Difficoltà matematica nel capire un passaggio in una riscrittura del potenziale vettore

[fahrenheit1]

Non mi è chiaro il primo passaggio della seguente espressione

$$\int j_i\left(\vec{r}^{\prime}, t-r / c\right) \mathrm{d}^3 r^{\prime}=\int\left(j_k\left(\vec{r}^{\prime}, t-r / c\right) \partial_k^{\prime}\right) r_i^{\prime} \mathrm{d}^3 r^{\prime}=$$
$$=\int \partial_k^{\prime}\left(j_k\left(\vec{r}^{\prime}, t-r / c\right) r_i^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 r^{\prime}-\int r_i^{\prime} \partial_k j_k\left(\vec{r}^{\prime}, t-r / c\right) \mathrm{d}^3 r^{\prime}$$
Per maggior contesto lascio una foto della discussione per arrivare a quel punto
https://imgur.com/cYZEMEa

In particolare non mi è chiaro cosa indichino gli indici i,k, suppongo possano indicare le componenti spaziali di J ma non sono affatto sicuro.

[4131]

Sì, [tex]i,j,k,\dots[/tex] indicano gli indici dei vettori.

Stante che [tex]\partial'_k=\frac{\partial}{\partial r'_k}[/tex] e [tex]\delta_{ik}[/tex] è il delta di Kronecker[nota]Con la convenzione di Einstein risulta [tex]v_k\delta_{kj} = v_j[/tex].[/nota], hai che

[tex]\begin{align*}
\partial'_k r'_i& = \delta_{ki}\\
j_i(\dots)&=j_k(\dots)\delta_{ki}=j_k(\dots)\partial'_kr'_i\\
\partial'_k(j_k(\dots)r'_i) &=r'_i \partial'_k(j_k(\dots))+j_k(\dots)\partial'_kr'_i&& (\text{regola della catena})\\
j_k(\dots)\delta_{ki} & =\partial'_k(j_k(\dots)r'_i) -r'_i \partial'_k(j_k(\dots))
\end{align*}[/tex]

da cui

[tex]\begin{align*}
\int j_i(\dots)\,\mathrm{d}r'^3& =\int\partial'_k(j_k(\dots)r'_i)\,\mathrm{d}r'^3 -\int r'_i \partial'_k(j_k(\dots))\,\mathrm{d}r'^3,
\end{align*}[/tex]

il primo integrale a secondo membro "va a bordo" per il teorema della divergenza, etc. etc.

[fahrenheit1]

Grazie mille, chiaro e conciso