Dimostrazione del teorema di Poincaré-Bendixson

[asabasa]

Dato un sistema di equazioni differenziali piano $F(X)=X'$ e sia $Omega$ un suo insieme limite compatto e non vuoto.
Se $Omega$ non contiene punto di equilibrio, allora è un orbita chiusa.

Dimostrazione:
Supposto $Omega=omega(x)$ (insieme dei punti limite positivi)
nella prima parte si dimostra che esiste un orbita periodica $gammasubomega(x)$
brevemente:
$yinomega(X) Rightarrow omega(Y)subomega(x) Rightarrow omega(Y)=!Phi$
Sia $Zinomega(Y)$
Sia $S$ una sezione locale di $Z$
$V$ scatola di flusso associata ad $S$
$Phi_{t}(Z)$ , cioè la soluzione passante per $Y$, incontra $S$ in un solo punto
Sappiamo che c'è una successione di tempo $tn$ positiva, divergente positivamente, strettamente crescente
$Phi_{tn}(Y) rightarrow Z$, allora $EE$ infiniti indici $n$ per cui $Phi_{tn}(Y) in V$
Allora $EE r,s$ con $r>s$ tali che $Phi_{r}(Y),Phi_{s}(Y)inS$ $Rightarrow$ $Phi_{r}(Y)=Phi_{s}(Y) Rightarrow Phi_{r-s}(Y)=Y$ $Rightarrow$ $gamma$ è un'orbita periodica di periodo $tau=r-s$

Dobbiamo dimostrare la seconda parte, cioè che $gamma=omega(x)$

Sfruttiamo la dipendenza continua dalle condizioni inziali
cioè
$AAmu>0 AAT>0 EEdelta>0 :$ $|Z-Y|
per dimostrare che:
$lim_{t \to \infty}d(Phi_t(X),gamma)=0$

COnsiderando una sezione locale $S$ di $Yingamma$ e una scatola di flusso $V_epsilon$ di ampiezza $epsilon$ associata ad $S$

Allora $EE$ successione $t_0
1)$Phi_{tn}(X) rightarrow Y$
2)$Phi_{tn}(X) in S$
3)$Phi_t(X) notin S$ se $t_{n-1}<=t<=t_n$

E qua le cose si complicano:

Ho che

$Phi_tau(Y)=Y$ con $tau>0$ periodo dell'orbita

$Phi_tau(X_n) rightarrow Phi_tau(Y)=Y$
$Phi_{tau+t_n}(X) rightarrow Y$

$EE$ infiniti indici $n$ per cui $ Phi_{tau+t_n}(X)inV_epsilon$

Ma $EE!tin(-epsilon,epsilon) : Phi_{t_n+tau+t}(X)inS$

per la 3) $t_{n+1}<= tau+ t +t_n <= tau + t_n + epsilon$ da cui segue $t_{n+1}-t_n <= tau + epsilon$ <------- come si arriva a questo?

Quello che sto cercando fare è trovare l'istante $t$ in cui si verifica che $phi_t(X)inS$?
Per poi arrivare a verificare che
$lim_{t \to \infty}d(Phi_t(X),gamma)=0$
Da $d(Phi_t(X),gamma)<=|Phi_t(X)-Phi_{t-t_n}(Y)|=|Phi_{t-t_n}(X_n)-Phi_{t-t_n}(Y)|<=mu$
{scelti opportunamente $n$ e $t$}


Chi mi spiega un pò meglio questa seconda parte?

Se serve posso completare con più dettagli la seconda parte della dimostrazione ovviamente