Dinamica del punto materiale

[feddy]

Testo:

Un corpo puntiforme di massa m = 2 kg pende verticalmente dal soffitto di una stanza essendo ancorato all’estremità di una molla di costante elastica $k = 98 N/m$ e lunghezza a riposo $l_0 = 0.8 m$, disposta verticalmente e avente l’estremità superiore vincolata ad un punto fisso O del soffitto stesso.

Inizialmente il corpo si trova in equilibrio statico a una distanza $h_0 = 0.6 m$ dal punto $O$ mediante un filo inestensibile e privo di massa che pende esso stesso dal punto O.
All’istante t = 0 il filo si spezza e il corpo inizia a muoversi di moto oscillatorio. Calcolare nel sistema di riferimento Oz, con l’asse z orientato verso il basso:

a) la tensione T del filo per t<0
b)l’equazione del moto del corpo per t > 0
c)la posizione di equilibrio del corpo per t > 0;
d)la legge oraria del moto oscillatorio per t>0, in relazione alle condizioni iniziali di moto all’istante t = 0
e)la velocità v del corpo quando passa per la seconda volta dalla sua posizione di equilibrio
f) la reazione $R_O(t)$ esercitata dal vincolo in O durante il moto del corpo



SOL.:

La molla è compressa poiché la posizione $h_o a)
per t<0 il corpo è in quiete e su di esso agiscono: $ vecP+vecF_(el) + vecT=vec0 $
$ mg - kDeltax- T=0 $
$ T= mg - k(h_0 - l_0) = 19.62 - 98(0.6-0.8) =19.62 + 19.6 = 39.22 N $.

b)
t=0.
la tensione del filo sparisce, il sistema accelera e sul corpo agiscono $mveca=mg - kDeltax$.

c)
considero $Deltax= x(t) - l_0$.

Pongo $w=sqrt(k/m)=7$
L'equazione del moto diventa: $ddotx + w^{2}x= g + w^{2}l_0$

la soluzione dell'omogenea è quella nota $x(t) = Asen(wt + phi)$.
Trovo una soluzione particolare: $x_eq= (mg)/k + l_0 = 1 m$.
$x_eq$ è la posizione di equilibrio, e si ottiene annullando $ddotx$. E' corretto ?

d)
per determinare la legge oraria devo determinare le costanti $A$ e $phi$.
all'istante $t=0$ , il corpo occupa la posizione $h_0$.
$x(0) = Asen(phi) + (mg)/k + l_0 =h_0$
$dotx(0) = Awcos(phi)=0$, da cui $phi = pi/2$ o $3pi/2$.

$phi = 3pi/2$

$A=(mg)/k + l_0 - h_0$.

Sostituendo nella legge oraria e tenendo conto che $sen(wt + 3pi/2) = -cos(wt)$:

$x(t)=-((mg)/k + l_0 - h_0)cos(wt) + (mg)/k + l_0$


e)

Innanzitutto mi ricavo l'espressione della velocità: $v(t) = (=(mg)/k + l_0 - h_0)wsen(wt)$.

Devo trovare l'istante t in cui ripassa per la seconda volta.

Impongo $x(t) = x_eq$
$-((mg)/k + l_0 - h_0)cos(wt) + (mg)/k + l_0 = (mg)/k + l_0 $
da cui ottengo $cos(wt)=0$
Risolvendo per t: $wt = pi/2 + kpi ,k inmathbb(Z) $

Ora ho pensato: passa la seconda volta per $k=1$, da cui $wt = 3pi/2$, ora $t= (3pi)/(2w)$
$t_2=0.67 s $.

Inserendolo in v(t).
$v(t_2) = 0.4*7*sen(0.67*7) = 0.23 m/s$

f)
La reazione varia nel tempo.
Su $O$ agisce: $vecF_el + vecR_o = 0$
$R_o(t) = kDeltax= k(x(t) - l_o)$.


E' corretto ? Mi interessa soprattutto il punto d), e), almeno sapere se sono impostati giusti, aldilà dei valori numerici

[donald_zeka]

Per prima cosa, dato che nell'esercizio dice di usare l'asse z allora usiamo l'asse z invece dell'asse x, dato che nell'immagine non è presente alcun asse x, indicando la posizione come x un lettore esterno potrebbe confondersi.

a) Mi sembra giusto

b) il punto b chiede l'equazione del moto, dove per equazione si intende l'equazione differenziale che determina il moto. Sul corpo, dopo che il filo si spezza, agisce la forza peso e la forza elastica, si ha che l'equazione del moto è:

$mddot(z)=mg-k(z-l_0)$

c) Il punto c chiede la posizione di equilibrio dl corpo, che si ottiene quando la somma delle forze è nulla e quindi l'accelerazione del corpo è nulla. Imponendo nell'equazione del moto che sia $ddot(z)=0$ si ottiene il risultato cercato.

d) La legge oraria del moto deve soddisfare l'equazione del moto $mddot(z)=mg-k(z-l_0)$ e le condizioni iniziali $z(0)=h_0$ e $dot(z)(0)=0$.

L'equazione del moto la possiamo scrivere come

$ddot(z)=g-omega^2(z-l_0)$

E quindi, mettendo in evidenza forzata un $omega^2$ si ha:

$ddot(z)=-omega^2(z-l_0-g/omega^2)$

Ponendo $z-l_0-g/omega^2=y$, risulta $ddot(y)=ddot(z)$ e quindi l'equazione del moto si riduce a :

$ddot(y)=-omega^2y$

La cui soluzione generale è:

$y(t)=Asinomegat+Bcosomegat$

Quindi $y(0)=z(0)-l_0-g/omega^2=h_0-l_0-g/omega^2$ e quindi:

$B=h_0-l_0-g/omega^2$

Inoltre si trova facilmente che $A=0$ e quindi l'equazione del moto è:

$y=(h_0-l_0-g/omega^2)cosomegat$

e sotituendo $y=z-l_0-g/omega^2$ si ha:

$z(t)=(h_0-l_0-g/omega^2)cosomegat+l_0+g/omega^2$

Chiaramente le soluzioni generali dell'equzioni del moto date da z=Asinomegat+Bcosomegat e da $z=Asin(omegat+phi)$ sono del tutto equivalenti, ovviamente la $A$ presente nei due casi è diversa, ma di solito è preferibile usare la forma che ho usato io perché risulta più conveniente con i calcoli.

e) Per trovare gli istanti in cui il corpo passa per la posizione di equilibrio si risolve l'equazione $z_(eq)=z(t)$ e quindi si sostituiscono nell'equazione della velocità $dot(z)(t)$.

f) il punto f mi pare corretto.

[feddy]

grazie mille Vulplasir

La tua soluzione è uguale alla mia, se non nella risoluzione dell'equazione differenziale dove usi seno e coseno.
l'integrale generale è inoltre lo stesso dal momento che $w=sqrt(k/m)$

grazie mille !