- se la massa è spostata x, alora la molla è "stretched" 2x
- la forza è applicata 2 volta sulla massa
-> 4kx
"navigatore":
Sì ,ma il problema ci dà anche un tempo $ t = 0.2 s $ .....
Io non riesco a cavare un ragno dal buco....
Utilizzare la conservazione dell'energia non è una buona idea per risolvere questo problema.
Devi risolvere l'equazione della dinamica.
wnvl ,
stanotte vorrei dormire ...non tenermi sulle spine... ho una certa età , io ....dacci 'sta soluzione , se ce l'hai , su ...
Sono d'accordo che non è buona idea la conservazione dell'energia , ma il prof di smaug non sono io ! E chi lo sente , quello ?
stanotte vorrei dormire ...non tenermi sulle spine... ho una certa età , io ....dacci 'sta soluzione , se ce l'hai , su ...
Sono d'accordo che non è buona idea la conservazione dell'energia , ma il prof di smaug non sono io ! E chi lo sente , quello ?
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
x(0) = l/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=20 - 8 (x-1/2) \)
x(0) = 1/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+8x-24=0 \)
x(0) = 0,5
x'(0)=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
\(\displaystyle x(t) = 3-2,5cos(2\sqrt{2} t) \)
\(\displaystyle x(0,2)=3-2,5cos(0,4\sqrt{2})=0,89m \)
So che non corresponde al [x= 0.69m] di Smaug
x(0) = l/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=20 - 8 (x-1/2) \)
x(0) = 1/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+8x-24=0 \)
x(0) = 0,5
x'(0)=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
\(\displaystyle x(t) = 3-2,5cos(2\sqrt{2} t) \)
\(\displaystyle x(0,2)=3-2,5cos(0,4\sqrt{2})=0,89m \)
So che non corresponde al [x= 0.69m] di Smaug
"wnvl":
\(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=mg - 4k (x-l/2) \)
x(0) = l/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=20 - 8 (x-1/2) \)
x(0) = 1/2
x'(0)=0
\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+8x-24=0 \)
x(0) = 0,5
x'(0)=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
\(\displaystyle x(t) = 3-2,5cos(2\sqrt{2} t) \)
\(\displaystyle x(0,2)=3-2,5cos(0,4\sqrt{2})=0,89m \)
So che non corresponde al [x= 0.69m] di Smaug
Utilizzando 2kx anzichè 4 viene giusto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
x(0.2) = 0.69
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