Deformazione plastica (slab analysis)

[cavallipurosangue]

Scusate, stavo provando a ricavare l'andamento delle pressioni di contatto su uno spezzone di barra cilindrica nel caso di compressione tra piani paralleli con coefficiente di attrito noto $mu$. Non riesco a capire però una cosa... Ho cercato anche su letteratura straniera "inglese" e trovo sempre detto:

"For reason that are not necessary to explain in this course, we will approximate that during axisymmetic deformations, the following conditions are true:"

$epsilon_(rr)=epsilon_(thetatheta)$...

Si ma a me non sembra così ovvio... c'è nessuno che mi sappia giustificare questa approssimazione?

[kinder1]

"cavallipurosangue":Scusate, stavo provando a ricavare l'andamento delle pressioni di contatto su uno spezzone di barra cilindrica nel caso di compressione tra piani paralleli con coefficiente di attrito noto $mu$. Non riesco a capire però una cosa... Ho cercato anche su letteratura straniera "inglese" e trovo sempre detto:

"For reason that are not necessary to explain in this course, we will approximate that during axisymmetic deformations, the following conditions are true:"

$epsilon_(rr)=epsilon_(thetatheta)$...

Si ma a me non sembra così ovvio... c'è nessuno che mi sappia giustificare questa approssimazione?

prova ad imporre la condizione che nel corso della deformazione plastica l'area di una corona circolare rimanga costante, e vedi cosa viene, a meno del segno. Poi puoi dare un'interpretazione al fenomeno.

[cavallipurosangue]

Facendo come proproni tu ottengo, semplificando il $2pi$:

$rdr=(r+u)(du+dr)=>1=(varepsilon_(thetatheta)+1)(varepsilon_(rr)+1)$...

[kinder1]

"cavallipurosangue":Facendo come proproni tu ottengo, semplificando il $2pi$:

$rdr=(r+u)(du+dr)=>1=(varepsilon_(thetatheta)+1)(varepsilon_(rr)+1)$...

non proprio.

Intanto, sicuramente sai che il coefficiente di dilatazione volumica è dato dalla somma dei coefficienti: $(dV)/V=epsilon_x+epsilon_y+epsilon_z$

se ti metti in una condizione di stato piano di deformazione (se non ricordo male si dice così), con, per esempio, $epsilon_z=0$

e imponi la condizione di conservazione del volume del solido, hai che deve essere: $(dV)/V=epsilon_x+epsilon_y=0$ quindi
$epsilon_x=-epsilon_y$. Il passaggio alle coordinate cilindriche è banale.

Seguendo invece la deformazione di una corona circolare, che è solo un'applicazione di quanto appena detto, avresti che l'area di una corona "sottile" (lungo il raggio) sarebbe $A=2pirs$ con r raggio interno ed s differanza tra i raggio esterno ed interno.

Differenziando l'area hai $dA=2pi(sdr+rds)$

Se imponi che durante una deformazione plastica sia $dA=0$ avrai: $sdr+rds=0$ che divisa per rs diventa $(dr)/r+(ds)/s=0$.

Considerando che è: dr=u e $(ds)/s=epsilon_(rr)$, sostituendo...

[cavallipurosangue]

Allora, se prendi lo schizzo che ho fatto nell'altra pagina, hai che:

$2pirdr$ è l'area della corona circolare all'inizio, mentre alla fine: $2pi (r+u)(du+dr)$ e da qui quello che ho scritto sopra. Dove sbaglio allora?

[kinder1]

"cavallipurosangue":Allora, se prendi lo schizzo che ho fatto nell'altra pagina, hai che:

$2pirdr$ è l'area della corona circolare all'inizio, mentre alla fine: $2pi (r+u)(du+dr)$ e da qui quello che ho scritto sopra. Dove sbaglio allora?

Non so dove sbagli. Comunque, utilizzando quanto scrivi tu, e imponendo sempre la conservazione dell'area nel corso della deformazione, quindi area iniziale uguale a quella finale, hai:

$(r+u)(du+dr)=rdr$ e togliendo le parentesi: $rdu+rdr+udu+udr=rdr$ da cui:

$(r+u)du+udr=0$ e se u<

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[cavallipurosangue]

Ok, eccolo... Quindi l'approssimazione sta nel porre $u<
Ti ringrazio...

[kinder1]

"cavallipurosangue":Ok, eccolo... Quindi l'approssimazione sta nel porre $u<
Ti ringrazio...

Oh..."piccoli spostamenti", ricordatelo, altrimenti sei del gatto!

[cavallipurosangue]

Però nella deformazione plastica siamo nel campo delle grandi deformazioni, quindi essendo quelle grandi, dovrebbero esser grandi pure gli spostamenti, visto che la deformazione circonferenziale è u/r. quindi sembra che la nostra approssimazione non sia molto lecita...

[kinder1]

certamente. Però, se vuoi fare i conti a mano non hai alternativa.

Considera però, che dal punto di vista ingegneristico tale approssimazione, certamente grossolana in alcuni casi, non ha un impatto significativo, perché, come saprai, in condizioni di collasso plastico lo stato di tensione tende a slegarsi dalle deformazioni. Prendi il caso di un materiale quale l'acciaio, con grandi capacità di deformazione allo snervamento. Quando una struttura è al collasso le tensioni tendono a distribuirsi in maniera uniforme. Ricordati che l'importanza delle deformazioni in regime elastico risiede anche nel legame tra queste e le tensioni, che sono ciò che interessa significativamente all'ingegnere (senza trascurare comunque l'importanza delle deformazioni stesse).

Noi non siamo matematici...

[cavallipurosangue]

Si, quello che dici è vero, ma sembra quasi che non esista un legame costitutivo oltre il limite elastico da quello che dici, cosa che non mi risulta.

[Sk_Anonymous]

Ok, eccolo... Quindi l'approssimazione sta nel porre u<

é una approssimazione ma non l'unica ... anche imporre l'uguaglianze delle aree lo è.
C'è qualcosa che non mi torna però in questa soluzione, che è equivalente ad applicare l'equazione di continuità (conservazione della massa): non è più ragionevole ipotizzare che la deformazione avvenga a volume costante ?

[cavallipurosangue]

Infatti è stato applicato il principio della conservazione del volume, solo che si suppone l'altezza costante, anche perchè sennò il flow stess non sarebbe più costante...

[kinder1]

"nnsoxke":

Ok, eccolo... Quindi l'approssimazione sta nel porre u<

é una approssimazione ma non l'unica ... anche imporre l'uguaglianze delle aree lo è.
C'è qualcosa che non mi torna però in questa soluzione, che è equivalente ad applicare l'equazione di continuità (conservazione della massa): non è più ragionevole ipotizzare che la deformazione avvenga a volume costante ?

E' esattamente l'ipotesi che sta alla base della conservazione dell'area, in stato piano di deformazione, come puoi leggere qualche post più su.

@Cavalli...

il mio discorso ha sottinteso l'impiego di un materiale elastoplastico. Anche questo è un modello, un'approssimazione.

Forse questa massa di approssimazioni vi turba, ma non dimenticate che gli ingegneri facevano i conti col regolo anche quando è stata costruita la torre Eiffel e si costruivano treni a vapore: non potevano avere il palato sottile per la precisione formale. Oltre ad impostare le equazioni dovevano anche risolverle.

[cavallipurosangue]

Ok grazie per le delucidazioni... A presto

[Sk_Anonymous]

Venendo alla richiesta dell'esercizio, ovvero calcolare le tensioni sulla superficie di contatto.
Impostando l'equazione di equilibrio mi viene da risolvere questa:
$sigma_r+(d sigma_r) /(dr)*r+(d tau_(zr))/(dz)*r-sigma_t=0$
$sigma_r$=tensione radiale
$sigma_t$=tangenziale
$z$= direzione perpendicolare alla superficie di contatto
$(d tau_(zr))/(dz)$ immagino che dipenda anche dal coefficiente di attrito con il piano... è una tensione che si ricava sperimentalmente come per i fluidi in base al gradiente degli spostamenti in direzione z (perpendicolare alla superficie di contatto) e al tipo di materiale?

[Sk_Anonymous]

A questo punto si fa questo passaggio: si usa il criterio di Tresca per trovare l'ultima relazione che ci serve.

Ys=σzz-σrr⇒dσzz=dσrr visto che Ys dipende solo dalla velocità e dall'altezza dello spezzone (a caldo)

Perchè hai preso $sigma_r$ e $sigma_z$ nell'applicare il criterio di Tresca, sono la massima e la minima tensione considerando anche i segni ?

[cavallipurosangue]

Io avevo cominciato prendendo una fetta infinitesima "tagliata sui 4 lati" di dimensioni dr e rdθ, ed avevo detto che se si trascurava il contributo dell'attrito sulle facce a contatto con gli stampi, il sistema principale era quello che si usa nelle lastre circolari.
A questo punto, vista questa considerazione, avevo disegnato le tensioni sul "capello", ossia σθθ e σrr, le prime uguali su entrambe le facce, vista la simmetria, mentre per le seconde ho considerato che ci fosse un certo gradiente in direzione radiale.

Così facendo, scrivo l'equazione di equilibrio in direzione radiale ed ottengo la seguente equazione differenziale :

$ (\sigma_(rr)+d\sigma_(rr))(r+dr)hd\theta-\sigma_(rr)rhd\theta-2sigma_(thetatheta)hdr(d\theta)/2-2muprdr d\theta=0$

dove p è la pressione di contatto con gli stampi, $h$ è l'altezza dello spezzone, e $mu$ il coefficiente di attrito.

Eliminando gli infinitesimi di ordine superiore:
$[d\sigma_(rr)r+\sigma_(rr)dr-\sigma_(thetatheta)dr]h-2\mupdr=0$

sempre per l'equilibrio: $p=sigma_(zz)$ (conta il modulo)

Per risolverla dovrei adesso però essere in grado di esprimere le tre tensioni in funzione di una sola di esse, oppure fare in modo che nell'equazione ne rimanga una sola.

Essendo quindi: $varepsilon_(rr)=varepsilon_(thetatheta)$ si ha: $sigma_(rr)=\sigma_(thetatheta)$

Questo comporta allora:

$[d\sigma_(rr)r]h-2\mu\sigma_(zz)dr=0$

A questo punto si fa questo passaggio: si usa il criterio di Tresca per trovare l'ultima relazione che ci serve.

$Y_s=\sigma_(zz)-\sigma_(rr)=>d\sigma_(zz)=d\sigma_(rr)$ visto che $Y_s$ dipende solo dalla velocità e dall'altezza dello spezzone (a caldo),

$[d\sigma_(zz)r]h=2\mu\sigma_(zz)dr=>\sigma_(zz)=Ce^(-2\mur/h)$

$\sigma_(rr)(R)=0=>\sigma_(zz)(R)=Y_s$

$\sigma_(zz)=Y_se^(2\mu/h(R-r))$ , $\sigma_(rr)=\sigma_(thetatheta)=Y_s(e^(2\mu/h(R-r))-1).

Questo è dove si voleva arrivare.

Ed il risultato è questo, anche se in realtà andrebbe trovata la forza da applicare alla pressa per eseguire l'operazione... Ma per far quello basta integrare.

[cavallipurosangue]

Guarda ho corretto perchè avevo sbagliato dei segni adesso dovrebbe tornare tutto.

[cavallipurosangue]

Volevo aggiungere che secondo me le cose stanno così: lo stato di deformazione in questo caso non è piano, ma ci sono tutti e tre i contributi rispetto al sistema principale.

Lo stato di tensione sul piano ortogonale all'asse è equibiassiale; ciò deriva a mio avviso da quesata approssimazione. Visto che l'attrito è piccolo in confronto alle altre forze in gioco, (come si verifica anche a posteriori), le tensioni nel piano normale sono abbastanza piu piccole di quelle assiali, quindi (come abbiamo fatto nello scegliere il sistema principale) possiamo trascurarle in confronto a queste ultime.

Quindi, essendo le tensioni deviatorie: $\sigma_(ii)'=2/3\sigma_(ii)-1/3(\sigma_(jj)+\sigma_(kk))$ e facendo per le considerazioni poco sopra l'approssimazione: $\sigma_(kk)> >\sigma_(ii),\sigma_(jj)$ allora: $\sigma_(ii)'=\sigma_(kk)/3$.
Quindi:
$\varepsilon_(thetatheta)/(\sigma_(thetatheta)')=\varepsilon_(rr)/(\sigma_(rr)')=>\varepsilon_(thetatheta)/(\sigma_(zz))=\varepsilon_(rr)/(\sigma_(zz))=>\varepsilon_(thetatheta)=\varepsilon_(rr)=-varepsilon_(zz)/2$

[Marco831]

"cavallipurosangue":Però nella deformazione plastica siamo nel campo delle grandi deformazioni

Qui ti sbagli. L'ipotesi di piccole deformazioni non ha a che fare con il regime plastico o elastico, quanto con il fatto che le derivate possono essere prese attorno alla posizione iniziale (mentre a essere rigorose, dovrebbero essere prese rispetto alla posizione attuale). Un materiale molto elastico viola questa condizione ben prima di passare al regime plastico, mentre un materiale con un limite elastico molto basso (i.e. stile plastilina) puo soddisfare questa condizione anche in regime plastico (finchè gli spostamento non diventano grandi rispetto alle sue dimensioni caratteristiche).