Derivazione quarta equazione di Maxwell caso non stazionario
Ho letto che la quarta equazione di Maxwell
$\nabla \times H = J$ (1)
va corretta nel caso stazionario con
$\nabla \times H = J+\frac{\partial D}{\partial t}$
C'è un modo per derivare "teoricamente" in modo rigoroso la correzione $\frac{\partial D}{\partial t}$? Da dove viene questo termine in più? In molti testi ho trovato una "pseudo spiegazione" nel fatto che dall'equazione di continuità, applicando la divergenza a entrambi i membri, otterrei
$0=\nabla\cdot J = $(equazione di continuità) $\frac{\partial\rho}{\partial t}$, ovvero l'equazione (1) vale solo se rho non cambia nel tempo. Dalla prima equazione ho che $\rho = \nabla\cdot D$ e quindi
$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot \frac{\partial D}{\partial t}$, e l'equazione di continuità diventa
$\nabla\cdot (J+\frac{\partial \rho}{\partial t})=0$.
Viene fatto notare che, essendo il vettore J+drho/dt a divergenza nulla, "si presta bene" a sostituire il semplice J nel caso stazionario. Questo però non mi sembra risolutivo: infatti potrei prendere una qualsiasi altra quantità a divergenza nulla...con lo stesso criterio potrei appiopparla al posto di J.
C'è una qualche ragione insita nella teoria che mi spinge a prendere come "correzione" proprio dD/dt?
$\nabla \times H = J$ (1)
va corretta nel caso stazionario con
$\nabla \times H = J+\frac{\partial D}{\partial t}$
C'è un modo per derivare "teoricamente" in modo rigoroso la correzione $\frac{\partial D}{\partial t}$? Da dove viene questo termine in più? In molti testi ho trovato una "pseudo spiegazione" nel fatto che dall'equazione di continuità, applicando la divergenza a entrambi i membri, otterrei
$0=\nabla\cdot J = $(equazione di continuità) $\frac{\partial\rho}{\partial t}$, ovvero l'equazione (1) vale solo se rho non cambia nel tempo. Dalla prima equazione ho che $\rho = \nabla\cdot D$ e quindi
$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot \frac{\partial D}{\partial t}$, e l'equazione di continuità diventa
$\nabla\cdot (J+\frac{\partial \rho}{\partial t})=0$.
Viene fatto notare che, essendo il vettore J+drho/dt a divergenza nulla, "si presta bene" a sostituire il semplice J nel caso stazionario. Questo però non mi sembra risolutivo: infatti potrei prendere una qualsiasi altra quantità a divergenza nulla...con lo stesso criterio potrei appiopparla al posto di J.
C'è una qualche ragione insita nella teoria che mi spinge a prendere come "correzione" proprio dD/dt?
Risposte
il termine correttivo è dovuto alla corrente di spostamento
http://www.bo.infn.it/~bruni/didattica/Esercizi_2011/12.CorrenteSpostEqMaxwell-2011.pdf
guarda soprattutto dalla pagina 9
http://www.bo.infn.it/~bruni/didattica/Esercizi_2011/12.CorrenteSpostEqMaxwell-2011.pdf
guarda soprattutto dalla pagina 9
Siccome le sei equazioni di Maxwell sono indipendenti*, è impossibile derivarle rigorosamente l'una dall'altra. Correttamente puoi affermare che la tua (1) è inconsistente con la conservazione della corrente - ma generalmente in una costruzione assiomatica questa conservazione viene a sua volta derivata dalle equazioni di Maxwell, o ancora meglio, sia le equazioni del moto dei campi sia la conservazione escono fuori dall'invarianza di gauge.
C'è un altra via che suggerisce molto chiaramente la forma corretta dell'equazione che è quella nel .pdf linkato da stormy. Questa derivazione persiste nel non essere rigorosa, perché tutto quello che ti dice è che la (1) è inconsistente con un'altra delle equazioni di Maxwell, e quindi propone di modificare la (1) in modo "ovvio" (ma perché invece non modificare la legge di Gauss?) Però è molto convincente.
Purtroppo però non esiste una derivazione rigorosa semplice (perché è impossibile).
Mapperò [da qui in poi straparlo, quindi sentiti libero di ignorare]
è possibile risalire ad un principio elegante e semplice a partire dal quale si ricava tutto l'elettromagnetismo (e già che ci siamo, anche la sua generalizzazione non commutativa, la Yang-Mills e le teorie di gauge in generale). Inoltre, risulta in maniera assolutamente naturale la simmetria fra elettricità e magnetismo (dualità elettromagnetica) e le corrispondenti equazioni di Maxwell. Risulta anche chiaro che per questa simmetria è importante la dimensione dello spaziotempo ambiente, ad esempio nel nostro caso $d=4$.
Quindi sappi che c'ha senso che le equazioni di M. debbano avere questa simmetria.
* quasi. Puoi comportarti come se lo fossero nella maggior parte dei casi.
C'è un altra via che suggerisce molto chiaramente la forma corretta dell'equazione che è quella nel .pdf linkato da stormy. Questa derivazione persiste nel non essere rigorosa, perché tutto quello che ti dice è che la (1) è inconsistente con un'altra delle equazioni di Maxwell, e quindi propone di modificare la (1) in modo "ovvio" (ma perché invece non modificare la legge di Gauss?) Però è molto convincente.
Purtroppo però non esiste una derivazione rigorosa semplice (perché è impossibile).
Mapperò [da qui in poi straparlo, quindi sentiti libero di ignorare]
è possibile risalire ad un principio elegante e semplice a partire dal quale si ricava tutto l'elettromagnetismo (e già che ci siamo, anche la sua generalizzazione non commutativa, la Yang-Mills e le teorie di gauge in generale). Inoltre, risulta in maniera assolutamente naturale la simmetria fra elettricità e magnetismo (dualità elettromagnetica) e le corrispondenti equazioni di Maxwell. Risulta anche chiaro che per questa simmetria è importante la dimensione dello spaziotempo ambiente, ad esempio nel nostro caso $d=4$.
Quindi sappi che c'ha senso che le equazioni di M. debbano avere questa simmetria.
* quasi. Puoi comportarti come se lo fossero nella maggior parte dei casi.
Senza andare a trattare il problema per via analitica o addirittura filosofica, in quanto non ne sarei assolutamente all'altezza, provo a dare il mio piccolo contributo alla discussione osservando che l'estensione della ben nota
legge di Ampere
da parte di Maxwell, alla situazione di non stazionarietà
viene a discendere dal tentativo del grande James di mettere una pezza alla legge di Ampere che evidenziava una grossa lacuna nel non riuscire a spiegare la presenza di un campo magnetico anche in assenza di una corrente di conduzione (classico esempio dell'integrale di linea del campo magnetico sul bordo di una superficie interna ad un condensatore).
Maxwell ipotizza quindi la presenza di una nuova corrente associata alla presenza di variazione nello spostamento elettrico D.
In questo modo, la "true current" come la chiama lui, viene a presentare un termine addizionale che va a fixare il problema; come lui stesso sottolinea, ci sono
"... very little experimental evidence relating to the direct electromagnetic action of currents due to the variation of electric displacement in dielectrics, but the extreme difficulty of reconciling the laws of electromagnetism with the existence of electric currents which are not closed is one reason among many why we must admit the existence of transient currents due to variations of displacement. Their importance will be seen when we come to the electromagnetic theory of light ...",
ma come evidenzieranno le successive prove sperimentali di Hertz, questa sua intuizione era corretta.
Credo che il punto di partenza per una seria analisi, sia andarsi a leggere un paio di pagine della sua opera fondamentale, ovvero del suo Treatise, per esempio, il nono capitolo
https://archive.org/stream/ATreatiseOnE ... 5/mode/2up
... da quelle "sacre" pagine
, discende tutto "il resto", ... amen! 
legge di Ampere
"newton_1372":
...
$\nabla \times H = J$ (1)
da parte di Maxwell, alla situazione di non stazionarietà
"newton_1372":
...
$\nabla \times H = J+\frac{\partial D}{\partial t}$
viene a discendere dal tentativo del grande James di mettere una pezza alla legge di Ampere che evidenziava una grossa lacuna nel non riuscire a spiegare la presenza di un campo magnetico anche in assenza di una corrente di conduzione (classico esempio dell'integrale di linea del campo magnetico sul bordo di una superficie interna ad un condensatore).
Maxwell ipotizza quindi la presenza di una nuova corrente associata alla presenza di variazione nello spostamento elettrico D.
In questo modo, la "true current" come la chiama lui, viene a presentare un termine addizionale che va a fixare il problema; come lui stesso sottolinea, ci sono
"... very little experimental evidence relating to the direct electromagnetic action of currents due to the variation of electric displacement in dielectrics, but the extreme difficulty of reconciling the laws of electromagnetism with the existence of electric currents which are not closed is one reason among many why we must admit the existence of transient currents due to variations of displacement. Their importance will be seen when we come to the electromagnetic theory of light ...",
ma come evidenzieranno le successive prove sperimentali di Hertz, questa sua intuizione era corretta.
Credo che il punto di partenza per una seria analisi, sia andarsi a leggere un paio di pagine della sua opera fondamentale, ovvero del suo Treatise, per esempio, il nono capitolo
https://archive.org/stream/ATreatiseOnE ... 5/mode/2up
... da quelle "sacre" pagine
, discende tutto "il resto", ... amen!
La vostra risposta non mi soddisfa in modo completo (sempre molto piu di quella che mi hanno dato I Prof). Credo che Hamilton e l'ultimo dopo di lui (che ha citato il "mostro" in persona) si avvicinano molto a quello che cerco.
Quello che dico e: immaginando di avere nella tua faretra:
1: La legge di Coulomb e la forza di Lorentz
2. Biot Savart che mette in relazione il campo magnetico con le sorgenti
3 . La legge di induzione di farday lenz (mi piacerebbe derivare anche quella ma ho visto che c'è tra la relatività quindi aspetto di diventare bravo in quella prima). Diamola per buona
4. La relatività (solo se strettamente necessario)
5. Le equazioni di Maxwell sulla divergenza di D, la divergenza di B e sul rotore di E.
E possibile usando queste armi derivare quanto fa il rotore di B, in particolare come motivi (o derivi) la presenza della corrente di spostamento?
Quello che dico e: immaginando di avere nella tua faretra:
1: La legge di Coulomb e la forza di Lorentz
2. Biot Savart che mette in relazione il campo magnetico con le sorgenti
3 . La legge di induzione di farday lenz (mi piacerebbe derivare anche quella ma ho visto che c'è tra la relatività quindi aspetto di diventare bravo in quella prima). Diamola per buona
4. La relatività (solo se strettamente necessario)
5. Le equazioni di Maxwell sulla divergenza di D, la divergenza di B e sul rotore di E.
E possibile usando queste armi derivare quanto fa il rotore di B, in particolare come motivi (o derivi) la presenza della corrente di spostamento?
Mi permetto di intervenire nella discussione per precisare giusto una cosa per newton_1372: le equazioni di Maxwell, come in generale tutte le equazioni della fisica, cercano in qualche modo di descrivere i fenomeni fisici che naturalmente si presentano.
Con questo voglio dire che non sempre è possibile dimostrare per via analitica che una equazione ( anzi meglio dire una relazione ) è corretta perchè a volte è solo il mondo fisico a dimostrare ciò.
E' un pò come la teoria della relatività: nessuno è mai riuscita a dimostrarla in modo rigoroso, ma oggi sappiamo che le cose stanno così grazie agli esperimenti scientifici.
Con questo voglio dire che non sempre è possibile dimostrare per via analitica che una equazione ( anzi meglio dire una relazione ) è corretta perchè a volte è solo il mondo fisico a dimostrare ciò.
E' un pò come la teoria della relatività: nessuno è mai riuscita a dimostrarla in modo rigoroso, ma oggi sappiamo che le cose stanno così grazie agli esperimenti scientifici.
infatti mi piacerebbe trovare un libro che partendo da 2-3 fatti sperimentali (che prendo come "assiomi") mi derivi tutta la fisica in modo architettonicamente perfetto, senza amenità del tipo "si vede che", "è fatto sperimentale che..." e altri inestetismi che mi causano il mal di fegato.
Per esempio ho un libro che mi dice che "è un fatto sperimentale che la divergenza di B è nulla", mentre penso che sia molto piu elegante partire da biot savart, tirare fuori il potenziale vettore e da lì DEDURRE che div B=0 (in quanto la divergenza di un rotore è nulla)
Ma non ne ho trovato nessuno finora che mi soddisfi
Tornando alla discussione...se prendo come "assiomi" le prime tre eq. di maxwell, biot savart, lorenz e faraday, posso ricavare rigorosamente la 4?
Per esempio ho un libro che mi dice che "è un fatto sperimentale che la divergenza di B è nulla", mentre penso che sia molto piu elegante partire da biot savart, tirare fuori il potenziale vettore e da lì DEDURRE che div B=0 (in quanto la divergenza di un rotore è nulla)
Ma non ne ho trovato nessuno finora che mi soddisfi
Tornando alla discussione...se prendo come "assiomi" le prime tre eq. di maxwell, biot savart, lorenz e faraday, posso ricavare rigorosamente la 4?
Non credo: quando studiai i campi elettromagnetici, la prima cosa che spiegò il prof fu che Maxwell non si inventò niente di nuovo, ma fece un pò di ordine tra tutte le teorie, equazioni ed esperienze varie che vi erano sui campi e ne tirò fuori un modello che era l'essenza di tutto quello che c'era.
Quello che puoi fare è l'inverso: ad esempio, se guardi la seconda equazione di Maxwell ( quella sulla circuitazione di E ) scopri che è banalmente la legge di Faraday - Lenz e via dicendo
Quello che puoi fare è l'inverso: ad esempio, se guardi la seconda equazione di Maxwell ( quella sulla circuitazione di E ) scopri che è banalmente la legge di Faraday - Lenz e via dicendo
Anche il Feynman fa così..addirittura lui dà come "speirmentali" direttamente le 4 equazioni di maxwell....però mi fa arricciare il naso quest'impostazione, non mi piace...anche perchè in laboratorio misuri cose concrete come un accelerazione o una forza, non certo i "campi" che mi sembrano pure astrazioni matematiche..
Eh no qui sbagli: i campi elettrico e magnetico sono entità che veramente esistono in natura altro che pure astrazioni matematiche
si lo so...ma diciamo che non è quello che misuri in laboratorio...
Certo che lo misuri: esistono strumenti che puoi anche comprare tu che ti permettono di misurare i campi elettrici e magnetici.
C'è tutto un settore professionale, quello relativo alla compatibilità elettromagnetica che, tra le altre cose, ha il compito di misurare le intensità dei campi elettromagnetici
C'è tutto un settore professionale, quello relativo alla compatibilità elettromagnetica che, tra le altre cose, ha il compito di misurare le intensità dei campi elettromagnetici
Tornando al post 15 agosto 2014?
Se ho ben capito, tu vorresti trovare una dipendenza della quarta eq. di Max. dalle altre tre. Se il problema è quello, allora temo non vi sia soluzione. La quarta non dipende dalle atre.
Storicamente, Maxwell arrangiò i fatti sperimentali a lui noti nelle sue celeberrime quattro eq. Successivamente, qualcuno cercò un livello superiore: le quattro derivano da quacosa di più in alto? La risposta fu trovata nel qadrivettore potenziale ed in una partcolare azione $S$ su cui applicare il principio di minima azione.
Applicando il principio di minima azione a tale particolare azione che contiene il quadrivettore potenziale ed alcune importanti simmetrie, si ottengono le quattro eq. di Max. e la forza di Lorentz.
Il problema della ricerca di principi superiori, però, così non è risolto, è solo spostato di un po'. Infatti, perchè la forma metematica di quell'azione deve essere proprio così? La risposta è: perchè così si ottengono le eq. di Max. che sono verificabili sperimentalmenre.
Insomma, in fisica non si esce dalla natura! Infatti fisica significa natura in greco:)
Storicamente, Maxwell arrangiò i fatti sperimentali a lui noti nelle sue celeberrime quattro eq. Successivamente, qualcuno cercò un livello superiore: le quattro derivano da quacosa di più in alto? La risposta fu trovata nel qadrivettore potenziale ed in una partcolare azione $S$ su cui applicare il principio di minima azione.
Applicando il principio di minima azione a tale particolare azione che contiene il quadrivettore potenziale ed alcune importanti simmetrie, si ottengono le quattro eq. di Max. e la forza di Lorentz.
Il problema della ricerca di principi superiori, però, così non è risolto, è solo spostato di un po'. Infatti, perchè la forma metematica di quell'azione deve essere proprio così? La risposta è: perchè così si ottengono le eq. di Max. che sono verificabili sperimentalmenre.
Insomma, in fisica non si esce dalla natura! Infatti fisica significa natura in greco:)
E' quello che abbiamo cercato di fargli capire in tutte le lingue: un modello matematico, qualunque esso sia, deve riprodurre la realtà delle cose. Maxwell, e i molti prima di loro, studiavano prima i fenomeni fisici e poi cercavano di dargli una interpretazione matematica. Quindi non sempre puoi dimostrare una legge con la sola matematica.
PS: lo stesso Einstein ( a costo di ripetermi ) dimostrò la sua teoria con una eclissi!
PS: lo stesso Einstein ( a costo di ripetermi ) dimostrò la sua teoria con una eclissi!
E se volessi derivare la (IV) usando, oltre le prime 3 equazioni, anche la forza di Lorentz, la forza di Coulomb e la legge di Biot Savart? Cioè come è stato trovato quella derivata parziale di D rispetto al tempo? Per "fattore C"?
Ho l'impressione che tu voglia trollare un pò oggi tra questo e l'altro post.
Hai mai sentito parlare di metodo scientifico? Si osserva un fenomeno tramite l'osservazione sperimentale e se ne da una rappresentazione matematica/teorica; ed è quello che hanno fatto questi signori nel corso della storia.
Quindi fattene una ragione: non puoi dimostrare tutto dalla matematica, ma devi affidarti all'esperienza quotidiana
Hai mai sentito parlare di metodo scientifico? Si osserva un fenomeno tramite l'osservazione sperimentale e se ne da una rappresentazione matematica/teorica; ed è quello che hanno fatto questi signori nel corso della storia.
Quindi fattene una ragione: non puoi dimostrare tutto dalla matematica, ma devi affidarti all'esperienza quotidiana
Ma scherzi, io non sono un tipo che trolla!
La cosa che mi suona un pò strana, è che "tutte" le quattro equazioni di maxwell, inclusa la 4 solo nel caso stazionario, mi sono state derivate da biot savart, coulomb, e lorentz...per esempio da Lorentz mi è stato ricavato il termine "non conservativo" del campo elettrico:
$$\nabla\wedge E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$
mentre la correzione dell'equazione del rotore di H con la dE/dt (con la corrente di spostamento) mi sembra un pò (e improvvisamente) "calata dal cielo"...essendo "l'unica" cosa non derivata da biot savart, lorentz e coulomb, la cosa mi è sembrata un pò strana
La cosa che mi suona un pò strana, è che "tutte" le quattro equazioni di maxwell, inclusa la 4 solo nel caso stazionario, mi sono state derivate da biot savart, coulomb, e lorentz...per esempio da Lorentz mi è stato ricavato il termine "non conservativo" del campo elettrico:
$$\nabla\wedge E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$
mentre la correzione dell'equazione del rotore di H con la dE/dt (con la corrente di spostamento) mi sembra un pò (e improvvisamente) "calata dal cielo"...essendo "l'unica" cosa non derivata da biot savart, lorentz e coulomb, la cosa mi è sembrata un pò strana
Come ti abbiamo più volte detto, è una questione del tutto sperimentale e dubito che riuscirai a venirne a capo
Ti rispondo rapidamente perché sono molto incuriosito e anche se vado di fretta ci tenevo a specificare una cosa:
Non ha alcun senso derivare qualsiasi cosa da biot-savart e Coulomb.
Coulomb e biot-savart valgono solo in alcuni casi molto speciali e comunque non sono assolutamente relativistiche. Inoltre, siccome descrivono i campi generati dalle sorgenti (sorgenti speciali, tra l'altro, ma non è questo il punto) non possono descrivere i gradi di libertà del campo EM. Il che vuol dire: niente onde EM, niente fotoni.
Ti ripeto che si può tirare tutto fuori a partire da un unico principio, l'invarianza di gauge locale. Ti rimando ad un testo straordinario, il Wilson & Rubakov. È una trattazione dettagliatissima delle teorie di gauge che posticipa la quantizzazione fino all'ultimo, e dunque si concentra esplicitamente sugli aspetti geometrici della costruzione della teoria classica.
Riguardo alla diatriba sugli osservabili, i campi elettromagnetici sono osservabili, ma non sono tutti gli osservabili (vedi Aharonov-Bohm). In generale, le quantità osservabili sono generate dai loop di Wilson, ovvero gli integrali di linea del potenziale sui circuiti (queste quantità si possono misurare con un interferometro). Ti lascio come esercizio di verificare che nel caso dell'elettromagnetismo questo include i campi elettrico e magnetico, ma non i potenziali stessi.
[ho modificato un pochino questa risposta]
Non ha alcun senso derivare qualsiasi cosa da biot-savart e Coulomb.
Coulomb e biot-savart valgono solo in alcuni casi molto speciali e comunque non sono assolutamente relativistiche. Inoltre, siccome descrivono i campi generati dalle sorgenti (sorgenti speciali, tra l'altro, ma non è questo il punto) non possono descrivere i gradi di libertà del campo EM. Il che vuol dire: niente onde EM, niente fotoni.
Ti ripeto che si può tirare tutto fuori a partire da un unico principio, l'invarianza di gauge locale. Ti rimando ad un testo straordinario, il Wilson & Rubakov. È una trattazione dettagliatissima delle teorie di gauge che posticipa la quantizzazione fino all'ultimo, e dunque si concentra esplicitamente sugli aspetti geometrici della costruzione della teoria classica.
Riguardo alla diatriba sugli osservabili, i campi elettromagnetici sono osservabili, ma non sono tutti gli osservabili (vedi Aharonov-Bohm). In generale, le quantità osservabili sono generate dai loop di Wilson, ovvero gli integrali di linea del potenziale sui circuiti (queste quantità si possono misurare con un interferometro). Ti lascio come esercizio di verificare che nel caso dell'elettromagnetismo questo include i campi elettrico e magnetico, ma non i potenziali stessi.
[ho modificato un pochino questa risposta]
Cosa si intende per "teorie di Gauge"? MI sembra roba molto astratta..le leggi della fisica non dovrebbero ricavarsi da pochi fatti sperimentali?
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