Dinamica del punto materiale: massa, molla sospese...
Una massa puntiforme m=1 kg, è sospesa mediante un filo inestendibile di massa trascurabile, con l=1 m, cui è unita una molla ideale di lunghezza a riposo nulla e k= 2 N/m, ad un piolo fisso cilindrico orizzontale di raggio trascurabile su cui il filo può scorrere senza attrito. Determinare la posizione di m rispetto al piolo all'istante t= 0.2 s, sapendo che a t=0 essa (la posizione di m, o la molla?) si trova in quiete a distanza x(0) = l/2 al di sotto del piolo stesso.
[x= 0.69m]
Il prof ce lo ha dato per casa, anticipandoci che si deve utilizzare la conservazione dell'energia meccanica. E fin qui ci sono perchè comunque le forze in gioco sono conservative, come la forza peso e la forza elastica. Però io sto seguendo la teoria ma con la pratica sono un pò più in difficoltà. Se l'energia meccanica si conserva vuole dire che $E = T_1 + U_1 = T_2 + U_2$
Io so che $P = mg(z_2 - z_1)$ e che $f_e = - k(x - l_o) = -k(x)$
Mi date una piccola mano? Nel senso che vorrei capire come si deve ragionare e come si deve interpretare al meglio il testo. Grazie
[x= 0.69m]
Il prof ce lo ha dato per casa, anticipandoci che si deve utilizzare la conservazione dell'energia meccanica. E fin qui ci sono perchè comunque le forze in gioco sono conservative, come la forza peso e la forza elastica. Però io sto seguendo la teoria ma con la pratica sono un pò più in difficoltà. Se l'energia meccanica si conserva vuole dire che $E = T_1 + U_1 = T_2 + U_2$
Io so che $P = mg(z_2 - z_1)$ e che $f_e = - k(x - l_o) = -k(x)$
Mi date una piccola mano? Nel senso che vorrei capire come si deve ragionare e come si deve interpretare al meglio il testo. Grazie
Risposte
"Emar":
Utilizzando 2kx anzichè 4 viene giusto:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 280%29%3D0
x(0.2) = 0.69
Ma io sono convinto che la forza sia 4k(x-1/2) e non 2kx.
- se la massa è spostata una distanza y, alora la molla è "stretched" 2y
- la forza è applicata 2 volta sulla massa
-> 4k(x-1/2)
Non puoi argomentare che la forza sia 2kx.
Ragazzi , penso proprio che quel termine sia $2kx$
wnvl , perchè moltiplichi per 2 ? I don't agree ! Fatti un diagramma di corpo libero....
Io immagino che tutto il filo sia un elastico , di costante k , che va da un punto di attacco su $m$ all'altro , passando sopra il piolo ...e così facendo , mi viene $2kx$ . Non capisco ,wnvl .
wnvl , perchè moltiplichi per 2 ? I don't agree ! Fatti un diagramma di corpo libero....
Io immagino che tutto il filo sia un elastico , di costante k , che va da un punto di attacco su $m$ all'altro , passando sopra il piolo ...e così facendo , mi viene $2kx$ . Non capisco ,wnvl .
"navigatore":
tutto il filo sia un elastico , di costante k , che va da un punto di attacco su $m$ all'altro...
Ho mal interpretato l'esercizio. Il mio Italiano non è buono e Il disegno di Smaug mi faceva pensare che avevamo una molla + un filo in serie.
Ora puoi argomentare che la valore deve essere 2kx (But there is still room for discussion, it depends on how we should interprete the given value of k. Does the value k correspond to a single rope or a rope folded around the pulley. In the first case we have 4kx in the second case 2kx)
"wnvl":
[quote="navigatore"]
tutto il filo sia un elastico , di costante k , che va da un punto di attacco su $m$ all'altro...
Ho mal interpretato l'esercizio. Il mio Italiano non è buono e Il disegno di Smaug mi faceva pensare che avevamo una molla + un filo in serie.
Ora puoi argomentare che la valore deve essere 2kx (But there is still room for discussion, it depends on how we should interprete the given value of k. Does the value k correspond to a single rope or a rope folded around the pulley. In the first case we have 4kx in the second case 2kx)[/quote]
wnvl , invece ti faccio i complimenti per il tuo Italiano !
The drawing made by Smaug is correct indeed : a rope and a spring on the left side .
But I've imagined that elasticity is distributed all over a single elastic rope, passing on the fixed pin . So I've found $2kx$ for the total of two elastic forces... May be you are right , but I don't understand your point of view ...Excuse me for my bad English !
Traduzione : il disegno fatto da Smaug è corretto : un cavo , e una molla a sinistra.
MA ho immaginato che l'elasticità sia distribuita su un singolo filo elastico , che passa sopra il piolo fisso . Perciò trovo $2kx$ per la somma delle due forze elastiche ...Può darsi che tu abbia ragione , ma non capisco il tuo punto di vista ....e scusami per il cattivo Inglese !
@navigatore
Ho fatto un disegno per i due interpretazioni.
http://www.afbeeldingenuploaden.nl/uploads/193269veer.jpg
A) F=4kx
B) F=2kx
D'accordo?
Ho fatto un disegno per i due interpretazioni.
http://www.afbeeldingenuploaden.nl/uploads/193269veer.jpg
A) F=4kx
B) F=2kx
D'accordo?
No , non sono d'accordo. Non cambia nulla , dal caso A al caso B del tuo disegno , se metti un tratto rigido di cavo tra due molle di uguale $k$ , penso .
Nel disegno originale di Smaug , la molla è tirata ai suoi capi da due forze uguali e contrarie , di valore $T$ .
Il cavo che passa sul piolo non si allunga , ha solo lo scopo di ruotare a 180° la forza $T$ , e applicarla nuovamente su $m$ . Perciò su $m$ agiscono complessivamente 2 forze , dirette verso l'alto ,di valore uguale a $T$ .
Anche se consideri l'elasticità distribuita su "tutto" un elastico dall'attacco di sinistra a quello di destra , non cambia la situazione , penso .
Nel disegno originale di Smaug , la molla è tirata ai suoi capi da due forze uguali e contrarie , di valore $T$ .
Il cavo che passa sul piolo non si allunga , ha solo lo scopo di ruotare a 180° la forza $T$ , e applicarla nuovamente su $m$ . Perciò su $m$ agiscono complessivamente 2 forze , dirette verso l'alto ,di valore uguale a $T$ .
Anche se consideri l'elasticità distribuita su "tutto" un elastico dall'attacco di sinistra a quello di destra , non cambia la situazione , penso .
Mi scusa ma penso che non sia corretto. Ho voluto fare uno sforzo per farti capire il problemà e ho fatto un disegno migliore.
A sinistra abbiamo la constellazione : molla + cavo che non si allunga.
A destra la stessa constellazione dopo un spostamento dx della massa. Il cavo non è allongato e la molla è allongata da 2dx.
Dunque la forza della molla è 2kdx. Questa forza è applicata 2 volte sulla massa, dunque la forza risultante è 4kdx.
Chiaro?
A sinistra abbiamo la constellazione : molla + cavo che non si allunga.
A destra la stessa constellazione dopo un spostamento dx della massa. Il cavo non è allongato e la molla è allongata da 2dx.
Dunque la forza della molla è 2kdx. Questa forza è applicata 2 volte sulla massa, dunque la forza risultante è 4kdx.
Chiaro?
"wnvl":
A destra la stessa constellazione dopo un spostamento dx della massa. Il cavo non è allongato e la molla è allongata da 2dx.
Dunque la forza della molla è 2kdx. Questa forza è applicata 2 volte sulla massa, dunque la forza risultante è 4kdx.
Hai perfettamente ragione! Io sbagliavo !
Quando la massa si abbassa di $dx$ , la molla si allunga sia sopra che sotto di $dx$ , quindi in totale di $2dx$ . Quindi la tensione nella molla è : $ T = 2*k*dx$ . Perciò , le due forze uguali dirette verso l'alto hanno somma : $ 4*k*dx$ .
Penso di aver risolto il problema , così :
1) Equazione differenziale del moto : $ m*\ddot{x} = m*g - 4*k*x $ (1)
da cui : $\ddot{x} + (4k)/m*x = g $ (2)
Si tratta di un moto armonico , di pulsazione :
$\omega^2 = (4k)/m $ , cioè : $ \omega = 2*sqrt(k/m) = 2sqrt(2) s^-1 $
2) Principio di conservazione dell'energia : per uno spostamento finito $\Deltax$ , ( assumo $x=0$ nella posizione iniziale l/2 ) , la diminuzione di energia potenziale è uguale all'aumento della energia cinetica + aumento dell'energia elastica della molla (= lavoro di deformazione ) ; cioè :
$mg*\Deltax = 1/2*m*V^2 + 1/2*k*(2*\Deltax)^2$ (3)
Ora , ci sono due punti in cui l'energia cinetica è nulla : il punto iniziale $x=0$ , e il punto più basso , in cui $m$ si arresta ed inverte il suo moto : detta $A$ l'ampiezza del moto armonico , tale punto corrisponde a : $x = 2A $ Pertanto , in questo punto : $mg*2A = 1/2*k*(4A)^2 $ , da cui si ricava : $ A = (mg)/(4k) = 1.226 m $
Il mot oarmonico si può scrivere : $ x = A* sen(\omega*t ) $ , e per piccoli valori di $ \omega*t $ , si può sostituire il seno con l'argomento ( in radianti , ovvio ) .
Perciò , si ha in definitiva : $x \approx A*\omega*t = 1.226 * 2sqrt2 * 0.2 = 0.6935 m $
Che cosa ve ne pare ? Può andare ?
Due commenti:
1. Il moto armonico si puo scrivere : \(\displaystyle B + A \cdot sen(\omega t + \phi) \)
Ora devi calcolare \(\displaystyle \phi \) e B
Sai che x(0) = 2.5 e \(\displaystyle \dot{x}(0)=0 \)
2. Nel tuo caso \(\displaystyle \omega \cdot t =2\sqrt{2} \cdot0.2 \) non è tanto piccolo che puoi usare la tua semplificazione.
1. Il moto armonico si puo scrivere : \(\displaystyle B + A \cdot sen(\omega t + \phi) \)
Ora devi calcolare \(\displaystyle \phi \) e B
Sai che x(0) = 2.5 e \(\displaystyle \dot{x}(0)=0 \)
2. Nel tuo caso \(\displaystyle \omega \cdot t =2\sqrt{2} \cdot0.2 \) non è tanto piccolo che puoi usare la tua semplificazione.
"wnvl":
Due commenti:
1. Il moto armonico si puo scrivere : \(\displaystyle B + A \cdot sen(\omega t + \phi) \)
Ora devi calcolare \(\displaystyle \phi \) e B
Sai che x(0) = 2.5 e \(\displaystyle \dot{x}(0)=0 \)
2. Nel tuo caso \(\displaystyle \omega \cdot t =2\sqrt{2} \cdot0.2 \) non è tanto piccolo che puoi usare la tua semplificazione.
wnvl , vuoi necessariamente risolvere l'equazione differenziale del moto armonico ? Fallo pure , non te lo impedisco certamente io ! Ma devi risolverla correttamente . Allora devi dire che :
L'eq differenziale ha come soluzione generale la somma di una soluzione particolare e della equazione generale della omogenea associata.....ecc ecc .
Sei d'accordo almeno su questa equazione differenziale ? : $ m*\ddot{x} = m*g - 4*k*x $
E se Smaug non sa risolvere le equazioni differenziali , come fa ? Io me lo sono dimenticato , pensa un pò ...
E poi , ho volutamente usato anche il principio di conservazione dell'energia per venire incontro alle esigenze di Smaug .
Ho approssimato il seno con l'argomento , è vero , ma nessuno ti impedisce di calcolare il seno di $\omega*t$ : viene un pò minore , lo so ....
Il moto è armonico fin dall' istante iniziale, senza smorzamenti , e non capisco che cosa cambi mettere $x(0) = 0 $ oppure $x(0) = 2.5 $ , e che cosa c'entri la fase iniziale $\phi$ ....Però mi sembra che , nel tuo riferimento , dovrebbe essere $x(0) = 0.5 $ , non 2.5 .
Mi sembra che la tua soluzione dell'equaz diff dia un valore nettamente diverso da quello di Smaug .
Ma non vorrei creare un incidente diplomatico tra Italia e Belgio .....Allora spiega , su , e dimmi che cosa ho sbagliato stavolta . Sai , io sono un pò vecchio , e sul rinco....
"navigatore":
Sei d'accordo almeno su questa equazione differenziale ? : $ m*\ddot{x} = m*g - 4*k*x $
Si.
"navigatore":
E se Smaug non sa risolvere le equazioni differenziali , come fa ? Io me lo sono dimenticato , pensa un pò ...
E poi , ho volutamente usato anche il principio di conservazione dell'energia per venire incontro alle esigenze di Smaug .
Domanda mala, esto problemà non si risolve con conservazione dell'energia.
"navigatore":
Ho approssimato il seno con l'argomento , è vero , ma nessuno ti impedisce di calcolare il seno di ω⋅t : viene un pò minore , lo so ....
sen (0,56)=0.53...
Infatti hai ragione, la differenza è piccola.
Ho dato la mia risposta, benché non corrisponde con la soluzione di Smaug penso che sia corretta e ora è tempo di attacare altri problemi...
"wnvl:
........................................
Domanda mala, esto problemà non si risolve con conservazione dell'energia.
.........................................
Ho dato la mia risposta, benché non corrisponde con la soluzione di Smaug penso che sia corretta e ora è tempo di attacare altri problemi...
Sono d'accordo con te , wnvl . La conservazione dell'energia non basta , per risolvere il problema . E ho il dubbio che la soluzione data da smaug : $ x = 0.69 m$ significhi , in realtà : $\Deltax = 0.69m $ , e cioè sia la spazio percorso dalla massa m , dall'istante $t = 0 $ all'istante $ t = 0.2 s $ .
Infatti ,che cosa importa che il filo sia lungo 1 m , 10 m , oppure 10 km ...? Perciò , nel mio tentativo di soluzione , ho preferito mettere l'origine delle $x$ nel punto in cui si trova la massa all'istante $ t = 0 $ , cioè in altri termini : $ x(0) = 0 $ , e naturalmente anche $ v(0) = (dx)/dt (0) = 0 $ . Con queste condizioni iniziali , il moto armonico è molto semplice.
Comunque , smaug verificheà col suo prof la soluzione , e se vuole ce la farà sapere . Può darsi che mi sia sbagliato ....
Sì , è tempo di attaccare altri problemi .
Ciao , wnvl . Sono stato in Belgio varie volte : mi è piaciuto , sol un pò freddino....
Smaug , wnvl , ferma tutto ! E' sbagliato quello che ho scritto ....ho risolto per bene l'eq differenziale del moto , e viene esattamente la soluzione di smaug ! Ecco qui.
Metto il piano di riferimento $x=0$ a $0.5 m $ sotto il piolo , cioè nel punto in cui si trova la massa $m$ al momento in cui viene lasciata , all'istante $t=0 $ , con velocità $ \dot{x} = 0 $ .
L'equazione differnziale del moto è , come detto : $ \ddot{x} = g - (4k)/m*x $ , e cioè : $ \ddot{x} + (4k)/m*x = g$ (1)
L'eq diff omogenea associata è : $ \ddot{x} + (4k)/m*x = 0 $ , che ponendo $ \omega^2 = (4k)/m $ si scrive anche :
$ \ddot{x} + \omega^2*x = 0 $ (2)
L'integrale generale della (1) è somma dell'integrale generale della omogenea associata (2) e di una soluzione particolare della (1) stessa . Determino prima la soluzione generale della (2) , che ha la forma :
$x= A cos(\omegat) + B sen (\omegat) $ , dove A e B sono costanti che si determinano dalle condizioni iniziali , come vedremo .
Un integrale particolare della (1) è dato da : $ x = (mg)/(4k) $ , come si vede per sostituzione diretta .
Quindi l'integrale generale della (1) è dato da : $ x= A cos(\omegat) + B sen (\omegat) + (mg)/(4k) $ (3)
Date le condizioni iniziali : $ x = 0$ e $\dot{x} = 0$ per $t = 0 $ , si ricavano i seguenti valori delle costanti :
$ A = - (mg)/(4k) ; B = 0 $ ( come si verifica direttamente ponendo $t = 0 $ nella (1) e nella sua derivata , che esprime la velocità $\dot{x} $ )
Pertanto , l'integrale generale della (1) , con le condizioni iniziali dette , è : $ x = (mg)/(4k)*(1-cos(\omegat)) $ (4)
Essendo $\omega = 2sqrt2 s^-1 $ , si ricavano dalla (4) tutte le informazioni che si vogliono sul moto .
Dopo $ t = 0.2 s $ , s iricava che : $ x = 1.22625 * ( 1- cos(2*sqrt2*0.2) = 0.191 m $
E cioè , sommando i $0.50 m $ di distanza tra il piolo e il piano di riferimento assunto , si ha che dopo $0.2s$ la distanza della massa dal piolo è : $ (0.50 + 0.19)m = 0.69 m $ , proprio come dice il problema !
Scusa , smaug , se ti ho forse indotto in errore ....ma andava impostata e risolta correttamente l'eq differenziale del moto , come dice l'amico belga .
Metto il piano di riferimento $x=0$ a $0.5 m $ sotto il piolo , cioè nel punto in cui si trova la massa $m$ al momento in cui viene lasciata , all'istante $t=0 $ , con velocità $ \dot{x} = 0 $ .
L'equazione differnziale del moto è , come detto : $ \ddot{x} = g - (4k)/m*x $ , e cioè : $ \ddot{x} + (4k)/m*x = g$ (1)
L'eq diff omogenea associata è : $ \ddot{x} + (4k)/m*x = 0 $ , che ponendo $ \omega^2 = (4k)/m $ si scrive anche :
$ \ddot{x} + \omega^2*x = 0 $ (2)
L'integrale generale della (1) è somma dell'integrale generale della omogenea associata (2) e di una soluzione particolare della (1) stessa . Determino prima la soluzione generale della (2) , che ha la forma :
$x= A cos(\omegat) + B sen (\omegat) $ , dove A e B sono costanti che si determinano dalle condizioni iniziali , come vedremo .
Un integrale particolare della (1) è dato da : $ x = (mg)/(4k) $ , come si vede per sostituzione diretta .
Quindi l'integrale generale della (1) è dato da : $ x= A cos(\omegat) + B sen (\omegat) + (mg)/(4k) $ (3)
Date le condizioni iniziali : $ x = 0$ e $\dot{x} = 0$ per $t = 0 $ , si ricavano i seguenti valori delle costanti :
$ A = - (mg)/(4k) ; B = 0 $ ( come si verifica direttamente ponendo $t = 0 $ nella (1) e nella sua derivata , che esprime la velocità $\dot{x} $ )
Pertanto , l'integrale generale della (1) , con le condizioni iniziali dette , è : $ x = (mg)/(4k)*(1-cos(\omegat)) $ (4)
Essendo $\omega = 2sqrt2 s^-1 $ , si ricavano dalla (4) tutte le informazioni che si vogliono sul moto .
Dopo $ t = 0.2 s $ , s iricava che : $ x = 1.22625 * ( 1- cos(2*sqrt2*0.2) = 0.191 m $
E cioè , sommando i $0.50 m $ di distanza tra il piolo e il piano di riferimento assunto , si ha che dopo $0.2s$ la distanza della massa dal piolo è : $ (0.50 + 0.19)m = 0.69 m $ , proprio come dice il problema !
Scusa , smaug , se ti ho forse indotto in errore ....ma andava impostata e risolta correttamente l'eq differenziale del moto , come dice l'amico belga .
"navigatore":
Ciao , wnvl . Sono stato in Belgio varie volte : mi è piaciuto , sol un pò freddino....
[off topic] Sono di Anversa (Antwerpen in lingua olandese) nella regione delle Fiandre. Oggi faceva veramente molto freddo qui.
Io sono stato solamento 2 volte in Italia. Infatti ho solamento attraversato la confine . Una volta a Tirano con il treno quando stavo in Pontresina (Svizerra) e una volta ho fatto la salita al Colle dell'Agnello con la bicci (la confine è sulla vetta). [/off topic]
"navigatore":
Scusa , smaug , se ti ho forse indotto in errore ....ma andava impostata e risolta correttamente l'eq differenziale del moto , come dice l'amico belga .
Bene!!! Infatti è la stessa soluzione che la mia soluzione ma io ho fatto un errore stupido. Il 20 (quarta linea nel testo nascosto) deve essere 10!!!
Mi scusa.
smaug ,
ti ho fatto pure il disegno ... che vuoi di più dalla vita ? Un lucano ?
Ti puoi diverire ora con la conservazione dell'energia , poichè le considerazioni fatte da me in precedenza sull'energia sono tuttora valide ....
Smaug , salutami il tuo professore....
ti ho fatto pure il disegno ... che vuoi di più dalla vita ? Un lucano ?
Ti puoi diverire ora con la conservazione dell'energia , poichè le considerazioni fatte da me in precedenza sull'energia sono tuttora valide ....
Smaug , salutami il tuo professore....
ragazzi siete fantastici!!! vi adoro!!! 
Grazie mille
Grazie mille
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo