Determinare campo elettrico
Ho questo problema:
Una sfera isolante di raggio R è caratterizzata da una distribuzione di carica spaziale a simmetria sferica p(r)=po r/R. Quale è il modulo del campo elettrico in r=R/2?
Io ho risolto con la seguente formula:
E * 4π(pi greco) r^2 = p/Eo 4πr^3/3
Secondo voi è giusto?
Una sfera isolante di raggio R è caratterizzata da una distribuzione di carica spaziale a simmetria sferica p(r)=po r/R. Quale è il modulo del campo elettrico in r=R/2?
Io ho risolto con la seguente formula:
E * 4π(pi greco) r^2 = p/Eo 4πr^3/3
Secondo voi è giusto?
Risposte
Io ragionerei così:
Il campo elettrico generato dalla sfera è E= (Q r)/(4 pig E0 R^3), in quanto ci troviamo ancora all'interno della sfera stessa e E cresce linearmente con r.
Poichè r= R/2, la densità p di carica diventa p= p0/2
Sostituendo R/2 al posto di r nell'equazione di E si ottiene E= Q/(8 pig E0 R^2)
Per definizione di densità di carica si ha p= p0/2= Q/(4/3 pig r^3) da cui si ottiene Q= (2 p0 pig r^3)/3
Sostituendo questo valore nell'equazione di E si ha E= (p0 r^3)/(12 E0 R^2)
Il campo elettrico generato dalla sfera è E= (Q r)/(4 pig E0 R^3), in quanto ci troviamo ancora all'interno della sfera stessa e E cresce linearmente con r.
Poichè r= R/2, la densità p di carica diventa p= p0/2
Sostituendo R/2 al posto di r nell'equazione di E si ottiene E= Q/(8 pig E0 R^2)
Per definizione di densità di carica si ha p= p0/2= Q/(4/3 pig r^3) da cui si ottiene Q= (2 p0 pig r^3)/3
Sostituendo questo valore nell'equazione di E si ha E= (p0 r^3)/(12 E0 R^2)
Per trovare la carica interna contenuta in una sfera di raggio inferiore a quello della sfera stessa devi integrare la densità di carica su croste feriche infinitesime; una volta che hai la carica interna con Gauss ricavi il campo, che non risulta lineare all'interno della sfera, ma cresce con andamento parabolico.
L'andamento lineare si ha se la sfera all'interno ha una distribuzione di carica uniforme.
L'andamento lineare si ha se la sfera all'interno ha una distribuzione di carica uniforme.
"Maurizio Zani":
Per trovare la carica interna contenuta in una sfera di raggio inferiore a quello della sfera stessa devi integrare la densità di carica su croste feriche infinitesime; una volta che hai la carica interna con Gauss ricavi il campo, che non risulta lineare all'interno della sfera, ma cresce con andamento parabolico.
L'andamento lineare si ha se la sfera all'interno ha una distribuzione di carica uniforme.
Qui però si parla di "distribuzione di carica spaziale a simmetria sferica"....se si ha simmetria sferica la carica non è uniforme nello spazio?
Il fatto che la distribuzione sia "spaziale", poi, lascia supporre che la carica non si trovi solo sulla superficie, ma in tutto il volume della sfera.
simmetria sferica penso che intenda che in ogni punto distante R dal centro la densità di carica è costante. Cioè che la densità di carica dipenda dal raggio, e non dall'angolo
Esatto, la densità di carica dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, ma non è uniforme.
Giusto, non ci avevo pensato...d'altra parte, se p dipende dal raggio non può essere uniforme
teorema di gauss per il campo elettrico: l'integrale di flusso sulla superfice sferica di raggio R\2, dato che l'angolo tra campo e vettore normale è sempre 0, è dato da .
questo equivale a Q\E0 Er (costante dielettrica relativa dell'isolante, che si suppone costante omogeneo e isotropo). Q è dato dall'integrale da 0 a R/2 di p0r/Rdr =
Quindi E 4pigreco(R^2)/4= (po/R)*(R^2)/8. Pertanto E= 1/(8pigrecoE0Er) * p0/R.
questo equivale a Q\E0 Er (costante dielettrica relativa dell'isolante, che si suppone costante omogeneo e isotropo). Q è dato dall'integrale da 0 a R/2 di p0r/Rdr =
Quindi E 4pigreco(R^2)/4= (po/R)*(R^2)/8. Pertanto E= 1/(8pigrecoE0Er) * p0/R.
No, per calcolare la carica tra $0$ e $R/2$ devi integrare su croste sferiche infinitesime, che hanno volume $dV=2pir*dr$, quindi $q=int_0^(R/2)rho_0*(r/R)dV$
ma mi pare di aver capito che quel p0 non sia una densità volumica ma lineare, cioè espressa solo in dipendenza dal raggio, voglio dire p0 dimensionalmente sia Coulomb/metri, non una densità volumica puntiforme Coulomb/m3.
Anche perchè come dici tu sarebbe più complicato, perchè dV bnon è 2pigrecordr,ma è la differenza tra le due sfere di raggio r e r+dr cioè 4/3pigreco(r+dr) tutto al cubo - 4/3pigreco r^3, e avresti noie con gli infinitesimi da trascurare bla bla bla
Anche perchè come dici tu sarebbe più complicato, perchè dV bnon è 2pigrecordr,ma è la differenza tra le due sfere di raggio r e r+dr cioè 4/3pigreco(r+dr) tutto al cubo - 4/3pigreco r^3, e avresti noie con gli infinitesimi da trascurare bla bla bla
Non capisco perché dovrebbe essere così e da dove l'hai intuito...
per quel che ne so io (veramente poco), ho visto che solitamente $rho$ è la densità volumica
"Maurizio Zani":
Non capisco perché dovrebbe essere così e da dove l'hai intuito...
Se posso permettermi copio quello che ho scritto prima modificando il post, che spiega perchè ho pensto che fosse così
perchè come dici tu sarebbe più complicato, perchè dV bnon è 2pigrecordr,ma è la differenza tra le due sfere di raggio r e r+dr cioè 4/3pigreco(r+dr) tutto al cubo - 4/3pigreco r^3, e avresti noie con gli infinitesimi da trascurare
la mia era un'intempretazione mossa dal questo fatto capisci? solo perchè amgari i testi di solito non mettono di fronte a quel discorso degli infinitesimi...almeno io non mi ricordo di averne visti...poi magari mi sbaglio eh e hai ragione tu...ad ogni modo tutto sarebbe più chiaro vedendo le unità di misura con cui p indicata sul testo la densità
forse Maurizio voleva scirvere $dV=4pir^2dr$
"minavagante":
forse Maurizio voleva scirvere $dV=4pir^2dr$
Hai ragione, ho fatto un copia ed incolla errato
uhm sicuro che il volume della crosta infinitesima sia così?
Boh vediamo che dice lui
Boh vediamo che dice lui
"Maurizio Zani":
[quote="minavagante"]forse Maurizio voleva scirvere $dV=4pir^2dr$
Hai ragione, ho fatto un copia ed incolla errato
[/quote]no problema
"antani":
uhm sicuro che il volume della crosta infinitesima sia così?
Boh vediamo che dice lui
prova a fare un integrale di $4pir^2dr$ tra 0 e R...Esce il volume della sfera
Per una sfera $V=4/3pir^3$ da cui $(dV)/(dr)=4pir^2$
ah che figo quindi alla fine è come se fosse una superficie sferica per dr? che figo non avrei mai pensato che quella roba piena di infinitesimi alla fine si riducesse a quello...!
pensala come: ho una superficie sferica, la moltiplico per un infinitesimo dr che sarebbe il suo strato, quindi una corsta
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