Dimostrazione equazione moto.
Salve,
Mi sorge un dubbio di natura matematica quando si tratta di ricavare l'equazione dello spazio percorso in funzione dell'accelerazione e del tempo.
Premesso che l'equazione che voglio ottenere sia:
\(\displaystyle s(t)=\frac{1}{2}a(t^2-t_0^2)+v(t_0)(t-t_0)+s(t_0) \)
parto da equazioni basilari che conosco, quindi:
\(\displaystyle a=\frac{dv(t)}{dt} \quad\Rightarrow\quad dv(t) = adt \quad\Rightarrow\quad \int_{t_0}^t\!\!\!dv(t) = \int_{t_0}^t\!\!\!adt \quad\Rightarrow\quad v(t)-v(t_0) = a(t-t_0) \)
\(\displaystyle \frac{ds(t)}{dt} = a(t-t_0)+v(t_0) \) //il problema comincia qui
\(\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \int_{t_0}^t\!\!\!ds(t) = \int_{t_0}^t\!\!\!\left (a(t-t_0)+v(t_0)\right )dt \quad\Rightarrow\quad s(t)-s(t_0) = a\left(\left[\frac{1}{2}t^2-t_0t\right ]_{t_0}^t\right ) +v(t_0)(t-t_0) \quad\Rightarrow\quad s(t) = a\left (\left (\frac{1}{2}t^2-t_0t\right )-\left (\frac{1}{2}t_0^2-t_0^2\right )\right ) +v(t_0)(t-t_0) +s(t_0) \quad\Rightarrow\quad s(t) = a\left(\frac{1}{\sqrt 2}t-\frac{1}{\sqrt 2}t_0\right)^2+v(t_0)(t-t_0)+s(t_0) \)
Insomma, alla fine ottengo
\(\displaystyle s(t) = \frac{1}{2}a(t-t_0)^2 + ... \)
invece di
\(\displaystyle s(t)=\frac{1}{2}a(t^2-t_0^2) + ... \)
Ho notato che se scrivo (nell'equazione commentata "il problema comincia qui") \(\displaystyle ... = at ... \) invece di \(\displaystyle ... = a(t-t_0) ... \) il risultato ottenuto è corretto, ma in analisi matematica, come posso giustificare una cosa del genere?
Mi sorge un dubbio di natura matematica quando si tratta di ricavare l'equazione dello spazio percorso in funzione dell'accelerazione e del tempo.
Premesso che l'equazione che voglio ottenere sia:
\(\displaystyle s(t)=\frac{1}{2}a(t^2-t_0^2)+v(t_0)(t-t_0)+s(t_0) \)
parto da equazioni basilari che conosco, quindi:
\(\displaystyle a=\frac{dv(t)}{dt} \quad\Rightarrow\quad dv(t) = adt \quad\Rightarrow\quad \int_{t_0}^t\!\!\!dv(t) = \int_{t_0}^t\!\!\!adt \quad\Rightarrow\quad v(t)-v(t_0) = a(t-t_0) \)
\(\displaystyle \frac{ds(t)}{dt} = a(t-t_0)+v(t_0) \) //il problema comincia qui
\(\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \int_{t_0}^t\!\!\!ds(t) = \int_{t_0}^t\!\!\!\left (a(t-t_0)+v(t_0)\right )dt \quad\Rightarrow\quad s(t)-s(t_0) = a\left(\left[\frac{1}{2}t^2-t_0t\right ]_{t_0}^t\right ) +v(t_0)(t-t_0) \quad\Rightarrow\quad s(t) = a\left (\left (\frac{1}{2}t^2-t_0t\right )-\left (\frac{1}{2}t_0^2-t_0^2\right )\right ) +v(t_0)(t-t_0) +s(t_0) \quad\Rightarrow\quad s(t) = a\left(\frac{1}{\sqrt 2}t-\frac{1}{\sqrt 2}t_0\right)^2+v(t_0)(t-t_0)+s(t_0) \)
Insomma, alla fine ottengo
\(\displaystyle s(t) = \frac{1}{2}a(t-t_0)^2 + ... \)
invece di
\(\displaystyle s(t)=\frac{1}{2}a(t^2-t_0^2) + ... \)
Ho notato che se scrivo (nell'equazione commentata "il problema comincia qui") \(\displaystyle ... = at ... \) invece di \(\displaystyle ... = a(t-t_0) ... \) il risultato ottenuto è corretto, ma in analisi matematica, come posso giustificare una cosa del genere?
Risposte
Il risultato è giusto. È sbagliato quello che credevi di ottenere. La legge oraria non contiene la differenza dei quadrati di t e to, ma il quadrato della differenza
Ho inviato questo messaggio tramite smartphone. Scusatemi per eventuali refusi, mancanza di formattazione o eccessiva sintesi.
Ho inviato questo messaggio tramite smartphone. Scusatemi per eventuali refusi, mancanza di formattazione o eccessiva sintesi.
Prendiamo il grafico \(\displaystyle s(t) = 0.5m/s^2*t^2 \) se ho un \(\displaystyle t_0 \) generico, allora lo spazio percorso a partire da \(\displaystyle t_0 \) nell'istante \(\displaystyle t \) sarebbe \(\displaystyle s(t)-s(t_0) = 0.5m/s^2*t^2-0.5m/s^2*t_0^2 = 0.5m/s^2(t^2-t_0^2) \)
Avevo dato per scontato fosse corretto perché l'ho trovato in questa fonte (non so se permesso linkare fonti esterne, casomai eliminate il link): https://www.ba.infn.it/~palano/lab/book ... index.html
dove dice:
È tutto sbagliato?
Avevo dato per scontato fosse corretto perché l'ho trovato in questa fonte (non so se permesso linkare fonti esterne, casomai eliminate il link): https://www.ba.infn.it/~palano/lab/book ... index.html
dove dice:
È tutto sbagliato?
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