Definizione di forza (mi vergogno)!
Secondo alcuni autori (Picasso, Rosati, Roller Blum, Goldstein...) la definizione di forza agente su un sistema è
$F= (dP)/(dt)$ 1)
Nel caso particolare di massa costante, allora sono legittimato a scrivere
$F= ma$ 2)
che risulta essere così un caso particolare della 1)...
Un altra mia fonte invece sostiene che la formula originale, quella che costituisce la definizione di forza agente su un sistema è
$F=ma$
e che solo in caso di massa costante posso dedurre da questa
$F=(dP)/(dt)$
Può sembrare una questione di poco conto, ma è fondamentale nel caso voglia decidere la forza agente su un punto materiale che per qualche motivo "perde massa" lungo il suo percorso.
Prendiamo un punto materiale di massa iniziale 3 Kg. Supponiamo che si muova con velocità costante $2 m/s$, e, durante il moto, perde la sua massa in modo lineare, cioè con una legge del tipo
$m(t) = 3-\alpha t$
dove $\alpha$ è un certo numero.
Se la formula corretta è la 1) allora devo ammettere che F=ma= 0 (perchè lo è a).
Se invece è più corretta la 2), allora si ha $F= (dm)/(dt) V +ma= -2\alpha$, ovvero sul mio punto materiale sta agendo una forza negativa. Questa seconda possibilità mi pare in ogni caso più fattibile: un corpo che perde massa "Intuitivamente" accelera, quindi se lo voglio mantenere a velocità costante devo in qualche modo "frenarlo"...
Dopo avervi ribadito la mia profonda vergogna per essere riuscito a passare fisica I con delle lacune così gravi, attendo un vostro parere in merito...
Grazie mille!
$F= (dP)/(dt)$ 1)
Nel caso particolare di massa costante, allora sono legittimato a scrivere
$F= ma$ 2)
che risulta essere così un caso particolare della 1)...
Un altra mia fonte invece sostiene che la formula originale, quella che costituisce la definizione di forza agente su un sistema è
$F=ma$
e che solo in caso di massa costante posso dedurre da questa
$F=(dP)/(dt)$
Può sembrare una questione di poco conto, ma è fondamentale nel caso voglia decidere la forza agente su un punto materiale che per qualche motivo "perde massa" lungo il suo percorso.
Prendiamo un punto materiale di massa iniziale 3 Kg. Supponiamo che si muova con velocità costante $2 m/s$, e, durante il moto, perde la sua massa in modo lineare, cioè con una legge del tipo
$m(t) = 3-\alpha t$
dove $\alpha$ è un certo numero.
Se la formula corretta è la 1) allora devo ammettere che F=ma= 0 (perchè lo è a).
Se invece è più corretta la 2), allora si ha $F= (dm)/(dt) V +ma= -2\alpha$, ovvero sul mio punto materiale sta agendo una forza negativa. Questa seconda possibilità mi pare in ogni caso più fattibile: un corpo che perde massa "Intuitivamente" accelera, quindi se lo voglio mantenere a velocità costante devo in qualche modo "frenarlo"...
Dopo avervi ribadito la mia profonda vergogna per essere riuscito a passare fisica I con delle lacune così gravi, attendo un vostro parere in merito...
Grazie mille!
Risposte
Passando poi alla dinamica dei sistemi, se considero 10000 particelle, e per ognuna considero l'equazione
$F_i=m_i a_i$
MI basta sommare lungo i, e tenere conto che le forze interne si annullano a 2 a 2, per ottenere semplicemente
$F_{ext} = \sum m_i a_i = M\sum_i 1/M (m_i a_i)$
e mi basta chiamare "Accelerazione del centro di massa" quel termine dentro la sommatoria per ottenere l'equazione (comunque sempre valida) della dinamica dei sistemi...
In ogni caso questi sistemi sono tutti a massa costante...quindi posso sempre scrivere che $F=(dP)/(dt)$ dove P è la quantità di moto dell'intero sistema...
$F_i=m_i a_i$
MI basta sommare lungo i, e tenere conto che le forze interne si annullano a 2 a 2, per ottenere semplicemente
$F_{ext} = \sum m_i a_i = M\sum_i 1/M (m_i a_i)$
e mi basta chiamare "Accelerazione del centro di massa" quel termine dentro la sommatoria per ottenere l'equazione (comunque sempre valida) della dinamica dei sistemi...
In ogni caso questi sistemi sono tutti a massa costante...quindi posso sempre scrivere che $F=(dP)/(dt)$ dove P è la quantità di moto dell'intero sistema...
La massa, per il modello standard, è una caratteristica invariante delle singole particelle elementari.
In meccanica classica, il punto materiale (pura astrazione !!!!! quindi invenzione della mente umana) per me può avere massa variabile. Se per un altro non è così, no problem, basta essere coerenti.
1) massa costante --> $F = ma$.
2) massa variabile --> $f dt = dp$.
Siamo d'accordo?
In meccanica classica, il punto materiale (pura astrazione !!!!! quindi invenzione della mente umana) per me può avere massa variabile. Se per un altro non è così, no problem, basta essere coerenti.
1) massa costante --> $F = ma$.
2) massa variabile --> $f dt = dp$.
Siamo d'accordo?
Beh, adesso vado a dormire ... sognando masse, forze ecc. 
Spero di riprendere il discorso domani....in ogni caso, sperando che anche altri mi rispondano (qui il confronto tra diversi menti è importante come il pane per me) voglio riuppare la domanda...
II mio prof dice che l'equazione che vale in generale è F=ma, e posso usare F= D(mv) solo quando la massa rimane costante. Questo però è tutto il contrario di quanto mi ha detto qui sopra Arrigo, o quello che trovo nei libri (e quello che mi ricordo dalle lezioni catanesi di Fisica I tenuti dall'esimio prof. Potenza che ricordo ancora con affetto).
Come applicazione della differenza tra i due concetti di forza, abbiamo considerato un sistema a due corpi, il primo posato su un tavolo di massa M(t) variabile nel tempo, e un altro corpo, di massa m, che penzola fuori dal tavolo, legto al primo corpo da una fune inestensibile. Io avrei usato le tre equazioni
$-mg+T=m\ddot y$
$-T=M(t)\ddot x$
$\ddot x = -\ddot y$.
In particolare nella 2, pur essendo la massa variabile, ho preso come "forza" la sua massa (nel tempo t) per la sua accelerazione lungo x.
Arrigo invece ha applicato
$F=(dQ_x)/(dt)$
con
$Q_x= M(t)\dot X$
In tal caso l'equazione diviene
$F_x=\dot M(t)\dot X +M(t)\ddot x$
e si trova che $F_x=mg$ usando la 1) e la 3) (su cui concordiamo).
Quale dei due metodi è corretto?
II mio prof dice che l'equazione che vale in generale è F=ma, e posso usare F= D(mv) solo quando la massa rimane costante. Questo però è tutto il contrario di quanto mi ha detto qui sopra Arrigo, o quello che trovo nei libri (e quello che mi ricordo dalle lezioni catanesi di Fisica I tenuti dall'esimio prof. Potenza che ricordo ancora con affetto).
Come applicazione della differenza tra i due concetti di forza, abbiamo considerato un sistema a due corpi, il primo posato su un tavolo di massa M(t) variabile nel tempo, e un altro corpo, di massa m, che penzola fuori dal tavolo, legto al primo corpo da una fune inestensibile. Io avrei usato le tre equazioni
$-mg+T=m\ddot y$
$-T=M(t)\ddot x$
$\ddot x = -\ddot y$.
In particolare nella 2, pur essendo la massa variabile, ho preso come "forza" la sua massa (nel tempo t) per la sua accelerazione lungo x.
Arrigo invece ha applicato
$F=(dQ_x)/(dt)$
con
$Q_x= M(t)\dot X$
In tal caso l'equazione diviene
$F_x=\dot M(t)\dot X +M(t)\ddot x$
e si trova che $F_x=mg$ usando la 1) e la 3) (su cui concordiamo).
Quale dei due metodi è corretto?
Up
Rieccomi. La differenza fra i due casi sta nel termine additivo $\phi = dot M dot x$. Questo termine è presente se si parte dalla $F = d/{dt} (M dot x)$.
Ho pensato alle implicazioni di questo termine. Se la variazione di massa avviene rapidamente, il termine $\phi$ è grande per cui si ottiene uno "scatto" di velocità tanto più è repentino la variazione di massa.
Cosa succede sperimentalmente? Supponiamo che un corpo su cui agisce una forza costante perda improvvisamente metà della sua massa (si sgancia softly) in un tempo molto breve. Cosa ci aspettiamo? Uno forte scatto in avanti o un cambiamento smouth della velocità?
Ho pensato alle implicazioni di questo termine. Se la variazione di massa avviene rapidamente, il termine $\phi$ è grande per cui si ottiene uno "scatto" di velocità tanto più è repentino la variazione di massa.
Cosa succede sperimentalmente? Supponiamo che un corpo su cui agisce una forza costante perda improvvisamente metà della sua massa (si sgancia softly) in un tempo molto breve. Cosa ci aspettiamo? Uno forte scatto in avanti o un cambiamento smouth della velocità?
smouth?
Spero non ti annoino le mie riflessioni di stamattina (ci ho pensato a lungo davanti a una bella passeggiata).
Immagina che il corpo di massa M(t) sia un pezzettino di formaggio (ho scelto questo materiale per la "consistenza"). Ovviamente assumo che il piano sia pulito e che dopo l'esperimento mi possa fare una bella caprese (XD). Scherzi a parte. Immagina che il ripiano su cui è posato M(t) è molto liscio, abbastanza liscio. Metti che M(t) in un certo istante del moto abbia una certa velocità V.
Adesso prendo un coltello, e applico una forza super mega impulsiva al mio pezzo di formaggio, tagliandolo di netto con una forza di pochi milionesimi di secondo (è un esperimento mentale, come quel povero gatto là...)
La forza la applico lungo la verticale, ergo LUNGO IL PIANO la quantità di moto lungo x si conserva. Se l'operazione è avvenuta abbastanza rapidamente, non vedo alcun motivo per cui la velocità del formaggio "estratto", di massa $\Delta m$ debba variare: la quantità di moto del sistema $M(t)+\Delta m$ si conserva lungo x. Fine della favola: mentre il corpo penzola dall'altra parte e cade, deve spingere un corpo di massa $M(t)$...l'accelerazione verrà già automaticamente maggiore perchè $a=F/m$...
Voglio solo dire che la perdita di massa può avvernire in modi da alterare la velocità del sistema $M(t)$ (un esplosione, per esempio, una molla che si rompe e spinge M(t) in avanti), e può anche avvenire in modo che non alterano la velocità di $M(t)$.
Inoltre ho pensato, come tu stesso hai proposto, che alla fin fine tutto ogni sistema è un ammasso di atomi, molecole, particelle elementari...che senso ha derivare la $M(t)$? Essa non è neanche una funzione continua (la massa è quantizzata no?)
Immagina che il corpo di massa M(t) sia un pezzettino di formaggio (ho scelto questo materiale per la "consistenza"). Ovviamente assumo che il piano sia pulito e che dopo l'esperimento mi possa fare una bella caprese (XD). Scherzi a parte. Immagina che il ripiano su cui è posato M(t) è molto liscio, abbastanza liscio. Metti che M(t) in un certo istante del moto abbia una certa velocità V.
Adesso prendo un coltello, e applico una forza super mega impulsiva al mio pezzo di formaggio, tagliandolo di netto con una forza di pochi milionesimi di secondo (è un esperimento mentale, come quel povero gatto là...)
La forza la applico lungo la verticale, ergo LUNGO IL PIANO la quantità di moto lungo x si conserva. Se l'operazione è avvenuta abbastanza rapidamente, non vedo alcun motivo per cui la velocità del formaggio "estratto", di massa $\Delta m$ debba variare: la quantità di moto del sistema $M(t)+\Delta m$ si conserva lungo x. Fine della favola: mentre il corpo penzola dall'altra parte e cade, deve spingere un corpo di massa $M(t)$...l'accelerazione verrà già automaticamente maggiore perchè $a=F/m$...
Voglio solo dire che la perdita di massa può avvernire in modi da alterare la velocità del sistema $M(t)$ (un esplosione, per esempio, una molla che si rompe e spinge M(t) in avanti), e può anche avvenire in modo che non alterano la velocità di $M(t)$.
Inoltre ho pensato, come tu stesso hai proposto, che alla fin fine tutto ogni sistema è un ammasso di atomi, molecole, particelle elementari...che senso ha derivare la $M(t)$? Essa non è neanche una funzione continua (la massa è quantizzata no?)
E' per questi motivi (su cui sono ansioso di leggere le vostre considerazioni) che trovo perfettamente logico e ragionevole definire la forza per una particella di massa costante, e poi estendere il tutto alla dinamica dei sistemi...perchè il "modo in cui viene persa la massa" può influire sul moto di $M(t)$...
Sì, smooth ...
D'accordo considerare i sistemi formati da particelle di masse date e di considerarli, quando si può, sistemi isolati.
Ma se c'è una forza esterna, o, come nel caso del carrello che perde massa e soggetto ad una forza costante data da un pesetto in cui non posso certo tirare in ballo la Terra...
L'esempio del formaggio non l'ho capito. Perché non rimaniamo all'esempio del carrello di cui sopra? Lo trovo molto adatto allo scopo. A scanso di equivoci farò un disegno ...
D'accordo considerare i sistemi formati da particelle di masse date e di considerarli, quando si può, sistemi isolati.
Ma se c'è una forza esterna, o, come nel caso del carrello che perde massa e soggetto ad una forza costante data da un pesetto in cui non posso certo tirare in ballo la Terra...
L'esempio del formaggio non l'ho capito. Perché non rimaniamo all'esempio del carrello di cui sopra? Lo trovo molto adatto allo scopo. A scanso di equivoci farò un disegno ...
Si si esatto...era esattamente quello che intendevo io. Lascia stare il formaggio, era solo per dire che suddividevo M(t) verticalmente, in modo abbastanza veloce da non perturbare la velocità delle due parti...la perdita di massa può avvenire in modo da "spingere" M(t) oppure può essere una semplice perdita di massa, che lascia invariato M e $\Delta m$. Quello che dico è che, nel secondo caso, la forza mg tirerà M(t) un pò diminuito (ma non la m staccata)...
mi sto confondendo anch'io...
mi sto confondendo anch'io...
Io comincio a sospettare che i nostri metodi siano equivalenti...
Il tuo stesso problema, ecco come lo risolverei.
Sia M_0 la massa iniziale del corpo, e sia M(t) una funzione (approssimativamente continua) che dà la massa di un corpo in funzione del tempo. La massa espulsa è $m_e=M_0-M(t)$.
Il sistema $M_t+m_e$ ha massa costante $m_0$. Ne consegue che posso scrivere la F totale agente sul sistema dei due corpi nel modo seguente
$F=\dot Q$.
Scriviamo la Q del mio sistema (sempre lungo x)
$Q=M(t)\dot X+m_e \dot x$, dove X è la coordinata di M(t), e x la coordinata di $m_e$ (col piffero che coincidono, questo è poco ma sicuro.
Proviamo a derivare.
$\dot Q = \dot M \dot X +M(t)\ddot X+\dot m_e \dot x +m_e\ddot x$. 1).
Dalla definizione di $m_e$ si evince che $\dot m_e = -\dot M(t)$. Ma allora la 1) diventa
$\dot Q = \dot M \dot X+ M\ddot X-\dot M\dot x + (M_0-M)\ddot x$
Scriviamo il secondo principio (posso scriverlo nella forma $\dot Q = \sum F$ solo perchè la massa è costante).
$\dot Q = \dot M(\dot X-\dot x)+M(\ddot X-\ddot x)+M_0\ddot x = \sum F = mg$ II)
Ecco, questo è il mio modo di risolverlo...
Il tuo stesso problema, ecco come lo risolverei.
Sia M_0 la massa iniziale del corpo, e sia M(t) una funzione (approssimativamente continua) che dà la massa di un corpo in funzione del tempo. La massa espulsa è $m_e=M_0-M(t)$.
Il sistema $M_t+m_e$ ha massa costante $m_0$. Ne consegue che posso scrivere la F totale agente sul sistema dei due corpi nel modo seguente
$F=\dot Q$.
Scriviamo la Q del mio sistema (sempre lungo x)
$Q=M(t)\dot X+m_e \dot x$, dove X è la coordinata di M(t), e x la coordinata di $m_e$ (col piffero che coincidono, questo è poco ma sicuro.
Proviamo a derivare.
$\dot Q = \dot M \dot X +M(t)\ddot X+\dot m_e \dot x +m_e\ddot x$. 1).
Dalla definizione di $m_e$ si evince che $\dot m_e = -\dot M(t)$. Ma allora la 1) diventa
$\dot Q = \dot M \dot X+ M\ddot X-\dot M\dot x + (M_0-M)\ddot x$
Scriviamo il secondo principio (posso scriverlo nella forma $\dot Q = \sum F$ solo perchè la massa è costante).
$\dot Q = \dot M(\dot X-\dot x)+M(\ddot X-\ddot x)+M_0\ddot x = \sum F = mg$ II)
Ecco, questo è il mio modo di risolverlo...
Alcune figate sulla (II):
Se i due corpi hanno la stessa velocità, anche dopo essere stati "tagliati", allora i primi due pezzi si annullano, e rimane solo il terzo. Che, guarda caso, è semplicemente la stessa equazione che ci sarebbe nel caso non ci fosse stata alcuna perdita di massa.
Se i due corpi hanno la stessa velocità, anche dopo essere stati "tagliati", allora i primi due pezzi si annullano, e rimane solo il terzo. Che, guarda caso, è semplicemente la stessa equazione che ci sarebbe nel caso non ci fosse stata alcuna perdita di massa.
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