Derivata covariante di un tensore
Buongiorno a tutti, sto avendo un paio di problemi con dei concetti formali riguardo alla derivata covariante. Dal mio corso di General Relativity ho imparato su un paio di libri[nota]uno di Hartle; uno di Hobson e uno di Carroll se non ricordo male[/nota] che la derivata covariante ci viene in soccorso nel momento in cui andiamo a considerare derivata di vettori (o tensori) in spazi non piatti, poiché la derivata "normale" è definita dalla "differenza" di due vettori in due punti infinitamente distanti. Su una qualsiasi varietà i vettori sono definiti solamenti nello spazio tangente alla varietà in quel punto e quindi non è possibile effettuare la differenza diretta tra due vettori che vivono in spazi tangenti diversi. La definizione che ho studiato io è la seguente: $$ \nabla_\alpha v^\beta=\partial_\alpha v^\beta +\Gamma^\beta_{\alpha\lambda}v^\lambda $$
Giustamente la derivata covariante di un tensore di rango 1 restituisce un tensore di rango 2. La mia domanda ora è: questa scrittura $\nabla_\alpha v^\beta$ è formalmente corretta? Il mio dubbio sorge nel momento in cui io devo calcolare la divergenza covariante di un tensore: $u_{ ;a}^a$ in cui il punto e virgola identifica la derivata covariante. Infatti io sarei tentato di scrivere $$u^a_{\,;a}=u^0_{\,;0}+u^1_{\,;1}+u^2_{\,;2}+u^3_{\,;3}$$
che però non mi sembra molto corretta (si legga "legale") formalmente. $u_{ ;0}^0$ non la intendo come la componente 00 della derivata covariante di $u$ ma come la derivata covariante lungo 0 della componente 0 di $u$. In questo modo ottengo la derivata covariante lungo 0 di uno scalare e quindi mi rimane solamente il fatto che per uno scalare $\phi$ ho $$\nabla_\mu \phi=\partial_\mu \phi$$
La mia domanda da fisico è quindi: è legale matematicamente scrivere la derivata covariante come $\nabla_\alpha u^beta$ ?
Grazie mille!
Giustamente la derivata covariante di un tensore di rango 1 restituisce un tensore di rango 2. La mia domanda ora è: questa scrittura $\nabla_\alpha v^\beta$ è formalmente corretta? Il mio dubbio sorge nel momento in cui io devo calcolare la divergenza covariante di un tensore: $u_{ ;a}^a$ in cui il punto e virgola identifica la derivata covariante. Infatti io sarei tentato di scrivere $$u^a_{\,;a}=u^0_{\,;0}+u^1_{\,;1}+u^2_{\,;2}+u^3_{\,;3}$$
che però non mi sembra molto corretta (si legga "legale") formalmente. $u_{ ;0}^0$ non la intendo come la componente 00 della derivata covariante di $u$ ma come la derivata covariante lungo 0 della componente 0 di $u$. In questo modo ottengo la derivata covariante lungo 0 di uno scalare e quindi mi rimane solamente il fatto che per uno scalare $\phi$ ho $$\nabla_\mu \phi=\partial_\mu \phi$$
La mia domanda da fisico è quindi: è legale matematicamente scrivere la derivata covariante come $\nabla_\alpha u^beta$ ?
Grazie mille!
Risposte
Risposta molto breve : sí , é legale. Non ti arrestano.
Risposta un po’ più lunga :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8494352
compreso i vari link. Oppure ti guardi il cap 5 di questo corso :
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
Risposta un po’ più lunga :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8494352
compreso i vari link. Oppure ti guardi il cap 5 di questo corso :
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
Grazie mille! Non vorrei mai finire nella prigione dei matematici 
Il problema sorgeva questa mattina quando online mi è stato detto che l'espressione $u_{;0}^{0}$ non ha alcun significato perché non ha senso fare la derivata covariante della componente di un vettore e quindi io sono rimasto un po' spiazzato, però a quanto pare $$u^0_{\,;0}=\partial_0u^0+\Gamma^0_{0\lambda}u^\lambda$$ non genera alcuna confusione. Grazie mille anche per queste ottime note: sono fantastiche!
Il problema sorgeva questa mattina quando online mi è stato detto che l'espressione $u_{;0}^{0}$ non ha alcun significato perché non ha senso fare la derivata covariante della componente di un vettore e quindi io sono rimasto un po' spiazzato, però a quanto pare $$u^0_{\,;0}=\partial_0u^0+\Gamma^0_{0\lambda}u^\lambda$$ non genera alcuna confusione. Grazie mille anche per queste ottime note: sono fantastiche!
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