Dimostrazione rigorosa teorema lavoro e energia cinetica
Salve, qualcuno mi sa dimostrare il teorema del lavoro e dell'energia cinetica IN MANIERA RIGOROSA, senza eseguire quelle maledette semplificazioni con i differenziali che sinceramente non sopporto proprio 
?
Grazie mille
?Grazie mille
Risposte
ci sto provando a scrivertela ma non riesco a inserire bene le formule.
comunque per l'energia cinetica devi partire dal fatto che se hai una risultante di forze che agiscono su un punto materiale(Chiamiamola R),il lavoro di queste su un corpo, lungo un percorso c,da un punto A a un punto B è l'integrale definito da A a B di R ds.
dalla seconda legge della dinamica hai che R=ma ,e a=dv/dt, mentre ds=vdt
quindi sostituisci tutto nell'integrale e ricordandoti che v^2=v * v (vettori ovviamente), ti risolvi l'integrale e ti trovi proprio la formula...
comunque per l'energia cinetica devi partire dal fatto che se hai una risultante di forze che agiscono su un punto materiale(Chiamiamola R),il lavoro di queste su un corpo, lungo un percorso c,da un punto A a un punto B è l'integrale definito da A a B di R ds.
dalla seconda legge della dinamica hai che R=ma ,e a=dv/dt, mentre ds=vdt
quindi sostituisci tutto nell'integrale e ricordandoti che v^2=v * v (vettori ovviamente), ti risolvi l'integrale e ti trovi proprio la formula...
A parte il primo passaggio il resto è matematica (considero tutti scalari, con i vettori è la stessa cosa facendo il prodotto scalare e considerando i vari termini):
\(\displaystyle L=\int_{x_i}^{x_f} F dx = \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d t} dx \)
Per la derivata delle funzioni composte sappiamo che
$\frac{d v}{d t}= \frac{d v}{d x}\frac{d x}{d t}$
per cui
\(\displaystyle \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d t} dx = \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d x}\frac{d x}{d t} dx =\int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d x} v dx= \left[\frac{1}{2} m v^2(x)\right]^{x_f}_{x_i} = \frac{1}{2} m v^2(x_f) - \frac{1}{2} m v^2(x_i) \)
\(\displaystyle L=\int_{x_i}^{x_f} F dx = \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d t} dx \)
Per la derivata delle funzioni composte sappiamo che
$\frac{d v}{d t}= \frac{d v}{d x}\frac{d x}{d t}$
per cui
\(\displaystyle \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d t} dx = \int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d x}\frac{d x}{d t} dx =\int_{x_i}^{x_f} m \frac{d v}{d x} v dx= \left[\frac{1}{2} m v^2(x)\right]^{x_f}_{x_i} = \frac{1}{2} m v^2(x_f) - \frac{1}{2} m v^2(x_i) \)
Ciao, non ho ancora letto il tuo procedimento dal momento che ci stavo provando da solo, e pare che ci sia riuscito.
Il secondo principio della dinamica è, in forma vettoriale, $(F_x,F_y,F_z)=m(a_x,a_y,a_z)$. Scritto in questo modo vuol dire che la forza è funzione dell'accelerazione; tuttavia, qualora l'accelerazione fosse una funzione del tempo, allora la forza sarà una funzione del tempo, qualora l'accelerazione fosse una funzione delle coordinate spaziali, allora la forza sarà una funzione delle coordinate spaziali giusto?
Ora, sapendo che l'accelerazione è la derivatarispetto al tempo di $vec v(t)$, posso scrivere: $(F_x,F_y,F_z)=m(d/dt v_x(t),d/dt v_y(t),d/dt v_z(t))$. Detta $(x(t),y(t),z(t))$ con $t in [a,b]$ la traiettoria percorsa dal punto in funzione del tempo, e detta $(v_x(t),v_y(t),v_z(t))$ la derivata prima della traiettoria, si ha, applicando la definizione di lavoro:
$L=int_(a)^(b)[m(d/dt v_x(t))v_x(t)+m(d/dt v_y(t))v_y(t)dt+m(d/dt v_z(t))v_z(t)dt]=1/2mv^2(b)-1/2mv^2(a)$.
E' corretto? Grazie.
Il secondo principio della dinamica è, in forma vettoriale, $(F_x,F_y,F_z)=m(a_x,a_y,a_z)$. Scritto in questo modo vuol dire che la forza è funzione dell'accelerazione; tuttavia, qualora l'accelerazione fosse una funzione del tempo, allora la forza sarà una funzione del tempo, qualora l'accelerazione fosse una funzione delle coordinate spaziali, allora la forza sarà una funzione delle coordinate spaziali giusto?
Ora, sapendo che l'accelerazione è la derivatarispetto al tempo di $vec v(t)$, posso scrivere: $(F_x,F_y,F_z)=m(d/dt v_x(t),d/dt v_y(t),d/dt v_z(t))$. Detta $(x(t),y(t),z(t))$ con $t in [a,b]$ la traiettoria percorsa dal punto in funzione del tempo, e detta $(v_x(t),v_y(t),v_z(t))$ la derivata prima della traiettoria, si ha, applicando la definizione di lavoro:
$L=int_(a)^(b)[m(d/dt v_x(t))v_x(t)+m(d/dt v_y(t))v_y(t)dt+m(d/dt v_z(t))v_z(t)dt]=1/2mv^2(b)-1/2mv^2(a)$.
E' corretto? Grazie.
Hai sostituito nell'integrale $dx$ con $v dt$ (componente per componente), questo non è un passaggio ineccepibile matematicamente. Pensavo non volessi questo.
"Faussone":
Hai sotituito nell'integrale $dx$ con $v dt$ (componente per componente), questo non è un passaggio ineccepibile matematicamente. Pensavo non volessi questo.
Ciao, allora, io ho la forza in funzione del tempo tramite la derivata prima della velocità, cioè $(F_x,F_y,F_z)=m(d/dt v_x(t),d/dt v_y(t),d/dt v_z(t))$. Questa funzione ad ogni istante di tempo assegna il valore della forza. Ho inoltre l'equazione della traiettoria in funzione del tempo, cioè $(x(t),y(t),z(t))$ e la sua derivata. Quindi, per ogni istante di tempo so qual è la posizione del punto materiale, la sua velocità in quel punto, e la forza che agisce su di esso in quel punto. Quindi posso calcolare il lavoro tramite la definizione, cioè integrando tra $a$ e $b$ (estremi del dominio del parametro) la funzione di $t$
$m(d/dt v_x(t),d/dt v_y(t),d/dt v_z(t))*(v_x(t),v_y(t),v_z(t))$ rispetto a $dt$. Non ho fatto sostituzioni improprie, almeno non consapevolmente. Non va bene?
Ti ringrazio.
Intendiamoci: va bene fisicamente e io non ho nulla da ridire, tuttavia hai chiesto tu di non volere lavorare con gli "orrendi" $dx$ e tu in pratica stai sostituendo nell'integrale del lavro $v dt$ a $dx$, che fisicamente va bene, ma matematicamente non potresti a rigore sostituire il simbolo $dx$ dentro l'integrale con $v dt$.
"Faussone":
stai sostituendo nell'integrale del lavro $v dt$ a $dx$
Non sto facendo questa sostituzione, o almeno io non la vedo. Il lavoro è per definizione matematica l'integrale di riemann in $dt$ fra $a$ e $b$ del prodotto scalare tra il campo in funzione di $t$ ristretto alla curva e la velocità in funzione di $t$ ti trovi?
Io ho queste due cose e ho calcolato l'integrale. Perchè non va bene?
Scusa l'insistenza
Grazie.
Se devo dirti la verità il discorso non mi appassiona più di tanto, quindi ti rispondo e poi chiudo qui, stiamo parlando di lana caprina. ..
Tutto sta nella definizione di lavoro considerata: se assumi la definizione che hai dato tu va bene quello che hai scritto, altrimenti se parti dalla definizione di lavoro come integrale del prodotto forza per spostamento, farei il ragionamento che ho scritto in risposta alla tua domanda. Ovviamente le due cose sono del tutto equivalenti, l'importante a rigore è che l'equivalenza tra le due definizioni di lavoro non sia "dimostrata" sostituendo i differenziali dentro gli integrali.
Tutto sta nella definizione di lavoro considerata: se assumi la definizione che hai dato tu va bene quello che hai scritto, altrimenti se parti dalla definizione di lavoro come integrale del prodotto forza per spostamento, farei il ragionamento che ho scritto in risposta alla tua domanda. Ovviamente le due cose sono del tutto equivalenti, l'importante a rigore è che l'equivalenza tra le due definizioni di lavoro non sia "dimostrata" sostituendo i differenziali dentro gli integrali.
Senza passare per le coordinate:
$ \vec{F} = m \vec{a} $
$ \vec{F} \cdot \vec{v} = m \vec{a} \cdot \vec{v} = \frac{d}{dt} ( \frac{1}{2} m v^2 ) $
$ L(t_1,t_2) \equiv \int_{t_1} ^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} dt = \Delta ( \frac{1}{2} m v^2 ) $
La definizione di lavoro è una sola: l'integrale in $d\vec{x}$ è per definizione l'integrale in $\dot{\vec{x}} dt$.
$ \vec{F} = m \vec{a} $
$ \vec{F} \cdot \vec{v} = m \vec{a} \cdot \vec{v} = \frac{d}{dt} ( \frac{1}{2} m v^2 ) $
$ L(t_1,t_2) \equiv \int_{t_1} ^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} dt = \Delta ( \frac{1}{2} m v^2 ) $
La definizione di lavoro è una sola: l'integrale in $d\vec{x}$ è per definizione l'integrale in $\dot{\vec{x}} dt$.
"naffin":
La definizione di lavoro è una sola: l'integrale in $d\vec{x}$ è per definizione l'integrale in $\dot{\vec{x}} dt$.
Ecco questo è il punto che mi premeva sottolineare: perché è consentito matematicamente dire che \(\displaystyle \int F(x) dx = \int F \frac{dx}{dt} dt \)?
Intendiamoci fisicamente è ovvio, e infatti nel definire il lavoro queste quantità sono considerate "uguali per definizione" come dici. ...ma senza sostituire $dx$ con $v dt$ nell'integrale come si fa quel passaggio in maniera matematica rigorosa?
Pensavo fosse questo il dubbio iniziale, ma probabilmente ho capito male, per questo nel rispondere avevo evitato di fare quel passaggio partendo dall'integrale in $dx$.
In effetti i passaggi matematicamente rigorosi se vogliamo sono la dimostrazione che nel metodo di soluzione degli integrali per sostituzione è "corretto" fare il tipico passaggio $dx = \frac{dx}{dt} dt$, per cambiare la variabile di integrazione.
Metto in spoiler i passaggi della dimostrazione per non allungare il brodo oltre misura...
).
Ragionare nel caso unidimensionale e con forze dipendenti solo dalla posizione ti fa perdere di generalità perchè il lavoro può dipendere dalla velocità ed esplicitamente dal tempo.
Il lavoro su una traiettoria $ \gamma : (t_1, t_2) -> R^3 $ è l'integrale nel tempo della potenza $ \vec{F} \cdot \vec{v}$:
$ L \equiv \int _{t_1} ^{t_2} \vec{ F } ( \gamma (t), \gamma '(t),t) \cdot \gamma'(t) dt $
Non c'è niente di strano in questo, è esattamente il limite della somma $ \sum_i \vec{F_i} \cdot \vec{\Delta x_i} $.
Quando la forza dipende solo dalla posizione il lavoro dipende solo dalla traiettoria (e non da come viene percorsa) e questo si può esprimere matematicamente dicendo che il lavoro (su un percorso) è l'integrale della forma differenziale $ \delta L \equiv F_x dx + F_y dy + F_z dz \equiv \vec{ F } \cdot d \vec{r}$ e si scrive $ \int_{\gamma} \vec{ F } \cdot d \vec{r} $ .
Questa è semplicemente una scrittura, la definizione di integrale di una forma è proprio $ \int_{\gamma} \vec{ F } \cdot d \vec{r} \equiv \int _{t_1} ^{t_2} \vec{ F } ( \gamma (t)) \cdot \gamma'(t) dt $
Restringendoci ulteriormente al caso unidimensionale l'integrale della forma si scrive $ \int_{\gamma} F dx $ ed è effettivamente il 'solito' integrale in dx perchè, partendo dalla definizione di integrale in vdt, si può effettuare il cambio di variabile da dt in dx.
Sempre nel caso unidimensionale, se il lavoro dipende da velocità e tempo in generale non ha proprio senso matematicamente il 'solito' l'integrale in dx (per esempio quando c'è l'usuale forza d'attrito dinamico).
Il lavoro su una traiettoria $ \gamma : (t_1, t_2) -> R^3 $ è l'integrale nel tempo della potenza $ \vec{F} \cdot \vec{v}$:
$ L \equiv \int _{t_1} ^{t_2} \vec{ F } ( \gamma (t), \gamma '(t),t) \cdot \gamma'(t) dt $
Non c'è niente di strano in questo, è esattamente il limite della somma $ \sum_i \vec{F_i} \cdot \vec{\Delta x_i} $.
Quando la forza dipende solo dalla posizione il lavoro dipende solo dalla traiettoria (e non da come viene percorsa) e questo si può esprimere matematicamente dicendo che il lavoro (su un percorso) è l'integrale della forma differenziale $ \delta L \equiv F_x dx + F_y dy + F_z dz \equiv \vec{ F } \cdot d \vec{r}$ e si scrive $ \int_{\gamma} \vec{ F } \cdot d \vec{r} $ .
Questa è semplicemente una scrittura, la definizione di integrale di una forma è proprio $ \int_{\gamma} \vec{ F } \cdot d \vec{r} \equiv \int _{t_1} ^{t_2} \vec{ F } ( \gamma (t)) \cdot \gamma'(t) dt $
Restringendoci ulteriormente al caso unidimensionale l'integrale della forma si scrive $ \int_{\gamma} F dx $ ed è effettivamente il 'solito' integrale in dx perchè, partendo dalla definizione di integrale in vdt, si può effettuare il cambio di variabile da dt in dx.
Sempre nel caso unidimensionale, se il lavoro dipende da velocità e tempo in generale non ha proprio senso matematicamente il 'solito' l'integrale in dx (per esempio quando c'è l'usuale forza d'attrito dinamico).
Grazie della precisazione. Mi hai fatto capire che molto probabilmente avevo inteso la domanda iniziale ad un livello diverso e pensavo il dubbio fondamentale fosse quel cambio di variabile nella forma semplificata 1D (in effetti nel caso generale occorre necessariamente passare per l'integrale di linea, quindi il punto che mi premeva non avrebbe più molto senso coinvolgendo la definizione di integrale di linea, questo l'ho trascurato preso dalla mia over-interpretazione della domanda): a volte tendo a soggettivizzare troppo 
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