Derivazione quarta equazione di Maxwell caso non stazionario
Ho letto che la quarta equazione di Maxwell
$\nabla \times H = J$ (1)
va corretta nel caso stazionario con
$\nabla \times H = J+\frac{\partial D}{\partial t}$
C'è un modo per derivare "teoricamente" in modo rigoroso la correzione $\frac{\partial D}{\partial t}$? Da dove viene questo termine in più? In molti testi ho trovato una "pseudo spiegazione" nel fatto che dall'equazione di continuità, applicando la divergenza a entrambi i membri, otterrei
$0=\nabla\cdot J = $(equazione di continuità) $\frac{\partial\rho}{\partial t}$, ovvero l'equazione (1) vale solo se rho non cambia nel tempo. Dalla prima equazione ho che $\rho = \nabla\cdot D$ e quindi
$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot \frac{\partial D}{\partial t}$, e l'equazione di continuità diventa
$\nabla\cdot (J+\frac{\partial \rho}{\partial t})=0$.
Viene fatto notare che, essendo il vettore J+drho/dt a divergenza nulla, "si presta bene" a sostituire il semplice J nel caso stazionario. Questo però non mi sembra risolutivo: infatti potrei prendere una qualsiasi altra quantità a divergenza nulla...con lo stesso criterio potrei appiopparla al posto di J.
C'è una qualche ragione insita nella teoria che mi spinge a prendere come "correzione" proprio dD/dt?
$\nabla \times H = J$ (1)
va corretta nel caso stazionario con
$\nabla \times H = J+\frac{\partial D}{\partial t}$
C'è un modo per derivare "teoricamente" in modo rigoroso la correzione $\frac{\partial D}{\partial t}$? Da dove viene questo termine in più? In molti testi ho trovato una "pseudo spiegazione" nel fatto che dall'equazione di continuità, applicando la divergenza a entrambi i membri, otterrei
$0=\nabla\cdot J = $(equazione di continuità) $\frac{\partial\rho}{\partial t}$, ovvero l'equazione (1) vale solo se rho non cambia nel tempo. Dalla prima equazione ho che $\rho = \nabla\cdot D$ e quindi
$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \nabla\cdot \frac{\partial D}{\partial t}$, e l'equazione di continuità diventa
$\nabla\cdot (J+\frac{\partial \rho}{\partial t})=0$.
Viene fatto notare che, essendo il vettore J+drho/dt a divergenza nulla, "si presta bene" a sostituire il semplice J nel caso stazionario. Questo però non mi sembra risolutivo: infatti potrei prendere una qualsiasi altra quantità a divergenza nulla...con lo stesso criterio potrei appiopparla al posto di J.
C'è una qualche ragione insita nella teoria che mi spinge a prendere come "correzione" proprio dD/dt?
Risposte
"newton_1372":
le leggi della fisica non dovrebbero ricavarsi da pochi fatti sperimentali?
No. Una teoria è ispirata da risultati sperimentali in contraddizione con le teorie precedenti, si ricava (o si spera che si possa...) idealmente da una serie di postulati o principi fondamentali che dir si voglia, e poi deve conformarsi nelle previsioni ai dati sperimentali e fare previsioni inedite. Le previsioni devono chiaramente verificarsi in esperimenti futuri.
Sì, le teorie di gauge sono roba molto astratta, ma estremamente potente e generale. Tutte le interazioni fondamentali sono teorie di gauge - l'interazione forte, l'elettrodebole, e la gravitazionale.
L'idea di base è questa: nella gravitazione newtoniana, o nell'elettrostatica (visto che sono praticamente teorie identiche) avrai notato che il potenziale è definito a meno di un'ambiguità. Ovvero, i potenziali $\phi(x)$ e $\phi(x) + \alpha$, dove $\alpha$ è una qualunque costante, sono equivalenti. Infatti tale trasformazione non induce una variazione nel campo elettrico:
$E = \nabla \phi$
La trasformazione si dice di gauge ed $E$ è invariante di gauge*. Le equazioni che definiscono l'elettrostatica sono (in unità scese dal cielo):
$\nabla \cdot E = \rho$
$\nabla \times E = 0$
Queste però come equazioni del moto fanno schifo. Sono quattro equazioni per tre incognite. Il punto è che parte di queste equazioni, in un certo senso, fanno da vincolo. Ed è assolutamente non banale che tali equazioni abbiano sempre soluzione (sotto ipotesi ragionevoli), eppure così è. Questo è molto più facile da interpretare se scegliamo piuttosto come coordinate dinamiche il potenziale, che esiste perché $E$ è irrotazionale. La prima equazione diventa
$\nabla^2 \phi = \rho$
e la seconda è soddisfatta automaticamente. Una equazione per una funzione. Profondo. Sarebbe carino riscrivere tutto in termini del potenziale, ma rimane il problema dell'ambiguità di gauge.
Un altro motivo più convincente per cui il potenziale è più comodo delle intensità di campo, e anzi, i campi $E$ e $B$ non bastano per fare fisica, è l'effetto Aharonov-Bohm, assolutamente sconvolgente http://www.df.unipi.it/~konishi/mqelettmag.pdf
Dunque questa idea apparentemente innocua, che la descrizione delle dinamiche sia molto più "naturale" (è un "naturale" che si può ben formalizzare) in termini di quantità assolutamente non osservabili (i potenziali) le quali ammettono infinite configurazioni diverse ma fisicamente identiche, piuttosto che in termini degli osservabili, è incredibilmente potente. Non solo dalla sola invarianza di gauge puoi ricavare praticamente tutto sulla struttura e sulla dinamica dei campi e anche delle sorgenti, ma risulta anche che, gratuitamente, la natura ha scelto esclusivamente teorie che soddisfano questo principio per le interazioni fondamentali (e dunque imponendo anche vincoli sul resto del contenuto dell'universo, ovvero le "sorgenti" per le interazioni).
L'ubiquità delle teorie di gauge ha quasi sicuramente a che fare con il fatto che ammettono un'interpretazione geometrica (la relatività generale è una teoria geometrica E una teoria di gauge, non c'è contraddizione). Viene da pensare subito che possano scaturire da un qualche tipo di simmetria di una qualche dimensione extra o concetti simili (ci sono tantissimi modi di interpretare questa frase molto vaga, quasi tutti motivo di ricerca)
Trovo molto illuminante sull'argomento il primo modello al riguardo, la Kaluza-Klein, che è sbagliata. Nel senso che non torna con l'esperimento, ma è un'idea geniale, è sia d'ispirazione, sia educativa. Prendi uno spaziotempo 5-dimensionale (1 dim tempo, 4 di spazio). Prendi la quinta dimensione e la compattifichi in un piccolo cerchio. Prendi la relatività generale in cinque dimensioni (spaziotempo curvo, paradossi dei gemelli, buchi neri, quello che ti pare) e la fai andare su uno spazio del genere. Quello che risulta su grande scala (scala molto più grande del raggio della quinta dimensione) è che ti ritrovi un universo sostanzialmente 4-dimensionale con la gravità 4-dimensionale, più altri gradi di libertà (campi) che sono le oscillazioni e perturbazioni della quinta. La sorpresa è che questi campi sono indistinguibili da quelli dell'elettromagnetismo. Cioè la gravità in 5-dim quando ne compattifichi una ti dà la gravità in 4 più l'elettromagnetismo.
Questi qua avevano unificato l'elettromagnetismo con la gravità, rendiamoci conto.
Questa manovra si poteva fare perché le due teorie sono molto compatibili. L'elettromagnetismo è una teoria di gauge con gruppo di gauge (ovvero il gruppo delle trasformazioni di gauge) $U(1)$, che vuol dire i complessi di modulo uno sotto moltiplicazione. Questi si comportano come rotazioni nel piano complesso (fase del prodotto di complessi = somma delle fasi, no?). Che curva formano i complessi unitari?
Un cerchio. Questa non è una coincidenza.
Questo era solo per fare pubblicità alla simmetria di gauge, non voleva essere un'introduzione. Ce ne sono migliaia.
* nota tecnica: che l'intensità di campo sia invariante di gauge non è un aspetto generale e non vale in una teoria non abeliana. Giusto una specifica nel caso arrivasse qualcuno di più esperto a sbugiardarmi
P.S.: gauge è minuscolo, l'etimologia del termine sembra molto bizzarra se la vai a vedere ma ha un senso profondissimo. Ma quello andrà in un altro post al massimo.
Provo a interpretare: è "come se" l'elettromagnetismo fosse una specie di gravità a meno di sommare con qualche funzione che lascia inalterato il potenziale? Intendo secondo la teoria da te citata (unificare elettromagnetismo e gravità è proprio il mio sogno)
Allora, chiarifico un attimo.
La prima analogia riguardava l'elettrostatica e la gravitazione newtoniana, che sono teorie nonrelativistiche. Siccome sono identiche, è ovvio che abbiano tutto in comune. In particolare l'invarianza di gauge, e si possono riscrivere in termini di potenziali ai quali si può aggiungere una costante.
La seconda è diversa, riguarda le teorie completamente relativistiche corrispondenti, che sono l'elettromagnetismo e la relatività generale. Sono teorie molto diverse. L'elettromagnetismo è una teoria vettoriale, spin 1, perché il campo fondamentale sono i potenziali scalare e vettoriale che insieme formano un quadrivettore in 4D. La gravità è mediata invece da una matrice simmetrica, il tensore metrico, quindi i mediatori hanno spin 2. Un'altra differenza profondissima è che l'EM è background-dependent, ovvero si svolge su uno spaziotempo dato a priori, insomma, gli serve il palco già pronto. La GR è background independent, è lei che crea ed evolve lo spaziotempo, e le perturbazioni sullo spaziotempo sono i gradi di libertà locali della GR.
Quindi teorie drasticamente diverse. Ma accomunate dal fatto che sono di gauge. Ovvero esistono delle quantità che non sono fisiche ma rispetto alle quali descrivere la dinamica è più naturale in un qualche senso. Queste quantità sono cambiate da una trasformazione di gauge (nell'EM il potenziale si prende un quadrigradiente, nella gravità è un casino ma funziona più o meno uguale). Le trasformazioni di gauge si possono vedere come cambi di coordinate. In effetti in GR sono esattamente i cambi di coordinate nello spaziotempo! Questo ti fa pensare che l'EM forse è solo la geometria di qualche spazio 'interno', oltre a quello fisico, qualsiasi cosa questo voglia dire.
L'unificazione di GR ed EM è un bellissimo progetto che fallisce miseramente perché faceva una serie di previsioni che non sono state riscontrate sperimentalmente. Inoltre abbiamo già unificato l'EM con i fenomeni deboli nella teoria elettrodebole (che è una teoria di gauge), quindi non ha senso unire GR e EM, perché sopra una certa temperatura l'EM non esiste. Quello specifico sogno lo seppellirei. Ma dall'evoluzione delle costanti di accoppiamento si vede che si deve avere l'unificazione della forza forte con quella elettrodebole ad una scala di energie molto alta che è la scala GUT. Questa scala è relativamente vicina alla scala di Planck che è quella a cui la GR passa al suo equivalente quantistico; quindi si sta cercando di chiarire se c'entri qualcosa e se la GUT preveda anche l'unificazione con la gravità oppure se questa sia una cosa che venga ancora più in là. Comunque c'è lavoro da fare e se ti piacciono le unificazioni è questa la trincea.
Diciamo che il prezioso succo della Kaluza-Klein è suggerire che in un certo senso l'EM è la relatività generale di un anellino. È falso ma è un'idea molto potente. L'idea è che tu hai una gravità 5D mediata dunque da un tensore metrico che è 5x5. Allora la sottomatrice 4x4 diventa il tensore metrico del 4D e ti avanzano altre 5 caselle (solo 5 perché è simmetrico) e 4 ti fanno il quadripotenziale EM e uno diventa un dilatone (più o meno).
L'invarianza di gauge dell'EM (ovvero che puoi aggiungere un quadrigradiente al potenziale vettore senza cambiare la fisica) esce naturalmente fuori dai cambi di coordinate sulla quinta dimensione!
La prima analogia riguardava l'elettrostatica e la gravitazione newtoniana, che sono teorie nonrelativistiche. Siccome sono identiche, è ovvio che abbiano tutto in comune. In particolare l'invarianza di gauge, e si possono riscrivere in termini di potenziali ai quali si può aggiungere una costante.
La seconda è diversa, riguarda le teorie completamente relativistiche corrispondenti, che sono l'elettromagnetismo e la relatività generale. Sono teorie molto diverse. L'elettromagnetismo è una teoria vettoriale, spin 1, perché il campo fondamentale sono i potenziali scalare e vettoriale che insieme formano un quadrivettore in 4D. La gravità è mediata invece da una matrice simmetrica, il tensore metrico, quindi i mediatori hanno spin 2. Un'altra differenza profondissima è che l'EM è background-dependent, ovvero si svolge su uno spaziotempo dato a priori, insomma, gli serve il palco già pronto. La GR è background independent, è lei che crea ed evolve lo spaziotempo, e le perturbazioni sullo spaziotempo sono i gradi di libertà locali della GR.
Quindi teorie drasticamente diverse. Ma accomunate dal fatto che sono di gauge. Ovvero esistono delle quantità che non sono fisiche ma rispetto alle quali descrivere la dinamica è più naturale in un qualche senso. Queste quantità sono cambiate da una trasformazione di gauge (nell'EM il potenziale si prende un quadrigradiente, nella gravità è un casino ma funziona più o meno uguale). Le trasformazioni di gauge si possono vedere come cambi di coordinate. In effetti in GR sono esattamente i cambi di coordinate nello spaziotempo! Questo ti fa pensare che l'EM forse è solo la geometria di qualche spazio 'interno', oltre a quello fisico, qualsiasi cosa questo voglia dire.
L'unificazione di GR ed EM è un bellissimo progetto che fallisce miseramente perché faceva una serie di previsioni che non sono state riscontrate sperimentalmente. Inoltre abbiamo già unificato l'EM con i fenomeni deboli nella teoria elettrodebole (che è una teoria di gauge), quindi non ha senso unire GR e EM, perché sopra una certa temperatura l'EM non esiste. Quello specifico sogno lo seppellirei. Ma dall'evoluzione delle costanti di accoppiamento si vede che si deve avere l'unificazione della forza forte con quella elettrodebole ad una scala di energie molto alta che è la scala GUT. Questa scala è relativamente vicina alla scala di Planck che è quella a cui la GR passa al suo equivalente quantistico; quindi si sta cercando di chiarire se c'entri qualcosa e se la GUT preveda anche l'unificazione con la gravità oppure se questa sia una cosa che venga ancora più in là. Comunque c'è lavoro da fare e se ti piacciono le unificazioni è questa la trincea.
Diciamo che il prezioso succo della Kaluza-Klein è suggerire che in un certo senso l'EM è la relatività generale di un anellino. È falso ma è un'idea molto potente. L'idea è che tu hai una gravità 5D mediata dunque da un tensore metrico che è 5x5. Allora la sottomatrice 4x4 diventa il tensore metrico del 4D e ti avanzano altre 5 caselle (solo 5 perché è simmetrico) e 4 ti fanno il quadripotenziale EM e uno diventa un dilatone (più o meno).
L'invarianza di gauge dell'EM (ovvero che puoi aggiungere un quadrigradiente al potenziale vettore senza cambiare la fisica) esce naturalmente fuori dai cambi di coordinate sulla quinta dimensione!
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