Densità, volume e forza, un piccolo problema
Salve a tutti del forum, oggi mi ritrovo alle prese con questo quesito elementare :
Un contenitore cilindrico e un contenitore conico hanno la stessa altezza, pari a 10 cm, e la stessa
area di base, pari a 10^3 cm^2. Entrambi poggiano con la loro base su un piano orizzontale e sono
interamente riempiti con un olio avente una densità di 900 g/l.
Assumendo che sia g=10 m/s2, l’intensità della forza esercitata dall’olio sul fondo del recipiente è:
A) 90 N sia per il cilindro che per il cono
B) 90 N per il cilindro e 30 N per il cono
C) 9 N sia per il cilindro che per il cono
D) 9 N per il cilindro e 3 N per il cono
E) è superiore, per l’elevata viscosità dell’olio, a quella che si sarebbe prodotta se i recipienti fossero
stati riempiti di acqua distillata
L'ho impostato così, la densità è il rapporto tra quantità di massa per unità di volume..il volume del cilindro è 10^4 cm^3
mentre il volume del cono è (10^4)/3 cm^3.
10^4 cm^3 = 0,01 m^3
(10^4)/3 cm^3 = (0,01)/3 m^3
Siccome 1m^3= 1000 litri
allora la capacità del cilindro in litro è =10 litri
la capacità del cono è 10/3 litri
la densità è 900g/l cioè 0,9kg/l..a questo punto per sapere la massa di olio contenuta nel cilindro e nel cono basta moltiplicare 0,9kg per le rispettive capacità in litri
per cui
nel cilindro ci sono 9kg di olio
nel cono ci sono 3kg di olio
per il secondo principio delle dinamica F=ma la forza che esercita l'olio nel cilindro è di 90N e la forza esercitata dall'olio sulla base del cono è di 30N
Secondo il mio ragionamento la risposta corretta sarebbe la B)
Invece nelle soluzioni dice che la risposta corretta è la A)!!!! Come è possibile?
Cosa ho sbagliato? proprio non riesco a capire come sia possibile che sulle basi venga esercitata la stessa forza visto che per forza di cose uno contiene più olio e l'altro di meno..
Spero in un chiarimento..
Un contenitore cilindrico e un contenitore conico hanno la stessa altezza, pari a 10 cm, e la stessa
area di base, pari a 10^3 cm^2. Entrambi poggiano con la loro base su un piano orizzontale e sono
interamente riempiti con un olio avente una densità di 900 g/l.
Assumendo che sia g=10 m/s2, l’intensità della forza esercitata dall’olio sul fondo del recipiente è:
A) 90 N sia per il cilindro che per il cono
B) 90 N per il cilindro e 30 N per il cono
C) 9 N sia per il cilindro che per il cono
D) 9 N per il cilindro e 3 N per il cono
E) è superiore, per l’elevata viscosità dell’olio, a quella che si sarebbe prodotta se i recipienti fossero
stati riempiti di acqua distillata
L'ho impostato così, la densità è il rapporto tra quantità di massa per unità di volume..il volume del cilindro è 10^4 cm^3
mentre il volume del cono è (10^4)/3 cm^3.
10^4 cm^3 = 0,01 m^3
(10^4)/3 cm^3 = (0,01)/3 m^3
Siccome 1m^3= 1000 litri
allora la capacità del cilindro in litro è =10 litri
la capacità del cono è 10/3 litri
la densità è 900g/l cioè 0,9kg/l..a questo punto per sapere la massa di olio contenuta nel cilindro e nel cono basta moltiplicare 0,9kg per le rispettive capacità in litri
per cui
nel cilindro ci sono 9kg di olio
nel cono ci sono 3kg di olio
per il secondo principio delle dinamica F=ma la forza che esercita l'olio nel cilindro è di 90N e la forza esercitata dall'olio sulla base del cono è di 30N
Secondo il mio ragionamento la risposta corretta sarebbe la B)
Invece nelle soluzioni dice che la risposta corretta è la A)!!!! Come è possibile?
Cosa ho sbagliato? proprio non riesco a capire come sia possibile che sulle basi venga esercitata la stessa forza visto che per forza di cose uno contiene più olio e l'altro di meno..
Spero in un chiarimento..
Risposte
Questo è un classico problemino di Idrostatica.
Quindi innanzitutto lascia stare $F=ma$, che non serve proprio a niente qui.
La pressione relativa in un punto a profondità $h$ sotto la superficie libera di un liquido è data dalla legge di Stevino :
$ p = \rho*g*h$ . Tale pressione è indipendente dalla forma del recipiente, e dalla massa contenuta, dipende solo da densità e altezza, oltre che da $g$.
PErciò la forza esercitata sul fondo del recipiente, detta $A$ l'area del fondo, è data da : $ F = p*A$. Se i due recipienti hanno la stessa area, la forza totale esercitata dal liquido sul fondo è evidentemente la stessa nei due casi, quindi è corretta la risposta $A$.
Questo è tutto. Non devi calcolare volumi o pesi. Il rpoblema non ti chiede " quale dei due volumi di liquido ha massa maggiore e quindi pesa di più" . Se ti chiedesse il peso delle due quantità, allora sì che dovresti fare il calcolo che hai fatto.
Ma non te lo chiede.
Supponi di avere un terzo recipiente, fatto a forma di tronco di cono, con base minore sempre uguale al cerchio dato, ma base maggiore grandissima, enorme. Se il liquido ha la stessa altezza, la pressione sul fondo è la stessa, e così la forza totale.
Quindi innanzitutto lascia stare $F=ma$, che non serve proprio a niente qui.
La pressione relativa in un punto a profondità $h$ sotto la superficie libera di un liquido è data dalla legge di Stevino :
$ p = \rho*g*h$ . Tale pressione è indipendente dalla forma del recipiente, e dalla massa contenuta, dipende solo da densità e altezza, oltre che da $g$.
PErciò la forza esercitata sul fondo del recipiente, detta $A$ l'area del fondo, è data da : $ F = p*A$. Se i due recipienti hanno la stessa area, la forza totale esercitata dal liquido sul fondo è evidentemente la stessa nei due casi, quindi è corretta la risposta $A$.
Questo è tutto. Non devi calcolare volumi o pesi. Il rpoblema non ti chiede " quale dei due volumi di liquido ha massa maggiore e quindi pesa di più" . Se ti chiedesse il peso delle due quantità, allora sì che dovresti fare il calcolo che hai fatto.
Ma non te lo chiede.
Supponi di avere un terzo recipiente, fatto a forma di tronco di cono, con base minore sempre uguale al cerchio dato, ma base maggiore grandissima, enorme. Se il liquido ha la stessa altezza, la pressione sul fondo è la stessa, e così la forza totale.
"navigatore":
...
Se i due recipienti hanno la stessa area, la forza totale esercitata dal liquido sul fondo è evidentemente la stessa nei due casi, quindi è corretta la risposta $A$
.....
Ma per escludere la risposta $C$?
Fai il calcolo della pressione $p = \rho*g*h$ e della forza $ F= p*A= \rho*g*h*A$ ...!!
Ma mi fido della soluzione di chi ha proposto l'esercizio...no ?
Comunque l'ho controllato, il risultato è giusto : $F = 90 N$ . Si tratta di fare un po' di equivalenze...
Ma mi fido della soluzione di chi ha proposto l'esercizio...no ?
Comunque l'ho controllato, il risultato è giusto : $F = 90 N$ . Si tratta di fare un po' di equivalenze...
Ringrazio tutti per avermi risposto e per avermi fatto ricordare la legge di stevino che ho fatto 3 anni fa in terzo liceo ma non mi era venuta in mente 
Ritornando sul problema mi è sorto un altro dubbio : ma una massa qualsiasi se la poggio su una qualsiasi superficie non esercita una specie di pressione? essendo la pressione la forza per unità di superficie essa dipende dalla forza e la forza dalla massa per cui perchè nei liquidi la situazione cambia?
Cioè se io metto più liquido non dovrebbe esercitare più pressione?
Scusate se insisto ma a questo punto ci deve essere qualcosa di importante che il mio cervello ammuffito dall'estate ha completamente rimosso
Ritornando sul problema mi è sorto un altro dubbio : ma una massa qualsiasi se la poggio su una qualsiasi superficie non esercita una specie di pressione? essendo la pressione la forza per unità di superficie essa dipende dalla forza e la forza dalla massa per cui perchè nei liquidi la situazione cambia?
Cioè se io metto più liquido non dovrebbe esercitare più pressione?
Scusate se insisto ma a questo punto ci deve essere qualcosa di importante che il mio cervello ammuffito dall'estate ha completamente rimosso
Eh, che ci vuoi fare, sono gli scherzi del caldo...!....
Io scherzo, login!...Ora cerchiamo di ritornare seri....ma non te lo garantisco.
Certamente ogni corpo se ha una massa ha anche un peso. Quindi se poggi un corpo solido su un piano esso "preme" sul piano, con una forza uguale al suo peso. E questo succede comunque lo giri. Il peso è lo stesso. Supponiamo che il solido sia un parallelepipedo : se la faccia con cui esso poggia sul piano è quella più piccola, la pressione è maggiore.
Ma un liquido si differenzia da un solido perchè non ha una forma propria, pur avendo un proprio volume. Allora, dato un certo volume di liquido, lo possiamo versare in una tinozza che ha una sezione di base molto grande : il liquido occuperà un volume di una certa altezza, che supponiamo piccola. Se invece versiamo lo stesso liquido in un recipiente alto e stretto, il liquido occuperà lo stesso volume ma distribuito poco in pianta e molto in altezza. Non è detto che i due recipienti siano cilindrici.
Anche qui, il peso di "liquido più recipiente" sarà uguale (se i due recipienti vuoti hanno lo stesso peso).
Ma parliamo invece della pressione "dentro al recipiente" .
Dov'è maggiore la "pressione" ? Sul fondo della tinozza o sul fondo del recipiente alto e stretto? E prima di tutto, che cosa è la pressione in un liquido, e da che cosa è determinata? Il peso c'entra? Sì, certo, il peso c'entra. Vediamo come.
Immagina di avere del liquido in quiete in un recipiente (anch'esso in quiete nel campo gravitazionale della Terra), e di sezionare il volume liquido in due parti distinte $A$ e $B$ , con una superficie ideale di taglio completa. Se togli la parte $B$ di liquido, la parte $A$ rimane in equilibrio? La parte $A$ può rimanere in equilibrio, com'era prima di togliere la $B$, soltanto se in ogni punto del taglio applichi, su un elemento di superficie $dS$, una forza elementare $dF = \sigma*dS$ , dove $\sigma$ ha le dimensioni di una "forza diviso superficie" , e prende il nome di "sforzo unitario". E questo lo devi fare in ogni punto della superficie di taglio detta, e la forza elementare deve essere uguale a quella che esercitava la parte $B$ su $A$.
ORa, senza andare troppo per il sottile e in profondità coi dettagli matematici, risulta che in un liquido gli sforzi unitari non possono mai essere " di trazione": non puoi "tirare" un liquido. In un liquido perfetto lo sforzo unitario è di sola compressione ed è normale all'elemento di superficie $dS$. Anche in un liquido reale in quiete gli sforzi sono normali alla superficie, quindi di sola compressione, (se un liquido reale è in moto, nasce pure una componente tangenziale dello sforzo, che si oppone la moto : ...viscosità...) .
Naturalmente, spingi tu che ti respingo io...vale il principio di azione e reazione, e essendo il liquido in quiete nessuna particella si sposta da una parte all'altra ( non consideriamo il moto browniano e eventuali moti convettivi dovuti a differenze di temperatura).
Da che cosa dipende lo sforzo di compressione, in un punto di un liquido in quiete? Non dalla giacitura dell'elemento di superficie $dS$ : la pressione è "isotropa", cioè in un punto ha lo stesso valore qualunque sia la direzione della normale alla superficie.
Considera ora un volumetto di liquido $dx*dy*dz$ che ha una certa massa e quindi un certo peso. La pressione $p_1$ sulla faccia superiore deve essere minore di quella $p_2$ sulla faccia inferiore, poichè il volumetto pesa; per l'equilibrio alla traslazione verticale del volumetto deve essere: $p_1*dx*dy + \rho*g*dx*dy*dz = p_2*dx*dy$.
E questa è la legge di Stevino per il volumetto alto $dz$.
Invece spostandosi su piani orizzontali la pressione è costante, non c'è alcuna forza di massa ( come il peso) da equilibrare.
Le particelle a contatto col fondo orizzontale, premono su questo con ugual pressione in tutti i punti del fondo. Questa pressione è : costante sul piano orizzontale; e di valore uguale al peso specifico $\rho*g$ moltiplicato per la massima altezza $h$ del liquido nel recipiente. Infatti, sulla verticale di questo punto dove l'altezza è massima, il primo straterello in alto preme sul secondo, poi il primo e il secondo premono sul terzo...e così via, fino ad arrivare al fondo, a profondità $h$ sotto la superficie libera. Questa è la pressione relativa, avendo assunto uguale a zero la pressione atmosferica.
Perciò la forza totale esercita sul fondo è il prodotto della pressione per l'area del fondo.
Hai mai sentito parlare della "botte di Pascal" ? O dei vasi comunicanti?
Ecco, ho cercato di passarti qualche idea, senza troppa matematica...i fisici mi perdoneranno, e se qualcuno vuole aggiungere qualcosa....
Io scherzo, login!...Ora cerchiamo di ritornare seri....ma non te lo garantisco.
Certamente ogni corpo se ha una massa ha anche un peso. Quindi se poggi un corpo solido su un piano esso "preme" sul piano, con una forza uguale al suo peso. E questo succede comunque lo giri. Il peso è lo stesso. Supponiamo che il solido sia un parallelepipedo : se la faccia con cui esso poggia sul piano è quella più piccola, la pressione è maggiore.
Ma un liquido si differenzia da un solido perchè non ha una forma propria, pur avendo un proprio volume. Allora, dato un certo volume di liquido, lo possiamo versare in una tinozza che ha una sezione di base molto grande : il liquido occuperà un volume di una certa altezza, che supponiamo piccola. Se invece versiamo lo stesso liquido in un recipiente alto e stretto, il liquido occuperà lo stesso volume ma distribuito poco in pianta e molto in altezza. Non è detto che i due recipienti siano cilindrici.
Anche qui, il peso di "liquido più recipiente" sarà uguale (se i due recipienti vuoti hanno lo stesso peso).
Ma parliamo invece della pressione "dentro al recipiente" .
Dov'è maggiore la "pressione" ? Sul fondo della tinozza o sul fondo del recipiente alto e stretto? E prima di tutto, che cosa è la pressione in un liquido, e da che cosa è determinata? Il peso c'entra? Sì, certo, il peso c'entra. Vediamo come.
Immagina di avere del liquido in quiete in un recipiente (anch'esso in quiete nel campo gravitazionale della Terra), e di sezionare il volume liquido in due parti distinte $A$ e $B$ , con una superficie ideale di taglio completa. Se togli la parte $B$ di liquido, la parte $A$ rimane in equilibrio? La parte $A$ può rimanere in equilibrio, com'era prima di togliere la $B$, soltanto se in ogni punto del taglio applichi, su un elemento di superficie $dS$, una forza elementare $dF = \sigma*dS$ , dove $\sigma$ ha le dimensioni di una "forza diviso superficie" , e prende il nome di "sforzo unitario". E questo lo devi fare in ogni punto della superficie di taglio detta, e la forza elementare deve essere uguale a quella che esercitava la parte $B$ su $A$.
ORa, senza andare troppo per il sottile e in profondità coi dettagli matematici, risulta che in un liquido gli sforzi unitari non possono mai essere " di trazione": non puoi "tirare" un liquido. In un liquido perfetto lo sforzo unitario è di sola compressione ed è normale all'elemento di superficie $dS$. Anche in un liquido reale in quiete gli sforzi sono normali alla superficie, quindi di sola compressione, (se un liquido reale è in moto, nasce pure una componente tangenziale dello sforzo, che si oppone la moto : ...viscosità...) .
Naturalmente, spingi tu che ti respingo io...vale il principio di azione e reazione, e essendo il liquido in quiete nessuna particella si sposta da una parte all'altra ( non consideriamo il moto browniano e eventuali moti convettivi dovuti a differenze di temperatura).
Da che cosa dipende lo sforzo di compressione, in un punto di un liquido in quiete? Non dalla giacitura dell'elemento di superficie $dS$ : la pressione è "isotropa", cioè in un punto ha lo stesso valore qualunque sia la direzione della normale alla superficie.
Considera ora un volumetto di liquido $dx*dy*dz$ che ha una certa massa e quindi un certo peso. La pressione $p_1$ sulla faccia superiore deve essere minore di quella $p_2$ sulla faccia inferiore, poichè il volumetto pesa; per l'equilibrio alla traslazione verticale del volumetto deve essere: $p_1*dx*dy + \rho*g*dx*dy*dz = p_2*dx*dy$.
E questa è la legge di Stevino per il volumetto alto $dz$.
Invece spostandosi su piani orizzontali la pressione è costante, non c'è alcuna forza di massa ( come il peso) da equilibrare.
Le particelle a contatto col fondo orizzontale, premono su questo con ugual pressione in tutti i punti del fondo. Questa pressione è : costante sul piano orizzontale; e di valore uguale al peso specifico $\rho*g$ moltiplicato per la massima altezza $h$ del liquido nel recipiente. Infatti, sulla verticale di questo punto dove l'altezza è massima, il primo straterello in alto preme sul secondo, poi il primo e il secondo premono sul terzo...e così via, fino ad arrivare al fondo, a profondità $h$ sotto la superficie libera. Questa è la pressione relativa, avendo assunto uguale a zero la pressione atmosferica.
Perciò la forza totale esercita sul fondo è il prodotto della pressione per l'area del fondo.
Hai mai sentito parlare della "botte di Pascal" ? O dei vasi comunicanti?
Ecco, ho cercato di passarti qualche idea, senza troppa matematica...i fisici mi perdoneranno, e se qualcuno vuole aggiungere qualcosa....
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