Deformazione plastica (slab analysis)
Scusate, stavo provando a ricavare l'andamento delle pressioni di contatto su uno spezzone di barra cilindrica nel caso di compressione tra piani paralleli con coefficiente di attrito noto $mu$. Non riesco a capire però una cosa... Ho cercato anche su letteratura straniera "inglese" e trovo sempre detto:
"For reason that are not necessary to explain in this course, we will approximate that during axisymmetic deformations, the following conditions are true:"
$epsilon_(rr)=epsilon_(thetatheta)$...
Si ma a me non sembra così ovvio... c'è nessuno che mi sappia giustificare questa approssimazione?
"For reason that are not necessary to explain in this course, we will approximate that during axisymmetic deformations, the following conditions are true:"
$epsilon_(rr)=epsilon_(thetatheta)$...
Si ma a me non sembra così ovvio... c'è nessuno che mi sappia giustificare questa approssimazione?
Risposte
Vediamo se ho capito: dovresti prendere la definzione di quei due termini di deformazione, quella con le derivate degli spostamenti rispetto alle coordinate, espresse in coorrdinate cilindriche. Poi annulli tutti i termini costituiti da derivate rispetto all'angolo theta, visto che è un caso assialsimmetrico, e i due termini di deformazione dovrebbero coincidere.
Queste cose le ho fatte un annetto fa, casomai torno a guardare gli appunti.
Però non capisco una cosa: siamo ancora nell'ambito delle piccole deformazioni o assumendo che si stia parlandoo di deformazione plastica dobbiamo abbandonare questa ipotesi?
Queste cose le ho fatte un annetto fa, casomai torno a guardare gli appunti.
Però non capisco una cosa: siamo ancora nell'ambito delle piccole deformazioni o assumendo che si stia parlandoo di deformazione plastica dobbiamo abbandonare questa ipotesi?
Io so di per certo che in campo elastico siamo nel campo dei piccoli spostamenti e pensavo che nel caso di deformazione plastica si parlasse di grandi spostamenti... Invece ho visto usare per definire la cossidetta "flow law" la variazione relativa di volume come si fa nei piccoli spostamenti, dove si dice che è uguale alla traccia delle matrice deformazione, trascurando termini di ordine superiore...
Quindi ci vorrebbe l'intervento di qualcuno che se ne intende davvero di queste cose...
Riguardo a quello che dici all'inizio del tuo messaggio, credo tu ti riferisca a queste formule:
$\varepsilon_{thetatheta}=u/r$ , $\varepsilon_{rr}=(du)/(dr)$
Che sono le formule che legano le deformazioni agli spostamenti nel caso di simmetria assiale (equazioni tratte dal modello di lastra).
Quindi ci vorrebbe l'intervento di qualcuno che se ne intende davvero di queste cose...
Riguardo a quello che dici all'inizio del tuo messaggio, credo tu ti riferisca a queste formule:
$\varepsilon_{thetatheta}=u/r$ , $\varepsilon_{rr}=(du)/(dr)$
Che sono le formule che legano le deformazioni agli spostamenti nel caso di simmetria assiale (equazioni tratte dal modello di lastra).
Io farei così: la deformazione è in generale uguale alla (variazione_di_lunghezza)/(lunghezza_iniziale).
Se prendiamo una geometria cilindrica e ci mettiamo sulla circonferenza che indeformata ha raggio $r$ la deformazione di lunghezza di tale circonfereza, a seguito di un qualche processo di carico è : $(2*pi*(r+dr)-2*pi*r)/(2*pi*r)=(dr)/r$
Però anche la deformazione radiale è $((r+dr)-r)/r=(dr)/r$.
Che te ne pare?
Se prendiamo una geometria cilindrica e ci mettiamo sulla circonferenza che indeformata ha raggio $r$ la deformazione di lunghezza di tale circonfereza, a seguito di un qualche processo di carico è : $(2*pi*(r+dr)-2*pi*r)/(2*pi*r)=(dr)/r$
Però anche la deformazione radiale è $((r+dr)-r)/r=(dr)/r$.
Che te ne pare?
Questi calcoli li ho visti applicati a tubi e serbatoi, ma dovrebbero valere per qualsiasi geometria assial-simmetrica.
Secondo me c'è qualcosa che non va... o meglio non mi convincono le formule che hai scritto, un motivo per esempio è che se supponi variazioni infinitesime hai il differenziale della deformazione e non la deformazione.
Scusami $dr$ non è un differenziale, è lo spostamento in direzione radiale, tu lo avevi chiamato $u$.
Guarda potrei aver scritto delle grandi boiate. Ho la testa su altre cose in questi giorni.
La prima allora mi torna, ma le seconda no, io conosco quelle due che ti ho postato sopra...
Mi dispiace di più non so, in effetti la seconda è un po tirata per i capelli. Dovrei andare a vedere sui libri che ci sono in biblioteca di facoltà.
No, aspetta forse la tua definizone è piu generale di quella che ho io, infatti la mia vale nel caso si piccoli spostamenti ... Poi non so... 
Tra l'altro mi sovviene che se stiamo parlando di strutture ccc od ec come può essere un acciaio da costruzione o per il titanio il comportamento elastico lineare è valido in un campo abbastanza ampio, mentre se si considerano strutture cfc come l'alluminio questo si discosta dal comportamento elastico lineare anche per deformazioni dello o.o2 %...
Vedi il fatto è che sulle dispense ho scritto: $\varepsilon_(rr)=(du)/(dr)$ per definizione... Questo infatti poi nella risoluzione delle equazioni porta a due deformazioni differenti per le due direzioni...
Guarda quello che hai scritto è sicuramente giusto, è quello che c'è anche sulle mie dispense, mi dispiace in sto momento non riesco a venirci a capo, se tu ci riesci fammi sapere qualcosa perchè mi hai messo il tarlo.
Ok, non disperare, sono sicuro che qualcun altro dirà la sua in merito... 
Ehi, in effetti ripensando con un po' più di rigore (ci vorrebbe sempre), sono riuscito a ricavarmi la formula sulle dispense, infatti il problema era di natura formale, o meglio si confondevano i nomi da dare alle grandezze in gioco. Posto qui il mio breve schizzo...
Va bene, fin qua ci siamo entrambi, e la componente di deformazione lungo $theta$?
Quella è esattamente come dice vamo entrambi fin dall'inizio: $varepsilon_(thetatheta)=u/r$
E allora non riesco a capire sotto quale ipotesi possano coincidere....
Infatti... 
Solo che ho anche letto che è una approssimazione... Solo che DEVE essere comunque qualcosa che approssima il vero non una cosa buttata lì per far tornar le cose...
Solo che ho anche letto che è una approssimazione... Solo che DEVE essere comunque qualcosa che approssima il vero non una cosa buttata lì per far tornar le cose...
$epsilon_r=(u_(r+Delta r)-u_r)/(Delta r)$ , dove $u$ indica lo spostamento.
Applicando poi l'equazione di continuità nel volumetto di controllo si ricava la differenza tra gli spostamenti al raggio $r+Delta r$ e $r$:
$b rho u_(r+Delta r) (r+Delta r) d theta = b rho u_r r d theta$
Da cui si ricava:
$u_(r+ Delta r)-u_r= -(u Delta r)/r$
PS: vista la simmetria assiale non si ha flusso attraverso le superfici radiali del volumetto di controllo
In realtà ci sarebbe da considerare anche il flusso di materiale attraverso le superfici $dr r d theta$, in direzione assiale, forse è questa l'approssimazione che si fa ( se il raggio del cilindro è "abbastanza grande" rispetto alla sua altezza)
Applicando poi l'equazione di continuità nel volumetto di controllo si ricava la differenza tra gli spostamenti al raggio $r+Delta r$ e $r$:
$b rho u_(r+Delta r) (r+Delta r) d theta = b rho u_r r d theta$
Da cui si ricava:
$u_(r+ Delta r)-u_r= -(u Delta r)/r$
PS: vista la simmetria assiale non si ha flusso attraverso le superfici radiali del volumetto di controllo
In realtà ci sarebbe da considerare anche il flusso di materiale attraverso le superfici $dr r d theta$, in direzione assiale, forse è questa l'approssimazione che si fa ( se il raggio del cilindro è "abbastanza grande" rispetto alla sua altezza)
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