Differenza di potenziale, cilindro
Temo di aver bisogno di un aiuto nella comprensione del seguente problema di Fisica2:
Due cilindri indefiniti di materiale isolante e di raggio R uguale sono paralleli tra loro e perpendicolari al piano. Hanno una densità di carica uniforme tale che i due cilindri siano caricati linearmente con una densità di carica $ lambda $ e - $ lambda $ /2 con $ lambda > $ 0. (C'è una densità di carica volumetrica e una lineare). Supponendo che R=3cm e la distanza tra i loro assi è uguale a a=20cm, si sa che in un punto P che si trova a metà lungo la loro congiungente agisce un campo elettrico che è perpendicolare agli assi di intensità pari a 430V/m. Calcolare:
1) la densità di carica $ lambda $
Dati due punti Q1(R,0) e Q2(a-R) che si trovano lungo l'intersezione tra l'estremo dei due cilindri e la loro congiungente. Calcolare:
2) la differenza di potenziale V2-V1
3) la differenza di potenziale tra O1 e O2 (i centri dei cilindri)
1)Sapendo che il campo elettrico dovuto alla distribuzione di carica superficiale di un cilindro è pari a E= $ lambda $ /2 $ pi $ r $ epsilon $ ; scrivo il campo come la sommatoria dei due campi generati dai cilindri e isolo $ lambda $ che risulta correttamente essere pari a 1.6 nC/m
2) Ho calcolato il potenziale nel punto Q2 che è dovuto al cilindro 1 (con densità di carica $ lambda $ per intenderci) e poi quello nel punto Q1 (dovuto all'altro cilindro) e li ho semplicemente sottratti. Quindi: $ Delta $ V= $ lambda $ /2 $ pi $ $ epsilon $ * $ ln $ (a-R) - $ lambda $ /4 $ pi $ $ epsilon $* $ ln $ (a-R) e il risultato torna perchè viene -75V
3)Ora cominciano i problemi...I due cilindri, oltre ad una densità di carica superficiale possiedono anche una densità volumetrica. Per prima cosa ho calcolato questa densità che ho chiamato $ rho $ . Sapendo che q= $ rho pi $ R^2h e $ lambda $ = q/(2 $ pi $ Rh) : per il primo cilindro $ rho $ 1= 2$ lambda $ /R e per il secondo $ rho $ 2= - $ lambda $ /R . A questo punto ho pensato di applicare la legge di Gauss per cui E= ($ rho $ *R^2)/(2x\( \varepsilon \)) e quindi il potenziale calcolato nei due centri verrebbe V= ($ rho $ R^2)/(2 $ epsilon $)*$ ln $a inserendo prima la densità volumetrica del primo cilindro e poi quella del secondo perchè nel punto O2 agisce solo il campo dovuto al primo cilindro e viceversa dovrebbe venire -46.6V ma non è così. Dove sbaglio? Qualcuno mi aiuterebbe per favore in vista dell'imminente esame? Vi ringrazio
Due cilindri indefiniti di materiale isolante e di raggio R uguale sono paralleli tra loro e perpendicolari al piano. Hanno una densità di carica uniforme tale che i due cilindri siano caricati linearmente con una densità di carica $ lambda $ e - $ lambda $ /2 con $ lambda > $ 0. (C'è una densità di carica volumetrica e una lineare). Supponendo che R=3cm e la distanza tra i loro assi è uguale a a=20cm, si sa che in un punto P che si trova a metà lungo la loro congiungente agisce un campo elettrico che è perpendicolare agli assi di intensità pari a 430V/m. Calcolare:
1) la densità di carica $ lambda $
Dati due punti Q1(R,0) e Q2(a-R) che si trovano lungo l'intersezione tra l'estremo dei due cilindri e la loro congiungente. Calcolare:
2) la differenza di potenziale V2-V1
3) la differenza di potenziale tra O1 e O2 (i centri dei cilindri)
1)Sapendo che il campo elettrico dovuto alla distribuzione di carica superficiale di un cilindro è pari a E= $ lambda $ /2 $ pi $ r $ epsilon $ ; scrivo il campo come la sommatoria dei due campi generati dai cilindri e isolo $ lambda $ che risulta correttamente essere pari a 1.6 nC/m
2) Ho calcolato il potenziale nel punto Q2 che è dovuto al cilindro 1 (con densità di carica $ lambda $ per intenderci) e poi quello nel punto Q1 (dovuto all'altro cilindro) e li ho semplicemente sottratti. Quindi: $ Delta $ V= $ lambda $ /2 $ pi $ $ epsilon $ * $ ln $ (a-R) - $ lambda $ /4 $ pi $ $ epsilon $* $ ln $ (a-R) e il risultato torna perchè viene -75V
3)Ora cominciano i problemi...I due cilindri, oltre ad una densità di carica superficiale possiedono anche una densità volumetrica. Per prima cosa ho calcolato questa densità che ho chiamato $ rho $ . Sapendo che q= $ rho pi $ R^2h e $ lambda $ = q/(2 $ pi $ Rh) : per il primo cilindro $ rho $ 1= 2$ lambda $ /R e per il secondo $ rho $ 2= - $ lambda $ /R . A questo punto ho pensato di applicare la legge di Gauss per cui E= ($ rho $ *R^2)/(2x\( \varepsilon \)) e quindi il potenziale calcolato nei due centri verrebbe V= ($ rho $ R^2)/(2 $ epsilon $)*$ ln $a inserendo prima la densità volumetrica del primo cilindro e poi quella del secondo perchè nel punto O2 agisce solo il campo dovuto al primo cilindro e viceversa dovrebbe venire -46.6V ma non è così. Dove sbaglio? Qualcuno mi aiuterebbe per favore in vista dell'imminente esame? Vi ringrazio
Risposte
"Chemis":
Due cilindri indefiniti di materiale isolante e di raggio R uguale sono paralleli tra loro e perpendicolari al piano. Hanno una densità di carica uniforme tale che i due cilindri siano caricati linearmente con una densità di carica $ lambda $ e - $ lambda $ /2 con $ lambda > $ 0. (C'è una densità di carica volumetrica e una lineare).
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1)Sapendo che il campo elettrico dovuto alla distribuzione di carica superficiale di un cilindro è pari a E= $ lambda $ /2 $ pi $ r $ epsilon $ ;
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3)Ora cominciano i problemi...I due cilindri, oltre ad una densità di carica superficiale possiedono anche una densità volumetrica.
Ma chi ti ha detto che c'è una densità lineare, una superficiale e una volumetrica?
Il testo ne dà una sola, quella lineare: da qui, se vuoi, puoi ricavare quella volumetrica, visto che sono isolanti e la carica è distribuita in modo uniforme, e che comunque non è indipendente. Ma quella superficiale da dove spunta?
No infatti ho sbagliato! Ho considerato la densità lineare come se fosse superficiale. A questo punto quindi la densità volumetrica verrebbe per il primo cilindro: \( \rho \) = \( \lambda \) / \( \pi \) R^2 e per il secondo: \( \rho \) = - \( \lambda \/2 \( \pi \) R^2 giusto? Seguendo il ragionamento di prima però ancora non arrivo al risultato, cos'altro starò sbagliando?
"Chemis":
Dati due punti Q1(R,0) e Q2(a-R) che si trovano lungo l'intersezione tra l'estremo dei due cilindri e la loro congiungente ...
Non capisco dove sono i due punti.
Comunque, se con i primi ti viene, per gli altri due punto O1 e O2 non funziona allo stesso modo?
I punti Q1 e Q2 sono sulla superficie del cilindro mentre O1 e O2 sono all'interno ma sono tutti sulla stessa retta. Manderei una foto ma mi dice che le dimensioni sono troppo grandi e non me la invia..comunque non so, dovrei fare lo stesso ragionamento tralasciando la densità volumetrica?
Intanto:tu scrivi
Ma $lambda$ non è la carica diviso la superficie laterale $2piRh$, ma la carica diviso l'altezza $h$, $lambda = (rhopiR^2h)/h$, quindi $rho = lambda/(piR^2)$ e analogamente per l'altro.
Poi, per trovare il potenziale nel centro, devi conoscere come va il campo all'interno di un cilindro: applichi Gauss, sapendo che il campo è radiale e perpendicolare al cilindro, e trovi che all'interno c'è una dipendenza lineare da $R$, mentre all'esterno va come $1/R$ (vedi figura)
Se integri il campo elettrico fra $O_1$ e infinito trovi il potenziale in O1, analogamente per $O_2$, poi li sommi
"Chemis":
Sapendo che $q= rho pi R^2h $ e $ lambda = q/(2 pi Rh)$
Ma $lambda$ non è la carica diviso la superficie laterale $2piRh$, ma la carica diviso l'altezza $h$, $lambda = (rhopiR^2h)/h$, quindi $rho = lambda/(piR^2)$ e analogamente per l'altro.
Poi, per trovare il potenziale nel centro, devi conoscere come va il campo all'interno di un cilindro: applichi Gauss, sapendo che il campo è radiale e perpendicolare al cilindro, e trovi che all'interno c'è una dipendenza lineare da $R$, mentre all'esterno va come $1/R$ (vedi figura)
Se integri il campo elettrico fra $O_1$ e infinito trovi il potenziale in O1, analogamente per $O_2$, poi li sommi
Allora in O2 il potenziale mi verrebbe V= \( \rho \)(1)*R^2/2 \( \varepsilon \) \( \ln \) (a-R) + \( \rho \)(1) *R^2/4 \( \varepsilon \) mentre in O1 sarebbe V= \( \rho (2)*R^2/2\varepsilon \) * \( \ln (a-R)+\rho (2)*R^2/4\varepsilon \) facendo i conti ancora non mi viene il risultato ma se il procedimento è giusto mi metterò l'anima in pace!
Che risultato dovrebbe venire? E che conti hai fatto, esattamente?
Il ragionamento che ho fatto è stato questo:
in $O_2$ ho supposto agisca sia il campo elettrico del primo cilindro che quello del secondo. Per il primo cilindro uso l'espressione del campo elettrico nel caso in cui $r>R$ mentre per il secondo considero l'espressione nel caso in cui $r< R$
$E_1= \frac {\rho_1R^2}{2 \varepsilon_0r}$ e $E_2=\frac{\rho_2r}{2\varepsilon_0}$ quindi il potenziale in $O_2$ risulta $V=\frac{\rho_1R^2}{2\varepsilon_0}lna+\frac{\rho_2R^2}{4\varepsilon_0}$ dove $\rho_1$, seguendo il suggerimento, risulta uguale a $5.7*10^(-7)$ mentre $\rho_2$ è pari a $-2.8*10^-7$
Per $O_1$ stessa cosa, solo che ho invertito $\rho_1$ e $\rho_2$ perchè ho pensato che in questo caso il punto risente del campo elettrico interno del primo cilindro e del campo elettrico esterno del secondo.
A questo punto ho sottratto i due ma il risultato fornito ($-46.6V$) è molto lontano. Comunque grazie infinite per le risposte!
in $O_2$ ho supposto agisca sia il campo elettrico del primo cilindro che quello del secondo. Per il primo cilindro uso l'espressione del campo elettrico nel caso in cui $r>R$ mentre per il secondo considero l'espressione nel caso in cui $r< R$
$E_1= \frac {\rho_1R^2}{2 \varepsilon_0r}$ e $E_2=\frac{\rho_2r}{2\varepsilon_0}$ quindi il potenziale in $O_2$ risulta $V=\frac{\rho_1R^2}{2\varepsilon_0}lna+\frac{\rho_2R^2}{4\varepsilon_0}$ dove $\rho_1$, seguendo il suggerimento, risulta uguale a $5.7*10^(-7)$ mentre $\rho_2$ è pari a $-2.8*10^-7$
Per $O_1$ stessa cosa, solo che ho invertito $\rho_1$ e $\rho_2$ perchè ho pensato che in questo caso il punto risente del campo elettrico interno del primo cilindro e del campo elettrico esterno del secondo.
A questo punto ho sottratto i due ma il risultato fornito ($-46.6V$) è molto lontano. Comunque grazie infinite per le risposte!
Ma devi trovare la ddp, no? Quindi devi considerare il campo su tutto il percorso, e integrarlo fra $O_1$ e $O_2$, non solo in $O_1$ e $O_2$.
Poi, c'è qualcosa d'altro che non mi convince nelle tue formule, come se tu considerassi un solo valore di $r$, ($O_1$ e $O_2$ sono punti diversi) (per es. quando scrivi $E_2 = (rho_2 r)/(2epsi_0)$ per il campo in $O_2$ dovuto al cilindro 2, che è ovviamente zero). Ma magari ho capito male io.
Poi, c'è qualcosa d'altro che non mi convince nelle tue formule, come se tu considerassi un solo valore di $r$, ($O_1$ e $O_2$ sono punti diversi) (per es. quando scrivi $E_2 = (rho_2 r)/(2epsi_0)$ per il campo in $O_2$ dovuto al cilindro 2, che è ovviamente zero). Ma magari ho capito male io.
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