Delucidazioni su una discussione di onde EM

[pegasu1]

Ho letto una vecchia discussione: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... n#p8488374

ma temo di non aver capito come calcolare quanto detto da lampo1089:

"Lampo1089":La cosa più corretta da farsi sarebbe calcolare B dalla seconda equazione di Maxwell. Trattandosi di onde piane monocromatiche, usando la notazione complessa per i campi E e B, l'ampiezza (generalmente complessa) di B è pari al prodotto vettoriale tra la direzione di propagazione dell'onda e l'ampiezza (generalmente complessa) di E a meno di costanti moltiplicative, cioé ($\vec\beta$ e $\vec\epsilon$ rappresentano le ampiezze rispettivamente di E e B, n è il versore lungo la direzione di propagazione dell'onda piana)

$$
\vec\beta = \frac{k}{\omega} \vec{n} \times \vec\epsilon
$$
Come vedi, l'alternativa rigorosa non è tuttavia più rapida.

Però forse non hai mai visto la notazione complessa e sto mettendo solo troppa carne al fuoco ...

Qualucno potrebbe darmi una mano per trovare B indicato (dai dati scritti nel primo post dell'OP)?
$$
\vec{B} = (-\frac{E_0}{c} \cos(k z - \omega t), \frac{E_0}{c} \sin(k z - \omega t),0)
$$

Mi interesserebbe molto perché ho provato in mille modi e non mi raccapezzo minimamente.

[Quinzio]

Questa e' l'equazione originale dell'onda:

$\bb E = E (\sin(kz - \omega t), \cos(kz - \omega t), 0)$

ma trovo piu' appropriato sostituire $k$ con il suo significato fisico, la lunghezza d'onda, $z = (2 \pi)/\lambda$

$\bb E = E (\sin((2 \pi z)/\lambda - \omega t), \cos((2 \pi z)/\lambda - \omega t), 0)$

Poi siccome siamo nel vuoto, suppongo, abbiamo che $(\lambda \omega) / (2 \pi) = c$. Quindi scriviamo

$\bb E = E (\sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0)$

Ora, per trovare il campo magnetico $\bb B$, possiamo usare la 3^ o la 4^ equazione di Maxwell.
Usiamo la 3^ perche' semplifica i calcoli.

Riscriviamo l'eq. di Mawell:

$\nabla \times \bb E = (\partial \bb B)/ (\partial t) $

Ricordiamo che il rotore si calcola, usando un abuso di notazione, con il determinante della matrice:

\[\nabla \times \textbf f =
\begin{vmatrix}
\hat {\textbf {i}} & \hat {\textbf {j}} & \hat {\textbf {k}} \\
\frac{\partial}{\partial x} &
\frac{\partial}{\partial y} &
\frac{\partial}{\partial z} \\
f_x & f_y & f_z
\end{vmatrix}
\]

e che valgono queste notazioni:
$\bb f = (f_x. f_y, f_z) = \bb \hat i f_x + \bb \hat j f_y + \bb \hat k f_z$

Calcoliamo quindi il rotore del campo elettrico:

$\nabla \times \bb E = $
$= \nabla \times E (\sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0) $
$= (2 \pi)/\lambda E (\sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0)$

e quindi
$\nabla \times \bb E = -(\partial \bb B)/ (\partial t) = (2 \pi)/\lambda E (\sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0)$

Per trovare $\bb B$ facciamo l'integrale rispetto al tempo:

$\bb B = -\int (2 \pi)/\lambda E (\sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0) dt$

$=E/c (-\cos[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], \sin[(2 \pi)/\lambda (z - c t)], 0)$

Abbiamo quindi trovato l'espressione di $\bb B$.
Si noti che $\bb E$ ruota in senso orario sul piano $xy$ e che $\bb B$ e' in ritardo di $\pi /2 $.

edit: correzione di alcuni errori

[pegasu1]

Caspita, non mi sarei mai aspettato tanta ricchezza di dettaglio. Grazie mille Quinzio, chiarissimo! .

[Lampo1089]

Mi ricollego a quanto scrivevo tempo fa, per giustificarlo un po' meglio e applicare la situazione al caso in esame (onde EM nel vuoto):
quando consideri campi armonici - utilizzando la notazione complessa - cerchi delle soluzioni particolari di onda piana monocromatica del tipo:

\[
\vec{E} = \vec{\epsilon}e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]
\[
\vec{B} = \vec{\beta}e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]

dove \(\vec\epsilon,\vec\beta\) sono dei vettori che determinano la direzione di oscillazione dei campi.
L'equazione delle onde fornisce il solito vincolo cinematico tra k e $\omega$, mentre invece la relazione tra i vettori $\epsilon$ e $\beta$ viene fornita dalle equazione di Maxwell.

In particolare, l'equazione di Faraday (è la terza di maxwell?) impone che:
\[
\nabla \times \vec{E}= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\]

Se specializzi l'azione di rotore e derivata sulle onde piane scritte sopra, hai che:
\[
\nabla \times \vec{E} = i \vec{\epsilon} \times \vec{k} e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]
\[
\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -i \omega \vec{\beta} e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]

da cui
\[
\vec{\epsilon} \times \vec{k} = \omega \vec{\beta}
\]

e infine, indicando con $\vec{n}$ il versore nella direzione di propagazione dell'onda
\[
\vec{\beta} = \vec{\epsilon}\times \frac{ \vec{k}}{\omega}= \frac{1}{c} \vec{\epsilon}\times \vec{n}
\]

----------------
Ora si tratta di applicare il risultato sopra al problema in esame.
Continuando con la notazione complessa, si esprime il campo elettrico come ($u_2$ è un versore diretto lungo l'asse y, $u_3$ lungo l'asse z):

\[
\vec{E} = E_0 \vec{u_2} e^{i k z - i \omega t} + E_0 \vec{u_1} e^{i k z - i\omega t - i \frac{\pi}{2}} = E_0 \vec{u_2} e^{i k z - i \omega t} - i E_0 \vec{u_1} e^{i k z - i\omega t} = E_0 \left(\vec{u_2} - i \vec{u_1}\right) e^{i k z - i \omega t}
\]

A questo punto si ottiene l'espressione dell'ampiezza \(\epsilon\) dell'onda in questione:
\[
\vec{\epsilon} = E_0 \left(\vec{u_2} - i \vec{u_1}\right)
\]

per cui, dalla formula che citavo prima, si ottiene:
\[
\vec{\beta} = \frac{1}{c} \vec{\epsilon}\times \vec{n} = \frac{E_0}{c} \left(\vec{u_1} + i \vec{u_2}\right)
\]

A questo punto si tratta di sostituire questo risultato nell'espressione del campo $\vec{B}$, prenderne la parte reale e si ottiene:

\[
\vec{B} = \frac{E_0}{c}\left(\cos\left(k z -\omega t\right), -\sin\left(k z - \omega t\right), 0\right)
\]

[pegasu1]

Ti ringrazio, direi che anche questo metodo ora mi è chiaro.
C'è un punto però che mi rende dubbioso e in realtà da un po' ci rifletto e non ho ancora colmato (e ora me lo ritrovo nella tua risposta).

Ma è sempre possibile scrivere il campo vettoriale come?
\[
\vec{E} = \vec{\epsilon}e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]
(dove la direzione di epsilon varia nel tempo essendo circolare)
in particolare non riesco a capire perché funzioni, mi spiego:
Io ho l'equazione delle onde in 3-D, quindi ho tre eq. alle derivate parziali da risolvermi per x,y,z. Di per sé avro quindi possibilità con fourier di scrivermi qualsiasi funzione come seno e coseno per le tre componenti: immagino su x,y,z tre integrali alla fourier.. tanto è una equazione lineare e somme di soluzioni (anche continue) sono ancora soluzioni.

Tutto bene fin qui, tuttavia ecco il punto dubbio... immagino tre soluzioni oscillanti lungo x, y e z e di per sé possono oscillare in modo casuale come seni e coseni, come è quindi possibile riuscire a "raccogliere" tre moti sinusoidali nell'unica espressione: $\vec{E} = \vec{\epsilon}e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}$

Non so se sono riuscito bene a spiegare il dubbio, ma mi manda sempre in crisi questo fatto perché non riesco a capacitarmi/visualizzare di come funzioni .

PS: nel caso in esame si vede perché raccolgo lo sfasamento $e^(−iπ/2)$ e si vede bene, ma chi mi dice non abbia sfasamenti "random" per così dire e che raccogliere tutto in un'unica oscillazione sia possibile?

[Lampo1089]

"pegasu":
Ma è sempre possibile scrivere il campo vettoriale come?
\[
\vec{E} = \vec{\epsilon}e^{i \left(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t\right)}
\]

No. Ma questa non è una limitazione in quanto puoi scomporre il campo nei modi di fourier che evolvono come scritto sopra (e questo dovrebbe esserti chiaro, leggendo quello che hai scritto nel tuo post).

come è quindi possibile riuscire a "raccogliere" tre moti sinusoidali nell'unica espressione?

ampiezze e sfasamenti dei moti sinusoidali sono contenuti in \(\epsilon\). Ovviamente numero d'onda e frequenza di tutti e tre è lo stesso (altrimenti l'onda non sarebbe monocromatica).

Se non ricordo male c'era una discussione sul forum su queste tematiche (si parlava dell'equazione di d'alambert) che dovrebbe chiarire i tuoi dubbi.

ps nota bene che il vettore \(\vec{\epsilon}\) - in questo formalismo - in realtà non dipende dal tempo. Poi vabbe, quando consideri la parte reale (nota: quella soluzione è complessa, per cui è sottinteso considerare la parte reale - o la somma con la soluzione complessa coniugata - quando si vuole calcolare il campo elettrico) la polarizzazione dell'onda elettrica ruota - ruota per effetto dell'ampiezza complessa ma non perché l'ampiezza sia dipendente dal tempo.

[pegasu1]

ps nota bene che il vettore ϵ⃗ - in questo formalismo - in realtà non dipende dal tempo. Poi vabbe, quando consideri la parte reale (nota: quella soluzione è complessa, per cui è sottinteso considerare la parte reale - o la somma con la soluzione complessa coniugata - quando si vuole calcolare il campo elettrico) la polarizzazione dell'onda elettrica ruota - ruota per effetto dell'ampiezza complessa ma non perché l'ampiezza sia dipendente dal tempo.

Devo dire che non riesco bene a figurarmi il perché, dall'esponenziale complesso mi esce una ampiezza complessa che poi riduco a parte reale prendendo Re(z) diciamo, tuttavia essa non influisce sulla direzione del vettore è solo una "ampiezza" modulo. Mi sembra invece epsilon debba dipendere da t, non tanto nell'ampiezza ma nella direzione sennò quale termine vettoriale può parametrizzare la rotazione del campo (che è un cambio di direzione di oscillazione)? Non ci sono altri vettori.

Sì la ricordo, perché vi ero intervenuto anche io in quella discussione che mi aveva interessato proprio perché mi incespico sempre in questa comprensione. O meglio, mi era chiaro quanto detto lì ma si parlava del caso 1-D, il caso 3.D mi crea qualche grattacapo (per quanto dicevo sopra), perché non capisoc quando riuscivo a raccogliere tutto in epsilon, e quando invece diciamo sono costretto a scomporre in fourier su componenti x, y, z (cioè senza darne una rappresentazione "unica" esponenziale). Mi sembra di capire che, quando trattiamo onde polarizzate (e più in generale anche per qualunque onda sinusoidale sulle 3 componenti) sia senza dubbio possibile dato che gli sfasamenti sono fissi, per onde generiche no. Sbaglio?

[Lampo1089]

"pegasu":Mi sembra invece epsilon debba dipendere da t, non tanto nell'ampiezza ma nella direzione sennò quale termine vettoriale può parametrizzare la rotazione del campo (che è un cambio di direzione di oscillazione)? Non ci sono altri vettori.

E' "magia" della notazione complessa, tant'è che il vettore per una polarizzazione circolare \(\vec{\epsilon}\) derivato sopra è (a meno di una fase e normalizzato):
\[
\vec{\epsilon} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{u_1} - i \vec{u_2}\right)
\]

e più in generale una base per le polarizzazioni circolari di onde che propagano lungo l'asse z \(\vec{u_3}\) è:

\[
\vec{\epsilon}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vec{u_1} \pm i \vec{u_2}\right)
\]

e sono evidentemente vettori indipendenti dal tempo.
Il fatto che la direzione di oscillazione dei campi ruoti deriva in realtà dal fatto che ampiezza complessa del vettore \(\epsilon\) si compone con la fase dell'onda \(e^{i (k x - \omega t})\). La polarizzazione dell'onda ruota, senza dubbio, ma il vettore \(\epsilon\) in questo formalismo è un vettore costante a componenti complesse.