Dinamica dei punti materiali
http://imageshack.us/photo/my-images/69 ... nexyd.png/
In un sistema come quello in figura, è possibile che quella massettina piccola riesca a sollevare la massa grande? Fortemente ne dubito. Comunque si ha che $M_1=M_2/2$. Devo trovare il theta necessario affinchè, quando lascio cadere la pallina, riesca a sollevare M_2. Pensavo di fare così: la tensione del filo deve avere come componente verticale il peso M1, perchè possa equilibrarne il peso. La tensione del filo si trasmette lungo la corda, e ovviamente deve anche riuscire ad annullare il peso di M2. Pensavo a una cosa del genere
$ M_1 g\sec\theta =M_2 g$
da cui otterrei $\cos \theta=1/2\Rightarrow \theta=\pi/3$.
Ma questo ragionamento mi crea diverse perplessità che vorrei soddisfare
1). con questo ragionamento prendendo theta piccolo dovrei riuscire a sollevare diverse tonnellate...
2) vorrei trovarmi la forza che si esercita sui chiodi. E' possibile? Stavo pensando al fatto che M1 si muove di moto rotatorio attorno a quel chiodo, quindi agisce una forza centrifuga, che ne pensate?
In un sistema come quello in figura, è possibile che quella massettina piccola riesca a sollevare la massa grande? Fortemente ne dubito. Comunque si ha che $M_1=M_2/2$. Devo trovare il theta necessario affinchè, quando lascio cadere la pallina, riesca a sollevare M_2. Pensavo di fare così: la tensione del filo deve avere come componente verticale il peso M1, perchè possa equilibrarne il peso. La tensione del filo si trasmette lungo la corda, e ovviamente deve anche riuscire ad annullare il peso di M2. Pensavo a una cosa del genere
$ M_1 g\sec\theta =M_2 g$
da cui otterrei $\cos \theta=1/2\Rightarrow \theta=\pi/3$.
Ma questo ragionamento mi crea diverse perplessità che vorrei soddisfare
1). con questo ragionamento prendendo theta piccolo dovrei riuscire a sollevare diverse tonnellate...
2) vorrei trovarmi la forza che si esercita sui chiodi. E' possibile? Stavo pensando al fatto che M1 si muove di moto rotatorio attorno a quel chiodo, quindi agisce una forza centrifuga, che ne pensate?
Risposte
come dici tu la tensione si trasmette quindi è necessario che la T sia $>=M*G$
la T si ricava facilmente essere $T=m(v_0^2/L-2*g+3gcosalpha)$ con $v_0$ velocità nel punto più basso dove la tensione assume il valore massimo. quindi hai la seguente disequazione da risolvere $T=m(v_0^2/L-2*g+3gcosalpha)>=Mg$
la T si ricava facilmente essere $T=m(v_0^2/L-2*g+3gcosalpha)$ con $v_0$ velocità nel punto più basso dove la tensione assume il valore massimo. quindi hai la seguente disequazione da risolvere $T=m(v_0^2/L-2*g+3gcosalpha)>=Mg$
come ha trovato T? Usando la II eq. della dinamica?
non ho capito il disegno ..
Praticamente è m2 poggiato sul tavolo, collegato con una corda con m1 in quel modo lì tramite una corda appesa in quel modo...ma veramente continuo a non crederci che m1, che è la metà di m2, riesca anche oscillando a smuoverlo...paradossalmente durante la rotazione la tensione massima della corda si trova quando essa passa per la verticale...in che modo il fatto che il pezzo di corda con appeso m1 ruoti aumenta la tensione della corda fino ad "eguagliare" i due pesi?
Volevo condividere con voi un ragionamento (se necessario posto disegno). Chiamo T1 la tensione della fune nel punto di giunzione con M1, e T2 la tensione della fune nel punto di giunzione con M2. Potrei scrivere...
(
(1)$M_1 g-T_1\cos\theta=0$ (sistema M1+ corda)
(2)$M_2 g - T_2=0$ (sistema M2+corda)
mancherebbe una terza equazione e il fritto misto è pronto...che ne pensate, vi sembra giusto? (Non ho idea di dove prendere la 3! Le incognite sono T1, T2, theta). Se si potesse dire che T_1=T_2, il sistema sarebbe già risolto...ma il dubbio me lo fanno venire quei due chiodini, quei due punti di sostegno...che magari modificano la tensione...
(
(1)$M_1 g-T_1\cos\theta=0$ (sistema M1+ corda)
(2)$M_2 g - T_2=0$ (sistema M2+corda)
mancherebbe una terza equazione e il fritto misto è pronto...che ne pensate, vi sembra giusto? (Non ho idea di dove prendere la 3! Le incognite sono T1, T2, theta). Se si potesse dire che T_1=T_2, il sistema sarebbe già risolto...ma il dubbio me lo fanno venire quei due chiodini, quei due punti di sostegno...che magari modificano la tensione...
a me verrebbe da scrivere
$m_1 g cos theta + m_1 dot(theta)^2 r = T_1$
$m_2 g - T_2=0$
perche si muova
$T_1>T_2$
$m_1 g cos theta + m_1 dot(theta)^2 r = T_1$
$m_2 g - T_2=0$
perche si muova
$T_1>T_2$
Collega la rotazione attorno al perno non influisce sulla tensione mi sa...quelle che contano sono le forze verticali, l'orizzontale m1g sin theta magari è equilibrata dalla tensione T3 tra i due perni (tratto di corda orizzontale tra i due chiodi). Sbaglio? Non ho ben capito cosa intendi con quel $m_1\theta^(' ')r$...ps, non abbiamo r nel testo del problema...
Il problema è molto più semplice, non occorre scrivere le equazioni di Newton per le due masse. Visto che la massa grande è poggiata sul tavolo questa si muoverà e solleverà solo quando la tensione della corda ad essa collegata sarà più grande del peso $M_2* g$.
La tensione della corda è la stessa tra le masse $M_1$ e $M_2$ visto che si assume che negli snodi non si abbia attrito e che la corda abbia massa trascurabile rispetto alle masse.
Il problema quindi si riconduce a chiedersi quanto vale la tensione massima della corda di un pendolo (costituito dalla massa $M_1$).
Questa è massima nel punto più basso e può essere determinata facilmente, lì infatti la velocità del pendolo è massima e non c'è accelerazione tangenziale per cui basta scrivere che la tensione più il peso della massa dia la forza centripeta che fornisce l'accelerazione centripeta al pendolo. Quindi l'equazione di Newton in direzione radiale nel punto più basso della massa sarà:
$M_1 v^2 / L = T-M_1*g$
dove $L$ è la lunghezza della corda tra il primo perno e la massa $M_1$, e $v$ è la velocità della $M_1$ nel punto più basso..
Basta a questo punto imporre $T=M_2*g$ e ricordare che la velocità nel punto più basso di $M_1$ si può trovare con la conservazione dell'energia, visto che la tensione della fune non compie lavoro per cui
$v=sqrt(2*g*L(1-cos theta))$
Basta sostituire tutto e si ha la risposta al quesito in termini di angolo $theta$.
La tensione della corda è la stessa tra le masse $M_1$ e $M_2$ visto che si assume che negli snodi non si abbia attrito e che la corda abbia massa trascurabile rispetto alle masse.
Il problema quindi si riconduce a chiedersi quanto vale la tensione massima della corda di un pendolo (costituito dalla massa $M_1$).
Questa è massima nel punto più basso e può essere determinata facilmente, lì infatti la velocità del pendolo è massima e non c'è accelerazione tangenziale per cui basta scrivere che la tensione più il peso della massa dia la forza centripeta che fornisce l'accelerazione centripeta al pendolo. Quindi l'equazione di Newton in direzione radiale nel punto più basso della massa sarà:
$M_1 v^2 / L = T-M_1*g$
dove $L$ è la lunghezza della corda tra il primo perno e la massa $M_1$, e $v$ è la velocità della $M_1$ nel punto più basso..
Basta a questo punto imporre $T=M_2*g$ e ricordare che la velocità nel punto più basso di $M_1$ si può trovare con la conservazione dell'energia, visto che la tensione della fune non compie lavoro per cui
$v=sqrt(2*g*L(1-cos theta))$
Basta sostituire tutto e si ha la risposta al quesito in termini di angolo $theta$.
Condividevo l'opinione di Faussone, anch'io avrei svolto così...
Svolgendo i calcoli però, qualcosa non mi tornava.
vx=rad(19,6*L-19,6*L*cosθ)
m1*(19,6-19,6*cosθ)+m1*9,8*cosθ=2*m1*9,8 cosθ=0 θ=kπ/2
E quindi ho capito che l'errore sta nel metodo di individuazione della velocità.
Faussone ha trovato la sua formula partendo da (se ho ben capito) 1/2*m*vx^2=mgl-mglcosθ
Tuttavia così si calcola la velocità raggiunta nel punto x derivato da cosθ (cioè a che angolo, lasciando il corpo dall'altezza pari alla lunghezza del filo, il corpo raggiungerà velocità tale da muovere m2) mentre a noi serve la velocità finale necessaria a muovere m2 PARTENDO da un angolo incognito θ.
Dunque la formula diventa 1/2*m1*vx^2=m1glcosθ
Secondo me è così.
Risulta cosθ+cosθ/2=1 cosθ(1+1/2)=1 cosθ(3/2)=1 cosθ=2/3 θ circa 48 gradi se non sbaglio
Ciao!
Svolgendo i calcoli però, qualcosa non mi tornava.
vx=rad(19,6*L-19,6*L*cosθ)
m1*(19,6-19,6*cosθ)+m1*9,8*cosθ=2*m1*9,8 cosθ=0 θ=kπ/2
E quindi ho capito che l'errore sta nel metodo di individuazione della velocità.
Faussone ha trovato la sua formula partendo da (se ho ben capito) 1/2*m*vx^2=mgl-mglcosθ
Tuttavia così si calcola la velocità raggiunta nel punto x derivato da cosθ (cioè a che angolo, lasciando il corpo dall'altezza pari alla lunghezza del filo, il corpo raggiungerà velocità tale da muovere m2) mentre a noi serve la velocità finale necessaria a muovere m2 PARTENDO da un angolo incognito θ.
Dunque la formula diventa 1/2*m1*vx^2=m1glcosθ
Secondo me è così.
Risulta cosθ+cosθ/2=1 cosθ(1+1/2)=1 cosθ(3/2)=1 cosθ=2/3 θ circa 48 gradi se non sbaglio
Ciao!
cmq a livello prettamente intuitivo non mi capacito ancora di come con una massa piccola riesca a sollevare una massa grande, a meno che non ci sia una leva, che io però non vedo....ma ditemi una cosa, alla fine L si elimina? Perche il testo non lo da...
@Nicola91
Non ho capito molto che intendi, né come hai interpretato il problema. Impara a scrivere le formule (seguendo la guida che trovi nel link in alto nella finestra da dove scrivi il messaggio) altrimenti è ancora più complicato capire quello che scrivi.
Io comunque ho calcolato a che angolo $theta$ deve essere lasciata cadere la massa affinché nel punto di massima tensione della fune si riesca a sollevare la massa più pesante.
Svolgendo i calcoli si trova $theta geq 60°$.
Non so se si può interpretare il problema in altro modo, se la massa $M_1$ è più leggera di $M_2$ non può sollevare $M_2$ appena è lasciata libera di muoversi....
Non ho capito molto che intendi, né come hai interpretato il problema. Impara a scrivere le formule (seguendo la guida che trovi nel link in alto nella finestra da dove scrivi il messaggio) altrimenti è ancora più complicato capire quello che scrivi.
Io comunque ho calcolato a che angolo $theta$ deve essere lasciata cadere la massa affinché nel punto di massima tensione della fune si riesca a sollevare la massa più pesante.
Svolgendo i calcoli si trova $theta geq 60°$.
Non so se si può interpretare il problema in altro modo, se la massa $M_1$ è più leggera di $M_2$ non può sollevare $M_2$ appena è lasciata libera di muoversi....
"newton_1372":
cmq a livello prettamente intuitivo non mi capacito ancora di come con una massa piccola riesca a sollevare una massa grande, a meno che non ci sia una leva, che io però non vedo....ma ditemi una cosa, alla fine L si elimina? Perche il testo non lo da...
Sì alla fine $L$ si elimina.
La massa piccola riesce a sollevare quella più grande grazie al fatto che esercita sulla corda una tensione aggiuntiva al proprio peso, visto che la corda la vincola a seguire una traiettoria circolare. Se sei su un altalena nel punto più basso della tua traiettoria la forza che le funi devono sostenere sono maggiori del tuo peso.
"Faussone":
@Nicola91
Non ho capito molto che intendi, né come hai interpretato il problema. Impara a scrivere le formule (seguendo la guida che trovi nel link in alto nella finestra da dove scrivi il messaggio) altrimenti è ancora più complicato capire quello che scrivi.
Io comunque ho calcolato a che angolo $theta$ deve essere lasciata cadere la massa affinché nel punto di massima tensione della fune si riesca a sollevare la massa più pesante.
Svolgendo i calcoli si trova $theta geq 60°$.
Non so se si può interpretare il problema in altro modo, se la massa $M_1$ è più leggera di $M_2$ non può sollevare $M_2$ appena è lasciata libera di muoversi....
Chiedo scusa se pasticcio con le formule, darò un'occhiata alla guida.
Se ho ben capito tutti i tuoi passaggi (che sembrano essere identici al mio primo approccio al problema) hai commesso un errore nell'impostare la formula generante la velocità finale in funzione di θ.
Detto questo, se con un bel po' di buona volontà interpreti il mio post precedente, scoprirai che tu (secondo me) ti sei calcolato non il θ a cui lasciare la presa, ma il punto di angolo θ in cui, lasciando il grave da altezza L, quest'ultimo avrà velocità sufficiente da sollevare m2.
Io ho usato la conservazione dell'energia meccanica uguagliando la velocità raggiunta sulla normale(velocità finale) con l'energia potenziale iniziale su un angolo in principio sconosciuto θ.
Dunque sostituendo tale velocità nella formula della tensione del filo uguagliata a sua volta con la forza peso del grave maggiore ho trovato l'incognita θ.
Fammi sapere se trovi il mio/tuo problema
anch'io ho trovato 60 gradi, ma facendo ?il seguente ragionamento: perchè la tensione T possa bilanciare il peso della massa leggera, devo avere $T=mg/(\cos\theta) = M_2 g = 2mg$. svolgendo i calcoli trovo $\cos\theta=1/2\Rightarrow \theta=\pi/3$. Coincidenza
Credo di aver trovato il mio problema, è un errore di calcolo geometrico eheh.
Ho usato m1*g*L*cosθ come energia potenziale incognita, mentre avrei dovuto usare m1*g*(L-(L(sen((π/2)-θ)))
Ora devo andare, critiche e suggerimenti sono graditissimi.
Detta meglio: m1*g*L(1-sen((π/2)-θ))
Ciao
Ho usato m1*g*L*cosθ come energia potenziale incognita, mentre avrei dovuto usare m1*g*(L-(L(sen((π/2)-θ)))
Ora devo andare, critiche e suggerimenti sono graditissimi.
Detta meglio: m1*g*L(1-sen((π/2)-θ))
Ciao
"Nicola91":
Se ho ben capito tutti i tuoi passaggi (che sembrano essere identici al mio primo approccio al problema) hai commesso un errore nell'impostare la formula generante la velocità finale in funzione di θ.
Detto questo, se con un bel po' di buona volontà interpreti il mio post precedente, scoprirai che tu (secondo me) ti sei calcolato non il θ a cui lasciare la presa, ma il punto di angolo θ in cui, lasciando il grave da altezza L, quest'ultimo avrà velocità sufficiente da sollevare m2.
La formula $v=sqrt(2gL(1-cos theta))$ esprime la velocità massima di un pendolo (la massa $M_1$), quindi nel punto più basso della sua traiettoria, in funzione di un angolo di partenza $theta$ con la verticale. Mi pare evidente. Quella è la velocità da conoscere per calcolare la massima tensione sulla corda che può far sollevare l'altra massa.
"Nicola91":
Detta meglio: m1*g*L(1-sen((π/2)-θ))
Ciao
Appunto e poiché $sin((pi/2)-θ)=cos(theta)$ ti ritrovi con la mia stessa formula.
"newton_1372":
anch'io ho trovato 60 gradi, ma facendo ?il seguente ragionamento: perchè la tensione T possa bilanciare il peso della massa leggera, devo avere $T=mg/(\cos\theta) = M_2 g = 2mg$. svolgendo i calcoli trovo $\cos\theta=1/2\Rightarrow \theta=\pi/3$. Coincidenza
Sì pura coincidenza.
Nel punto di partenza la massa piccola non può sollevare quella grande.
Quindi è la forza centripeta che da la tensione che deve sollevare la massa grande?
"newton_1372":
Quindi è la forza centripeta che da la tensione che deve sollevare la massa grande?
Hai intuito, ma ti esprimi male.
La forza centripeta è la forza che la fune esercita sulla massa per tenerla su una traiettoria circolare. Si dovrebbe dire che è l'inerzia della massa che dà quella forza aggiuntiva, questo vedendo il tutto da un sistema di riferimento fisso esterno.
Altrimenti da un sistema di riferimento solidale alla massa $M_1$ diremmo che è la forza centrifuga sulla massa che dà quella forza aggiuntiva.
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