Determinazione campo Elettrostatico
Salve a tutti,
mi trovo in difficoltà con un esercizio.
Mi chiede di determinare il campo elettrostatico lungo l'asse x e asse y di una distribuzione di carica $\lambda=\lambda_0sin\theta$ distribuita lungo una circonferenza di raggio $R$ giacente sul piano xy.
Qualcuno che mi può aiutare?
mi trovo in difficoltà con un esercizio.
Mi chiede di determinare il campo elettrostatico lungo l'asse x e asse y di una distribuzione di carica $\lambda=\lambda_0sin\theta$ distribuita lungo una circonferenza di raggio $R$ giacente sul piano xy.
Qualcuno che mi può aiutare?
Risposte
Se riesci a scrivere il campo in un generico punto P=(x,0) (o Q=(0,y)) relativo alla carica infinitesima, associata ad un tratto infinitesimo della circonferenza, corrispondente ad un generico angolo $\theta$, forse poi basterà integrare in $\theta$, non credi?
L'integrale è zero in entrambi i casi.
Ed ho pensato che il sistema sia assimilabile ad un dipolo, poiché la carica quando $\theta$ tende a $π/2$ la carica è positiva, invece quando $theta$ tende a $-π/2$ la carica risulta negativa...
Ed ho pensato che il sistema sia assimilabile ad un dipolo, poiché la carica quando $\theta$ tende a $π/2$ la carica è positiva, invece quando $theta$ tende a $-π/2$ la carica risulta negativa...
"mdonatie":
L'integrale è zero in entrambi i casi.
Non vedo come potrebbe.
"mdonatie":
... ho pensato che il sistema sia assimilabile ad un dipolo, poiché la carica quando $\theta$ tende a $π/2$ la carica è positiva, invece quando $theta$ tende a $-π/2$ la carica risulta negativa...
A una distanza $d \text{ >> } R$ potresti anche "vederlo" e approssimarlo in quel modo, ma vista richiesta del problema non puoi seguire quella strada.
Determino il primo caso di campo elettrico lungo x, quando (x>R)...
$\vecr=(x,0,0)$ , $\vecr'=(Rcos\theta,Rsin\theta,0)$
Per la definizione di campo $\vecE_0=1/(4π\epsilon_0)int_C(\lambda(x',y',z')dl)/|\vecr-\vecr'|^3(\vecr-\vecr')$
poi calcolo le componenti:
$E_(0x)=1/(4π\epsilon_0)int_C(\lambda_0sin\thetadl)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)(x-Rcos\theta)=$
$=1/(4π\epsilon_0)int_0^(2π)(\lambda_0sin\thetaRd\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)(x-Rcos\theta)=$
$=1/(4π\epsilon_0)int_0^(2π)(\lambda_0xsin\thetaRd\theta-\lambda_0R^2sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)=$
$=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[1/2int_0^(2π)(2xRsin\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)-R^2int_0^(2π)(sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)]$
$=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[1/2int_((x-R)^2)^((x-R)^2)(dy)/y^(3/2)-R^2int_0^(2π)(sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)]=0$
Sono arrivato a questa conclusione...
dove il primo integrale è nullo, mentre per il secondo che è un po' lungo l'ho calcolato con wolfram... è anch'esso nullo...
Comunque non penso sia la strada giusta poiché integrare lungo y diventa un po' troppo...
$\vecE_(0y)=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[int_0^(2π)(Rysin\thetad\theta)/[(Rcos\theta)^2+(y-Rsin\theta)^2]^(3/2)-int_0^(2π)(R^2sin^2\thetad\theta)/[(Rcos\theta)^2+(y-Rsin\theta)^2]^(3/2)]$
Oltretutto dovrebbero essere degli esercizi tranquilli...
$\vecr=(x,0,0)$ , $\vecr'=(Rcos\theta,Rsin\theta,0)$
Per la definizione di campo $\vecE_0=1/(4π\epsilon_0)int_C(\lambda(x',y',z')dl)/|\vecr-\vecr'|^3(\vecr-\vecr')$
poi calcolo le componenti:
$E_(0x)=1/(4π\epsilon_0)int_C(\lambda_0sin\thetadl)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)(x-Rcos\theta)=$
$=1/(4π\epsilon_0)int_0^(2π)(\lambda_0sin\thetaRd\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)(x-Rcos\theta)=$
$=1/(4π\epsilon_0)int_0^(2π)(\lambda_0xsin\thetaRd\theta-\lambda_0R^2sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)=$
$=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[1/2int_0^(2π)(2xRsin\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)-R^2int_0^(2π)(sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)]$
$=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[1/2int_((x-R)^2)^((x-R)^2)(dy)/y^(3/2)-R^2int_0^(2π)(sin\thetacos\thetad\theta)/[(x-Rcos\theta)^2+(Rsin\theta)^2]^(3/2)]=0$
Sono arrivato a questa conclusione...
dove il primo integrale è nullo, mentre per il secondo che è un po' lungo l'ho calcolato con wolfram... è anch'esso nullo...
Comunque non penso sia la strada giusta poiché integrare lungo y diventa un po' troppo...
$\vecE_(0y)=\lambda_0/(4π\epsilon_0)[int_0^(2π)(Rysin\thetad\theta)/[(Rcos\theta)^2+(y-Rsin\theta)^2]^(3/2)-int_0^(2π)(R^2sin^2\thetad\theta)/[(Rcos\theta)^2+(y-Rsin\theta)^2]^(3/2)]$
Oltretutto dovrebbero essere degli esercizi tranquilli...
"mdonatie":
Determino il primo caso di campo elettrico lungo x, ...
Beh, chiaramente la componente Ex del campo in un generico punto P=(x,0) è nulla e non serviva andare a verificarlo, in quanto per ogni punto della semicirconferenza superiore esiste un punto con carica di segno opposto sul semicirconferenza inferiore, ma di certo non nulla è la componente Ey (sempre in P); provando però a scrivere l'integrale
$E_y(P)=1/(4π\epsilon_0)int_C(\lambda_0\sin\theta(R\sin\theta)R )/[(x-R\cos\theta)^2+(R\sin\theta)^2]^(3/2)d\theta $
non mi sembra di certo semplice, e come hai evidenziato il problema si ripresenta per i punti dell'asse y nel calcolo della componente lungo y. (essendo anche in questo caso nulla quella lungo x).
"mdonatie":
Oltretutto dovrebbero essere degli esercizi tranquilli...
Giusto per curiosità, da dove arriva questo problema? ... e il testo è esattamente quello da te riportato, virgole comprese?
Veramente è un esercizio che mi hanno passato, che hanno preso da un foglio per le esercitazioni... Forse nella trascrizione mi sono perso qualcosa mi documenterò!!!
mi documenterò!!!
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