Determinazione numero di orbite al variare di E

[alexz04]

Salve devo individuare il numero di orbite al variare di E per il moto

[math]\ddot{x}=x-x^3[/math]

.Ora tralasciando gli altri casi, per E=0 ho l'energia è uguale alla barriera del potenziale quindi i punti d'inversione sono

[math]x=0[/math]

[math]x=\pm \sqrt2[/math]

quindi tre orbite. Ma nel caso E>0 come funziona?

[ingres]

Se si disegna V(x) si vede trattarsi di una doppia buca di potenziale con 2 minimi assoluti a x=1 e x=-1 con valore minimo pari a -1/4, e 1 massimo relativo a x=0 . Quindi

-1/4 < E <0 si hanno 2 possibili orbite periodiche
E=0 si hanno 3 orbite (il punto x=0 di equilibrio instabile e 2 orbite asintotiche)
E>0 si ha solo 1 orbita periodica (2 punti di inversione) che attraversa entrambe le "valli"