Dinamica del corpo rigido

[ezio1400]

Questo è l'esercizio:

Un'asta di massa trascurabile e lunghezza L reca agli estremi due sferette di massa, rispettivamente ,m1 e m2, ed è posta in rotazione in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per un punto a distanza x da m1 con velocità angolare $ omega $ .
Determinare
a) il momento d'inerzia in funzione di x
b) la posizione del centro di massa Xcm
dimostrache che:
c) il momento d'inerzia è minimo quando x=Xcm
d) l'energia cinetica minima quando x=Xcm

Allora per il punto a non ho avuto problemi.
Per definizione di momento di inerzia mi sono calcolato infatti $ I= m1*x^2+m2*(L-x)^2=(m1+m2)*x^2-2L*x*m2+m2*L^2 $
Per il punto b invece so che per definizione $ Xcm=(sum_(i = \ldots) mi*x i) /( Mt ot) $ solo che al posto di xi non saprei cosa mettere.
Per quanto riguarda il punto c non ne ho idea mentre il punto d è una conseguenza del punto c in quanto l'energia cinetica è direttamente proporzionale al momento di inerzia quindi dimostrando che il momento d'inerzia è minimo in X=Xcm dimostro anche il punto d.

[Sk_Anonymous]

Senza che te ne sia accorto, hai già assunto l'origine delle coordinate nel punto in cui si trova $m_1$, e l'asse $x$ orientato verso destra (supponiamo) , come l'asta di lunghezza $L$ , al cui secondo estremo si trova la massa $m_2$ .

Quindi, l'ascissa di $m_1$ è $x_1 = 0 $ , l'ascissa di $m_2$ è $x_2 = L $ .

Nel quesito 1 , l'asse di rotazione si trova a distanza $x$ dall'origine, e quindi hai calcolato il momento di inerzia rispetto a tale asse.
Pe r trovare le coordinate del CM , basta fare : $x_(CM) = (m_1*x_1 +m_2*x_2)/(m_1+m_2) = m_2/(m_1+m_2) * L $

Adesso, si tratta di dimostrare che quando l'asse di rotazione passa per il CM il momento di inerzia è minimo : prova a sostituire al posto di $x$ prima determinato l'ascissa del CM, e vedi che succede.

[ezio1400]

sostituendo $Xcm$ ad $x$ ottengo :

$I=(m_2*m_1*L^2)/(m_1+m_2)$

Ora che considerazione dovrei fare?

[Sk_Anonymous]

Fa' un'altra cosa invece.
Poiché $I = (m_1 + m_2)x^2 -2Lm_2x +m_2L$ , e cioè è una funzione di $x$ , trova per quale valore di $x$ questo valore è minimo. Basta che derivi l'espressione rispetto a $x$ e uguagli la derivata a zero.

[ezio1400]

Ora ho capito, ho fatto proprio stamattina in analisi i punti di massimo e minimo di una funzione. Se non era possibile risolverlo in altro modo mi chiedo come possa risolvere questo tipo di problemi senza la matematica. Capisco poi perchè non riesco a risolvere alcuni esercizi. Comunque grazie mille!