Differenza tra spostamento elementare ed infinitesimo
Buonasera a tutti,
non mi è ben chiara la differenza tra spostamento elementare e spostamento infinitesimo. In particolare, il mio testo di termodinamica fa riferimento allo spostamento elementare $\deltas$ e alla variazione infinitesima $ds$, affermando che il primo ($\deltas$) non è un differenziale esatto in quanto, ovviamente, dipende dal cammino (ossia dalla trasformazione termodinamica).
Se ho ben capito, quando lo spostamento è funzione di stato si utilizza la prima scrittura, in caso contrario la seconda. È l'unica differenza?
Grazie in anticipo!
non mi è ben chiara la differenza tra spostamento elementare e spostamento infinitesimo. In particolare, il mio testo di termodinamica fa riferimento allo spostamento elementare $\deltas$ e alla variazione infinitesima $ds$, affermando che il primo ($\deltas$) non è un differenziale esatto in quanto, ovviamente, dipende dal cammino (ossia dalla trasformazione termodinamica).
Se ho ben capito, quando lo spostamento è funzione di stato si utilizza la prima scrittura, in caso contrario la seconda. È l'unica differenza?
Grazie in anticipo!
Risposte
Dici bene, única differenza
Quindi è proprio il fatto che lo spostamento non sia un differenziale esatto il motivo per cui esso non sia appunto funzione di stato, giusto? Non capisco però perché per indicare la variazione di volume si utilizzi la scrittura $dV = |ds|A$ (A := superficie piana del pistone).
EDIT: Provo a rispondere: il volume è ovviamente funzione di stato, e quindi va indicato con $dV$, mentre per quanto riguarda lo spostamento, si utilizza la scrittura $ds$ poiché si tratta di un calcolo differenziale, giusto?
EDIT: Provo a rispondere: il volume è ovviamente funzione di stato, e quindi va indicato con $dV$, mentre per quanto riguarda lo spostamento, si utilizza la scrittura $ds$ poiché si tratta di un calcolo differenziale, giusto?
Il volume è un parametro di stato, come la pressione e la temperatura. Di solito si prendono queste tre grandezze come parametri, per definire lo stato termodinamico di un sistema. Nel caso dei solidi, e dei fluidi poco comprimibili, il volume è dato, è costante. Nel caso dei gas può essere variabile, dipende.
Quando studi la fisica, "spostamento elementare” e "spostamento infinitesimo” sono praticamente sinonimi. L’attributo “infinitesimo” lo usi principalmente in matematica, ma non affrontiamo queso argomento.
Parlare di “differenziale esatto” o meno a proposito dello spostamento non ha molto senso. Non introdurre concetti di cui non conosci appieno il significato.
Quando studi la fisica, "spostamento elementare” e "spostamento infinitesimo” sono praticamente sinonimi. L’attributo “infinitesimo” lo usi principalmente in matematica, ma non affrontiamo queso argomento.
Parlare di “differenziale esatto” o meno a proposito dello spostamento non ha molto senso. Non introdurre concetti di cui non conosci appieno il significato.
"Five":
Parlare di “differenziale esatto” o meno a proposito dello spostamento non ha molto senso. Non introdurre concetti di cui non conosci appieno il significato.
Ma è proprio quanto scritto sugli appunti redatti dal mio docente di termodinamica... Si tratta di un concetto che effettivamente dovrei comprendere.
Quando parli di differenziale esatto sei in genere in un campo vettoriale che ammette potenziale scalare
Il tuo libro parla di lavoro e non solo di spostamento
Il potenziale è inoltre una grandezza intensiva., lo spostamento è sia estensivo che intensivo
In un campo scalare c'è un operazione caratteristica che è la differenza dei valori in due punti.
Il tuo libro parla di lavoro e non solo di spostamento
Il potenziale è inoltre una grandezza intensiva., lo spostamento è sia estensivo che intensivo
In un campo scalare c'è un operazione caratteristica che è la differenza dei valori in due punti.
Probabilmente in quegli appunti si parla di “lavoro” , non di spostamento, che non è un differenziale esatto, in una trasformazione termodinamica. Controlla.
Lucacs, non complicare le cose con concetti come campo vettoriale, potenziale ecc.
Lucacs, non complicare le cose con concetti come campo vettoriale, potenziale ecc.
Innanzitutto grazie ad entrambi per l'aiuto. Per essere più chiaro, almeno per adesso, non mi interessa il concetto di differenziale esatto, quanto il motivo per cui IL LAVORO elementare, nel succitato caso, non lo sia. E da quel che ho capito, ciò è dovuto al fatto che $\deltaL$ non tiene conto della trasformazione subita dal sistema, ma soltanto degli stati termodinamici iniziali e finali.
Tornando al primo quesito: quando è invece corretto e necessario fare riferimento a $ds$? Perché, ad esempio, la variazione elementare del volume relativa allo spostamento elementare $\deltas$ è indicata con $dV = |ds|A$? Qual è la relazione tra $\deltas$ e $ds$?
Tornando al primo quesito: quando è invece corretto e necessario fare riferimento a $ds$? Perché, ad esempio, la variazione elementare del volume relativa allo spostamento elementare $\deltas$ è indicata con $dV = |ds|A$? Qual è la relazione tra $\deltas$ e $ds$?
"Five":
Probabilmente in quegli appunti si parla di “lavoro” , non di spostamento, che non è un differenziale esatto, in una trasformazione termodinamica. Controlla.
Lucacs, non complicare le cose con concetti come campo vettoriale, potenziale ecc.
Hai ragione, ho fatto confusione, scusatemi per il disguido!
Ciòdetto, resta il dubbio sopra esposto.
Per essere più chiaro, almeno per adesso, non mi interessa il concetto di differenziale esatto, quanto il motivo per cui lo spostamento elementare, nel succitato caso, non lo sia. E da quel che ho capito, ciò è dovuto al fatto che δs non tiene conto della trasformazione che genera tale spostamento, ma soltanto degli stati termodinamici iniziali e finali.
E dagli! Qual è il “succitato caso” ? Ti ripeto , non si fa riferimento a $deltas$; probabilmente, anzi certamente, è il lavoro elementare $ deltaL$ che non è differenziale esatto. Stai facendo confusione. Una funzione di stato (il lavoro NON lo è) tiene appunto conto solo degli stati termodinamici iniziale e finale, come l’energia interna, l’entropia ecc. , ma non della trasformazione che viene eseguita per andare da un o all’altro. LA variazione di energia interna tra due stati A e B è sempre $U_B- U_A$ , qualunque sia la trasformazione eseguita per andare da A a B.
Il lavoro invece no ; neanche il calore, cioè l’energia termica assorbita o ceduta dal sistema è una funzione di stato, perchè le loro variazioni dipendono dal cammino seguito tra A e B . Questo dicono i tuoi appunti.
Vedo che mentre rispondevo hai corretto: bene, è già un passo avanti. Torniamo al dubbio. Qual è il dubbio? Questo? :
Tornando al primo quesito: quando è invece corretto e necessario fare riferimento a ds? Perché, ad esempio, la variazione elementare del volume relativa allo spostamento elementare δs è indicata con dV=|ds|A? Qual è la relazione tra δs e ds?
te l’ho già detto in sostanza : in fisica, non c’è alcuna differenza. C’è chi indica lo spostamento elementare con $deltas$ , chi lo indica con $ds$. In verità , io l’ho visto quasi sempre indicato con $ds$ .
Quando hai un lavoro hai in genere una grandezza estensiva che si espande (o si contrae) sotto l'azione di un potenziale scalare
Ora considera un lavoro in un campo conservativo, questo lo scrivi come $ F*δs $, mentre in uno non conservativo come $ F*ds $. È inteso che entrambe sono definizioni puntuali, ma quando invece le integri hai risultati diversi
Ovviamente la differenza di potenziale ha senso localmente se la dividi per la distanza dei punti che consideri (questa è la forza in un campo conservativo)
Ora considera un lavoro in un campo conservativo, questo lo scrivi come $ F*δs $, mentre in uno non conservativo come $ F*ds $. È inteso che entrambe sono definizioni puntuali, ma quando invece le integri hai risultati diversi
Ovviamente la differenza di potenziale ha senso localmente se la dividi per la distanza dei punti che consideri (questa è la forza in un campo conservativo)
Quando hai un lavoro hai in genere una grandezza estensiva che si espande (o si contrae) sotto l'azione di un potenziale scalare.
Ora considera un lavoro in un campo conservativo, questo lo scrivi come F⋅δs, mentre in uno non conservativo come F⋅ds. È inteso che entrambe sono definizioni puntuali, ma quando invece le integri hai risultati diversi
Lucacs, le tue puntualizzazioni non puntualizzano nulla, anzi. Che cosa è un lavoro che si espande o si contrae? Forse ti riferisci al volume? E questo si modifica sotto l’azione di un potenziale scalare? Dove trovi certe definizioni?
Non inventarti le cose, mai parlato di lavori che si espandono
La forza derivata della quantità di moto, che è una grandezza estensiva
La forza derivata della quantità di moto, che è una grandezza estensiva
Non ho scritto io quello che hai scritto tu. MA poi, che cosa c’entrano i campi conservativi o non conservativi qui ? Stiamo parlando di termodinamica, o di altro?
Di altro, e infatti parla di $ ds $ e di $ δs $
Va bene, conviene lasciarti perdere, Anto'...
@RP-1
i simboli usati non hanno importanza, ciò che è importante sono i concetti che si esprimono tramite essi. In termodinamica, dati due stati A e B, il lavoro e il calore scambiati in una trasformazione da A a B dipendono dalla trasformazione stessa ; invece le variazioni di altre grandezze, come energia interna, entropia, entalpia , non dipendono dalla trasformazione. Questa è la cosa importante da tener presente.
In generale, usi $deltas$ se vuoi indicare uno spostamento finito , anche se “piccolo” ; usi $ds$ per indicare uno spostamento infinitesimo, ma bisognerebbe precisare che cosa si intende per “infinitesimo”.
A titolo di esempio, leggiti questo .
@RP-1
i simboli usati non hanno importanza, ciò che è importante sono i concetti che si esprimono tramite essi. In termodinamica, dati due stati A e B, il lavoro e il calore scambiati in una trasformazione da A a B dipendono dalla trasformazione stessa ; invece le variazioni di altre grandezze, come energia interna, entropia, entalpia , non dipendono dalla trasformazione. Questa è la cosa importante da tener presente.
In generale, usi $deltas$ se vuoi indicare uno spostamento finito , anche se “piccolo” ; usi $ds$ per indicare uno spostamento infinitesimo, ma bisognerebbe precisare che cosa si intende per “infinitesimo”.
A titolo di esempio, leggiti questo .
Non era mia intenzione creare polemiche, ad ogni modo grazie ad entrambi per avermi chiarito le idee. Il mio docente preferisce un approccio più pratico che teorico alla materia, per cui spesso tralascia le definizioni matematiche. Tra l'altro, non avendo ancora sostenuto l'esame di analisi 2, alcuni concetti non mi sono ancora chiarissimi.
Giusto una precisazione: in precedenza si è detto che si utilizza $\deltax$ quando $x$ non è funzione di stato e $dx$ in caso contrario. Adesso Five mi dice che la prima scrittura indica una variazione finita e la seconda una infinitesima. Come faccio a distinguere i casi? Ad esempio, il primo principio della termodinamica è scritto come $dU = \deltaQ - \deltaL$. Ma ad una variazione infinitesima di energia interna dovrebbero essere associati scambi infinitesimi di calore e lavoro, giusto? In tal caso allora dovrebbe valere quando detto da Lucacs, essendo l'energia interna funzione di stato, diversamente da calore e lavoro (che appunto non sono differenziali esatti). Giusto?
Per quanto invece riguarda il concetto di differenziale esatto, se ho ben capito, è relativo ad una funzione di due variabili definita nel piano $\Omega$, che prende il nome di Funzione Potenziale o Funzione Conservativa, il cui integrale esteso ad una curva aperta congiungente due punti del piano $\Omega$ non dipende dal cammino ma esclusivamente dai valori che essa assume nei due punti. Ossia:
$\int_c(\deltaF)/(\deltax)dx+(\deltaF)/(\deltay)dy=F_2-F_1$. In particolare, qualsiasi integrale curvilineo risulta nullo, essendo $P_1=P_2$. Dico bene?
Giusto una precisazione: in precedenza si è detto che si utilizza $\deltax$ quando $x$ non è funzione di stato e $dx$ in caso contrario. Adesso Five mi dice che la prima scrittura indica una variazione finita e la seconda una infinitesima. Come faccio a distinguere i casi? Ad esempio, il primo principio della termodinamica è scritto come $dU = \deltaQ - \deltaL$. Ma ad una variazione infinitesima di energia interna dovrebbero essere associati scambi infinitesimi di calore e lavoro, giusto? In tal caso allora dovrebbe valere quando detto da Lucacs, essendo l'energia interna funzione di stato, diversamente da calore e lavoro (che appunto non sono differenziali esatti). Giusto?
Per quanto invece riguarda il concetto di differenziale esatto, se ho ben capito, è relativo ad una funzione di due variabili definita nel piano $\Omega$, che prende il nome di Funzione Potenziale o Funzione Conservativa, il cui integrale esteso ad una curva aperta congiungente due punti del piano $\Omega$ non dipende dal cammino ma esclusivamente dai valori che essa assume nei due punti. Ossia:
$\int_c(\deltaF)/(\deltax)dx+(\deltaF)/(\deltay)dy=F_2-F_1$. In particolare, qualsiasi integrale curvilineo risulta nullo, essendo $P_1=P_2$. Dico bene?
Leggiti questa discussione, e in particolare le risposte di vict85, cosí forse ti chiarisci le idee sul concetto di differenziale esatto.
Non esiste una “Funzione calore Q” , come non esiste una "funzione lavoro L” , in una trasformazione termodinamica. Quindi è abbastanza impreciso (diciamo sbagliato) dire che $dQ$ non è un differenziale esatto : per Q ed L non si dovrebbe proprio adoperare il termine “differenziale” . Questa è la voce di Wikipedia relativa al differenziale esatto :
https://it.wikipedia.org/wiki/Differenz ... modinamica
Non esiste una “Funzione calore Q” , come non esiste una "funzione lavoro L” , in una trasformazione termodinamica. Quindi è abbastanza impreciso (diciamo sbagliato) dire che $dQ$ non è un differenziale esatto : per Q ed L non si dovrebbe proprio adoperare il termine “differenziale” . Questa è la voce di Wikipedia relativa al differenziale esatto :
https://it.wikipedia.org/wiki/Differenz ... modinamica
Che dice esattamente quello che ho detto io, ovvero che il problema nasce dall'integrazione.
Quindi se hai una forma differenziale esatta meglio indicarla nel modo giusto.
Se non la hai, nell'altro.
Così non fai confusione, è tralaltro una convenzione molto usata
Inoltre una forza è conservativa quando la forma differenziale del suo lavoro è un differenziale esatto
Quindi se hai una forma differenziale esatta meglio indicarla nel modo giusto.
Se non la hai, nell'altro.
Così non fai confusione, è tralaltro una convenzione molto usata
Inoltre una forza è conservativa quando la forma differenziale del suo lavoro è un differenziale esatto
"Five":
Leggiti questa discussione, e in particolare le risposte di vict85, cosí forse ti chiarisci le idee sul concetto di differenziale esatto.
Non esiste una “Funzione calore Q” , come non esiste una "funzione lavoro L” , in una trasformazione termodinamica. Quindi è abbastanza impreciso (diciamo sbagliato) dire che $dQ$ non è un differenziale esatto : per Q ed L non si dovrebbe proprio adoperare il termine “differenziale” . Questa è la voce di Wikipedia relativa al differenziale esatto :
https://it.wikipedia.org/wiki/Differenz ... modinamica
Quel che ho capito è che l'abuso di nomenclatura nel definire differenziale lo scambio di calore, in fisica, e quindi è termodinamica, è accettato, giusto? Ripeto, almeno per ora non sono interessato agli aspetti matematici formali, quanto al significato puramente pratico in termodinamica.
Lo scambio di calore (è ve ne sono di diversi tipi) per una trasformazione reversibile è una forma differenziale eccome
$δQ=dU+PdV$
è $δQ=S dt$, nessun abuso caro
$δQ=dU+PdV$
è $δQ=S dt$, nessun abuso caro
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