Dinamica del corpo rigido II
Questo è l'esercizio
Un pendolo fisico e costituito da un disco omogeneo di massa M = 0.67 kg e raggio R = 15
cm, appeso a un chiodo che dista d = 10.2 cm dal centro del disco. Se il disco viene spostato di
un piccolo angolo rispetto alla posizione di equilibrio, trovare la pulsazione e il periodo del moto
armonico risultante (il momento d’inerzia del disco rispetto al suo centro vale 1/2 M(R^2).
Allora per l'equazione del moto del corpo rigido
$I$=momento di inerzia
$I*alpha=M$
$M=F*b=-m*g*d*senvartheta$ e $alpha=(d^2vartheta)/(dt^2)$
Quindi
$-m*g*d*senvartheta=I*(d^2vartheta)/(dt^2)$
Per il teorema di huygens
$I=I_G+m*d^2=1/2*m*R^2+m*d^2=m*(R^2/2+d^2)$
ora avrei quindi
$m*(R^2/2+d^2)*(d^2vartheta)/(dt^2)=m*g*d*senvartheta$ semplifico le masse ( Se fino ad ora non ho sbagliato la massa è un dato inutile) ora so che $(d^2vartheta)/(dt^2)=(domega)/(dt)$
E qui mi sono fermato perchè se non erro dovrei fare la funzione inversa della derivata per trovare omega solo che io gli integrali non li ho ancora fatti, posso proseguire in altro modo?
Un pendolo fisico e costituito da un disco omogeneo di massa M = 0.67 kg e raggio R = 15
cm, appeso a un chiodo che dista d = 10.2 cm dal centro del disco. Se il disco viene spostato di
un piccolo angolo rispetto alla posizione di equilibrio, trovare la pulsazione e il periodo del moto
armonico risultante (il momento d’inerzia del disco rispetto al suo centro vale 1/2 M(R^2).
Allora per l'equazione del moto del corpo rigido
$I$=momento di inerzia
$I*alpha=M$
$M=F*b=-m*g*d*senvartheta$ e $alpha=(d^2vartheta)/(dt^2)$
Quindi
$-m*g*d*senvartheta=I*(d^2vartheta)/(dt^2)$
Per il teorema di huygens
$I=I_G+m*d^2=1/2*m*R^2+m*d^2=m*(R^2/2+d^2)$
ora avrei quindi
$m*(R^2/2+d^2)*(d^2vartheta)/(dt^2)=m*g*d*senvartheta$ semplifico le masse ( Se fino ad ora non ho sbagliato la massa è un dato inutile) ora so che $(d^2vartheta)/(dt^2)=(domega)/(dt)$
E qui mi sono fermato perchè se non erro dovrei fare la funzione inversa della derivata per trovare omega solo che io gli integrali non li ho ancora fatti, posso proseguire in altro modo?
Risposte
"ezio1400":
……...
Quindi
$-m*g*d*senvartheta=I*(d^2vartheta)/(dt^2)$
………..
E qui mi sono fermato perchè se non erro dovrei fare la funzione inversa della derivata per trovare omega solo che io gli integrali non li ho ancora fatti, posso proseguire in altro modo?
Da questa espressione :
$-m*g*d*senvartheta=I*(d^2vartheta)/(dt^2)$
ricavi che :
$I*(d^2vartheta)/(dt^2) + m*g*d*senvartheta= 0 $
Se le oscillazioni sono piccole , sviluppando in serie di Taylor il $sen\theta$ e fermandosi al primo termine $\theta$ , ottieni :
$(d^2vartheta)/(dt^2) + (m*g*d)/I*vartheta= 0 $
che è uguale all'equazione differenziale del moto del pendolo semplice :
https://www.matematicamente.it/fisica/Pendolo_Kater.pdf
certo che se non ti hanno spiegato come risolvere quella eq. differenziale è difficile arrivare al risultato.
Non mi è chiaro come possa $omega$ essere $=sqrt(g/l)$ (con $l=d$ in questo esercizio se non erro) . Inoltre $I$ lo devo calcolare con il teorema di huygens dovendo fare il momento di inerzia rispetto ad un'asse parallelo a quello passante per il centro di massa quindi sarebbe $I=m/2r^2+m*(d*vartheta)^2$?
In questo esercizio, cioè nel pendolo composto, si ha :
$\omega^2 = (mgd)/I $
quindi il pendolo composto si comporta, per quanto riguarda le "piccole oscillazioni" , come un pendolo semplice di lunghezza :
$l = I/(md)$
che si chiama "lunghezza ridotta" del pendolo composto. Perciò non è corretto che : $d = l$ .
Per capire il perché di quanto sopra, devi aver chiara la teoria del pendolo semplice. Sulla dispensa che ti ho allegato è spiegata. L'equazione differenziale del 2° ordine da risolvere, per il pendolo semplice, è la seguente :
$ddot\theta + \omega^2\theta = 0 $
in cui : $\omega = sqrt(g/l)$
Se non sai come si risolve l' equazione differenziale,che poi è quella del moto armonico, puoi fare una verifica : prendi l'espressione indicata nella dispensa per l'angolo : $\theta = \theta_M*cos( \omegat + \theta') $ , derivala due volte rispetto al tempo, e sostituisci nell'equazione differenziale, che risulterà soddisfatta.
Per l'altra domanda, il momento di inerzia è quello rispetto all'asse di sospensione, quindi trattandosi di un disco di massa $m$ e raggio $r$ si ha : $I = 1/2mr^2 + md^2$ .
$\omega^2 = (mgd)/I $
quindi il pendolo composto si comporta, per quanto riguarda le "piccole oscillazioni" , come un pendolo semplice di lunghezza :
$l = I/(md)$
che si chiama "lunghezza ridotta" del pendolo composto. Perciò non è corretto che : $d = l$ .
Per capire il perché di quanto sopra, devi aver chiara la teoria del pendolo semplice. Sulla dispensa che ti ho allegato è spiegata. L'equazione differenziale del 2° ordine da risolvere, per il pendolo semplice, è la seguente :
$ddot\theta + \omega^2\theta = 0 $
in cui : $\omega = sqrt(g/l)$
Se non sai come si risolve l' equazione differenziale,che poi è quella del moto armonico, puoi fare una verifica : prendi l'espressione indicata nella dispensa per l'angolo : $\theta = \theta_M*cos( \omegat + \theta') $ , derivala due volte rispetto al tempo, e sostituisci nell'equazione differenziale, che risulterà soddisfatta.
Per l'altra domanda, il momento di inerzia è quello rispetto all'asse di sospensione, quindi trattandosi di un disco di massa $m$ e raggio $r$ si ha : $I = 1/2mr^2 + md^2$ .
Nell'allegato che hai linkato non capisco come
$M=omega*I$(fin qui ci siamo)$=m*l^2vartheta$??
e quando fa la considerazione di $omega=sqrt(g/l)$ da dove viene?
Inoltre sapendo che $M=omega*I$ e $M=-g*m*d*vartheta$ non posso ricavarmi $omega$ facendo $omega=(-g*m*d*vartheta)/I$ che è più intuitivo?
$M=omega*I$(fin qui ci siamo)$=m*l^2vartheta$??
e quando fa la considerazione di $omega=sqrt(g/l)$ da dove viene?
Inoltre sapendo che $M=omega*I$ e $M=-g*m*d*vartheta$ non posso ricavarmi $omega$ facendo $omega=(-g*m*d*vartheta)/I$ che è più intuitivo?
Sei arrivato alla seguente equazione, per il pendolo semplice ?
$ml^2ddot\theta = -mglsen\theta$
Per piccole oscillazioni, sviluppa in serie di Taylor il $sen\theta$ e fermati al primo termine : $sen\theta = \theta + …..$ .
In altri termini, sostituisci nell'equazione detta l'angolo $\theta$ a $sen\theta$ . Perciò :
$ml^2ddot\theta + mgl\theta = 0 $
semplifica $ml$ , e ottieni : $ lddot\theta + g\theta = 0 $ , da cui : $ ddot\theta + g/l*\theta = 0 $.
Pe risolvere questa equazione differenziale , si pone : $\omega^2 = g/l$ .
Se non sai come si risolve, ripeto, fa' una verifica come il gambero. Parti dalla espressione data per $\theta = \theta(t)$ , deriva due volte, e sostituisci : vedrai che l'equazione differenziale è soddisfatta.
Quella che hai scritto alla fine è ancora una equazione differenziale : $dot\theta = - (mgd)/I\theta$ , quindi non hai risolto ancora il problema di trovare $\theta$ in funzione del tempo.
$ml^2ddot\theta = -mglsen\theta$
Per piccole oscillazioni, sviluppa in serie di Taylor il $sen\theta$ e fermati al primo termine : $sen\theta = \theta + …..$ .
In altri termini, sostituisci nell'equazione detta l'angolo $\theta$ a $sen\theta$ . Perciò :
$ml^2ddot\theta + mgl\theta = 0 $
semplifica $ml$ , e ottieni : $ lddot\theta + g\theta = 0 $ , da cui : $ ddot\theta + g/l*\theta = 0 $.
Pe risolvere questa equazione differenziale , si pone : $\omega^2 = g/l$ .
Se non sai come si risolve, ripeto, fa' una verifica come il gambero. Parti dalla espressione data per $\theta = \theta(t)$ , deriva due volte, e sostituisci : vedrai che l'equazione differenziale è soddisfatta.
Quella che hai scritto alla fine è ancora una equazione differenziale : $dot\theta = - (mgd)/I\theta$ , quindi non hai risolto ancora il problema di trovare $\theta$ in funzione del tempo.
"navigatore":
Sei arrivato alla seguente equazione, per il pendolo semplice ?
$ml^2ddot\theta = -mglsen\theta$
NO. Sul il file del pendolo semplice c'è scritto"Dato che $M=I*omega=m*l^2*vartheta$ e non mi quadra $I*omega=m*l^2*vartheta$!!! So che $I=m*l^2$ quindi dovrebbe uscire $M=I*omega=m*l^2*omega$
Guarda bene, su $\omega$ c'è un punto , il che significa "derivata prima di $\omega$ rispetto al tempo" , cioè "accelerazione angolare : $dot\omega = (d\omega)/(dt) = \alpha $ .
Su $\theta$ ci sono due punti, il che significa "derivata seconda di $\theta$ rispetto al tempo : $ddot\theta = (d^2\theta)/(dt^2) = (d\omega)/(dt) = \alpha$ .
L'uso dei punti per indicare la derivata rispetto al tempo è normale in meccanica.
Su $\theta$ ci sono due punti, il che significa "derivata seconda di $\theta$ rispetto al tempo : $ddot\theta = (d^2\theta)/(dt^2) = (d\omega)/(dt) = \alpha$ .
L'uso dei punti per indicare la derivata rispetto al tempo è normale in meccanica.
Ah ok non avevo mai visto quella convenzione, ti ringrazio per l'aiuto!
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