Densità lineare e volumica
Sia dato un filo di lunghezza $1m$ e diametro $2mm$
Si sa che teso da una forza di $4600 N$ su di lui si crea un'onda stazionaria di frequenza fondamentale pari a $220Hz$.
Chiede di trovare la densità del filo.
Ecco qui c'è una cosa che non mi torna, ossia se considerare questa "densità" come volumica o come lineare, se la considero come lineare tutto bene la trovo senza problemi, se invece la considero come volumica, come credo che il testo intenda, mi sorge un dubbio, ossia se il testo fosse stato : Si consideri un filo di lunghezza $1m$ e spessore trascurabile...etc" ossia lo spessore non fosse dato tra i dati, sarebbe sempre stato possibile ricavare la densità lineare e da qui la massa del filo, dato che la densità lineare è indipendente dallo spessore, e questo risultato sarebbe stato lo stesso di prima, da qui ricavo la massa e per trovare la densità volumica dovrei dividere tutto per il volume del filo...ma appunto se al posto di $2mm$ il testo avesse detto $1mm$ la densità lineare non sarebbe cambiata e dunque neanche la massa del filo essendo la lunghezza costante, dunque cambierebbe la densità volumica del filo...diminuendo il diametro di $1mm$ la densità sarebbe diventata il quadruplo di quella precedente...e questo è impossibile. Dunque è da intendere come lineare questa densità?, o sbaglio qualcosa io?
Si sa che teso da una forza di $4600 N$ su di lui si crea un'onda stazionaria di frequenza fondamentale pari a $220Hz$.
Chiede di trovare la densità del filo.
Ecco qui c'è una cosa che non mi torna, ossia se considerare questa "densità" come volumica o come lineare, se la considero come lineare tutto bene la trovo senza problemi, se invece la considero come volumica, come credo che il testo intenda, mi sorge un dubbio, ossia se il testo fosse stato : Si consideri un filo di lunghezza $1m$ e spessore trascurabile...etc" ossia lo spessore non fosse dato tra i dati, sarebbe sempre stato possibile ricavare la densità lineare e da qui la massa del filo, dato che la densità lineare è indipendente dallo spessore, e questo risultato sarebbe stato lo stesso di prima, da qui ricavo la massa e per trovare la densità volumica dovrei dividere tutto per il volume del filo...ma appunto se al posto di $2mm$ il testo avesse detto $1mm$ la densità lineare non sarebbe cambiata e dunque neanche la massa del filo essendo la lunghezza costante, dunque cambierebbe la densità volumica del filo...diminuendo il diametro di $1mm$ la densità sarebbe diventata il quadruplo di quella precedente...e questo è impossibile. Dunque è da intendere come lineare questa densità?, o sbaglio qualcosa io?
Risposte
"Vulplasir":
...ma appunto se al posto di $2mm$ il testo avesse detto $1mm$ la densità lineare non sarebbe cambiata e dunque neanche la massa del filo essendo la lunghezza costante, .
Ma ... ?!? Se il diametro cambia, a parità di lunghezza, il volume cambia e quindi pure la massa cambia, perciò anche la densità lineare cambia ...
Supponiamo che il testo desse la lunghezza $l$ e non il diametro...
In un'onda stazionaria la frequenza fondamentale si trova dalla relazione $f=v/2l$ , dunque
$v=2fl$
$v$ in una corda di densità lineare $u$ tesa da una tensione $T $è uguale a $v=sqrt(T/u)$
Dunque abbiamo : $sqrt(T/u)=2fl$
$T/u=4f^2l^2$
$u=T/(4f^2l^2)$
Ossia la densità lineare di quella corda dipende solo dalla frequenza, tensione e lunghezza, e non dal diametro.
Poichè sappiamo $l$, da $u$ otteniamo la massa della corda:
$m/l=u$
$m=u*l$
Ossia la massa del filo è funzione della lunghezza del filo e della sua densità lineare, che a sua volta non dipende dal diametro..Se si fosse dato un esercizio del genere a du ragazzi diversi in cui uno aveva $d=2mm$ e l'altro $d=1mm$, essi avrebbero ricavato densità diverse...
In un'onda stazionaria la frequenza fondamentale si trova dalla relazione $f=v/2l$ , dunque
$v=2fl$
$v$ in una corda di densità lineare $u$ tesa da una tensione $T $è uguale a $v=sqrt(T/u)$
Dunque abbiamo : $sqrt(T/u)=2fl$
$T/u=4f^2l^2$
$u=T/(4f^2l^2)$
Ossia la densità lineare di quella corda dipende solo dalla frequenza, tensione e lunghezza, e non dal diametro.
Poichè sappiamo $l$, da $u$ otteniamo la massa della corda:
$m/l=u$
$m=u*l$
Ossia la massa del filo è funzione della lunghezza del filo e della sua densità lineare, che a sua volta non dipende dal diametro..Se si fosse dato un esercizio del genere a du ragazzi diversi in cui uno aveva $d=2mm$ e l'altro $d=1mm$, essi avrebbero ricavato densità diverse...
... perché fatte da materiali diversi.
Tu parti dal presupposto che la frequenza dell'onda si possa fissare a piacere, ma dato uno specifico materiale e una data tensione la frequenza è una conseguenza di questi dati; quando applichi la formula inversa usi uno strumento per ricavare dai dati sperimentali che hai la densità.
La densità lineare dipende certamente dal diametro, perché a parità di materiale (ossia di densità volumica) la densità lineare è figlia della sezione del corpo in oggetto. Stesso massa dello stesso materiale ma con forma diversa avrà una densità lineare diversa.
In altre parole: quando tu dici che la massa dipende dalla lunghezza e dalla densità lineare ($m=mu*l$) dici una cosa vera SOLO SE la sezione rimane costante, altrimenti NON vale, chiaro?
Tu parti dal presupposto che la frequenza dell'onda si possa fissare a piacere, ma dato uno specifico materiale e una data tensione la frequenza è una conseguenza di questi dati; quando applichi la formula inversa usi uno strumento per ricavare dai dati sperimentali che hai la densità.
La densità lineare dipende certamente dal diametro, perché a parità di materiale (ossia di densità volumica) la densità lineare è figlia della sezione del corpo in oggetto. Stesso massa dello stesso materiale ma con forma diversa avrà una densità lineare diversa.
In altre parole: quando tu dici che la massa dipende dalla lunghezza e dalla densità lineare ($m=mu*l$) dici una cosa vera SOLO SE la sezione rimane costante, altrimenti NON vale, chiaro?
Questo è quello che penso anch'io ma da come è messo il problema secondo me questa cosa non vale...cioè, se tra i dati tu NON AVESSI AVUTO il diametro, ti saresti lo stesso potuto ricavare la densitá lineare, che, qualunque dato il problema ti dia come diametro vale 23,1g/m.
Il problema in verita diceva che quel filo era di acciaio e chiedeva: trovare la densitá dell'acciaio.
Ora se il diametro vale 2, la densita trovata è proprio quella dell'acciaio...ma la cosa che non mi convince è che SE il diametro fosse stato 1, la densitá lineare che avremmo potuto ricavare dai dati sarebbe sempre stata 23,1g/m e dunque la densita volumic trovata a partire da qua sarebbe stata il quadruplo...ma non sarebbe la vera densitá dell'acciaio...
Il problema in verita diceva che quel filo era di acciaio e chiedeva: trovare la densitá dell'acciaio.
Ora se il diametro vale 2, la densita trovata è proprio quella dell'acciaio...ma la cosa che non mi convince è che SE il diametro fosse stato 1, la densitá lineare che avremmo potuto ricavare dai dati sarebbe sempre stata 23,1g/m e dunque la densita volumic trovata a partire da qua sarebbe stata il quadruplo...ma non sarebbe la vera densitá dell'acciaio...
Allora, se tu hai una barra il suo volume sarà $V=A*l$ è quindi la sua massa sarà $M=rho*V=rho*A*l$, ok?
La densità lineare di questa barra sarà $mu=M/l$, ok?
Ma allora abbiamo $mu=M/l=(rho*A*l)/l=rho*A$, e come puoi vedere tu stesso la densità lineare DIPENDE anche dal diametro, diversamente dalle tue convinzioni; chiaro?
Quindi se cambi il diametro, la densità lineare cambia.
La densità lineare di questa barra sarà $mu=M/l$, ok?
Ma allora abbiamo $mu=M/l=(rho*A*l)/l=rho*A$, e come puoi vedere tu stesso la densità lineare DIPENDE anche dal diametro, diversamente dalle tue convinzioni; chiaro?
Quindi se cambi il diametro, la densità lineare cambia.
Te dai dati INDIPENDENTEMENTE DAL DIAMETRO ti puoi ricavare solo u=23,1 g/m ! INDIPENDENTEMENTE DAL DIAMETRO! non nego che la densità lineare dipenda anche dal diametro, ma per come è posto il problema, ESSO NON INFLUISCE.
Sia data un filo di acciaio di lunghezza 1m e diametro 1mm, se teso da una forza di 4600N su di esso si produce un'onda stazionaria di 220Hz, trovare la densità dell'acciaio.
$ u=T/(4f^2l^2) $
$u=4600/(4*220^2*1)$= ((((( $23,1 g/(cm)$ )))))) Guarda un po', cambiando il diametro la densità lineare IN BASE A COME è POSTO IL PROBLEMA non è cambiata, da qui mi trovo la densità volumica dell'ACCIAIO, che, essendo diverso il diametro rispetto a 2mm, sarà diverso, esattamente il quadruplo, MA QUINDI QUAL'è LA VERA DENSITà DELL??ACCIAIO? QUELLA CON d=1mm, con d=2mm o con d=3mm etc??? SU QUALE BASE QUELLA CON d=2mm è giusta e le altre no???
Sia data un filo di acciaio di lunghezza 1m e diametro 1mm, se teso da una forza di 4600N su di esso si produce un'onda stazionaria di 220Hz, trovare la densità dell'acciaio.
$ u=T/(4f^2l^2) $
$u=4600/(4*220^2*1)$= ((((( $23,1 g/(cm)$ )))))) Guarda un po', cambiando il diametro la densità lineare IN BASE A COME è POSTO IL PROBLEMA non è cambiata, da qui mi trovo la densità volumica dell'ACCIAIO, che, essendo diverso il diametro rispetto a 2mm, sarà diverso, esattamente il quadruplo, MA QUINDI QUAL'è LA VERA DENSITà DELL??ACCIAIO? QUELLA CON d=1mm, con d=2mm o con d=3mm etc??? SU QUALE BASE QUELLA CON d=2mm è giusta e le altre no???
"Vulplasir":
Sia data un filo di acciaio di lunghezza 1m e diametro 1mm, se teso da una forza di 4600N su di esso si produce un'onda stazionaria di 220Hz, trovare la densità dell'acciaio.
Non puoi inventarti i dati: tu puoi fissare il materiale (acciaio), la sezione della barra, la sua lunghezza, la tensione ma NON puoi fissare la FREQUENZA perché è una conseguenza degli altri dati; colui che ha ideato il problema si è calcolato la frequenza dagli altri dati, poi ne ha tolto uno (in questo caso la densità) ed ha inserito la frequenza tra i dati, in modo da renderlo ancora risolubile.
Vai da un ferramenta ti compri una barra d'acciaio del diametro che vuoi, la tagli alla lunghezza voluta, la metti tra due morse e stringi: la frequenza dell'onda è una CONSEGUENZA di questi elementi. Poi nel problema ne puoi togliere uno qualsiasi e te lo calcoli partendo dagli altri. Se la frequenza la fissi tu in modo random poi ti ritrovi con queste contraddizioni. Ok?
Effettivamente non avevo considerato la questione piu prettamente "fisica" dell'esercizio, si da questo punto di vista ha più senso.
Ma è anche una questione matematica ... e mi spiego.
Se tu prendi una formula qualsiasi (per esempio quella che hai citato $mu=T/(4f^2l^2$), comunque la rigiri, un elemento dipende dagli altri, non puoi fissarlo a piacere, cioè non puoi fissare a piacere TUTTI gli elementi di una formula.
Nella formula citata oltre alla tensione, alla frequenza ed alla lunghezza, quando dici "acciaio" hai già fissato la densità e dal calcolo ti deve tornar quel valore. Nel momento in cui tu cambi il valore del diametro, a parità di lunghezza, cambi la massa della sbarra e di conseguenza ($m/l=mu$) cambi il valore della densità; di fatto è come se, in quella formula, tenessi costante, forzosamente, il membro di destra mentre fai variare quello di sinistra; l'uguaglianza a quel punto non c'è più.
Se tu prendi una formula qualsiasi (per esempio quella che hai citato $mu=T/(4f^2l^2$), comunque la rigiri, un elemento dipende dagli altri, non puoi fissarlo a piacere, cioè non puoi fissare a piacere TUTTI gli elementi di una formula.
Nella formula citata oltre alla tensione, alla frequenza ed alla lunghezza, quando dici "acciaio" hai già fissato la densità e dal calcolo ti deve tornar quel valore. Nel momento in cui tu cambi il valore del diametro, a parità di lunghezza, cambi la massa della sbarra e di conseguenza ($m/l=mu$) cambi il valore della densità; di fatto è come se, in quella formula, tenessi costante, forzosamente, il membro di destra mentre fai variare quello di sinistra; l'uguaglianza a quel punto non c'è più.
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