Cuneo con Carrucola 5.119
Punto 1)
Ho risolto impostando le seguenti equazioni:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -T_2$
$m_1 ddot(x) = T_1$
si tratta di un caso ideale, dove la carrucola non ha massa, il filo è inestensibile e quindi bastano le due equazioni che ho scritto, non serve la seconda equazione cardinale che tratta i momenti.
Essendo un caso ideale, si ha $T_1=T_2$ e allora posso scrivere in questo modo:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -T$
$m_1 ddot(x) = T$
Sostituisco la seconda nella prima ed ottengo che:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -m_1 ddot(x) $
$m_1 ddot(x) = T$
$ddot(x) = (m_2 g sen theta)/(m_1+m_2)$
$m_1 ddot(x) = T$
Per arrivare all'equazione del moto io integro per due volte ed ho:
$x = 1/2(m_2 g sen theta)/(m_1+m_2)t^2$
Per quale motivo il testo scrive invece che l'accelerazione deve essere la seguente:
$a_1= (m_1-m_2)/(m_1+m_2)g sin theta <0$
Ma come è arrivato a questa accelerazione?
Che poi il testo avrà integrato anche lui per due volte, ottenendo lo spazio percorso in funzione del tempo:
$s_1=s_2=1/2(m_1-m_2)/(m_1+m_2)g sin theta t^2$
Ma cosa ha fatto il testo che io non riscontro?
Punto 2)
La cosa che mi viene in mente vedendo il sistema, e' che se la carrucola ideale ruota in senso orario per effetto della discesa lungo il piano della massa $m_2$, avrò una rotazione del cuneo che presumo sia in senso orario. Insomma, io immagino un qualcosa simile al giroscopio, solo che in questo caso si ha che la carrucola ruota con asse perpendicolare al piano inclinato, e il cuneo a sua volta ruota in senso orario rispetto al pavimento.
Non sono sicuro di quello che ho detto, perché se non erro il moto giroscopico dovrebbe esistere solo se ci sono dei momenti angolari, ma essendo questo un caso ideale, non ci sono momenti, quindi apparte le mie insicurezze in merito al moto che ci dovrebbe essere per l'intero sistema, ho dei dubbi in quanto un caso ideale ha qualcosa in meno in termini di effetti sul sistema.
Punto 3)
Qui non riesco ad impostare un ragionamento, ma questo è un problema del fatto che non sono riuscito a rispondere bene ala domanda 2), se non comprendo il fenomeno, non posso impostare le equazioni e questo mi blocca.
Help!
P.S. Navigatore, ho esaurito tutte le mie idee in merito a questo esercizio, non so più cosa dire.
Punto 1)
Ho risolto impostando le seguenti equazioni:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -T_2$
$m_1 ddot(x) = T_1$
si tratta di un caso ideale, dove la carrucola non ha massa, il filo è inestensibile e quindi bastano le due equazioni che ho scritto, non serve la seconda equazione cardinale che tratta i momenti.
Essendo un caso ideale, si ha $T_1=T_2$ e allora posso scrivere in questo modo:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -T$
$m_1 ddot(x) = T$
Sostituisco la seconda nella prima ed ottengo che:
$m_2 ddot(x) = m_2 g sen theta -m_1 ddot(x) $
$m_1 ddot(x) = T$
$ddot(x) = (m_2 g sen theta)/(m_1+m_2)$
$m_1 ddot(x) = T$
Per arrivare all'equazione del moto io integro per due volte ed ho:
$x = 1/2(m_2 g sen theta)/(m_1+m_2)t^2$
Per quale motivo il testo scrive invece che l'accelerazione deve essere la seguente:
$a_1= (m_1-m_2)/(m_1+m_2)g sin theta <0$
Ma come è arrivato a questa accelerazione?
Che poi il testo avrà integrato anche lui per due volte, ottenendo lo spazio percorso in funzione del tempo:
$s_1=s_2=1/2(m_1-m_2)/(m_1+m_2)g sin theta t^2$
Ma cosa ha fatto il testo che io non riscontro?
Punto 2)
La cosa che mi viene in mente vedendo il sistema, e' che se la carrucola ideale ruota in senso orario per effetto della discesa lungo il piano della massa $m_2$, avrò una rotazione del cuneo che presumo sia in senso orario. Insomma, io immagino un qualcosa simile al giroscopio, solo che in questo caso si ha che la carrucola ruota con asse perpendicolare al piano inclinato, e il cuneo a sua volta ruota in senso orario rispetto al pavimento.
Non sono sicuro di quello che ho detto, perché se non erro il moto giroscopico dovrebbe esistere solo se ci sono dei momenti angolari, ma essendo questo un caso ideale, non ci sono momenti, quindi apparte le mie insicurezze in merito al moto che ci dovrebbe essere per l'intero sistema, ho dei dubbi in quanto un caso ideale ha qualcosa in meno in termini di effetti sul sistema.
Punto 3)
Qui non riesco ad impostare un ragionamento, ma questo è un problema del fatto che non sono riuscito a rispondere bene ala domanda 2), se non comprendo il fenomeno, non posso impostare le equazioni e questo mi blocca.
Help!
P.S. Navigatore, ho esaurito tutte le mie idee in merito a questo esercizio, non so più cosa dire.
Risposte
Il sistema delle due masse diverse, collegate dal filo perfetto, senza attrito nel perno, non è altro che una "macchina di Atwood" coricata sul piano del cuneo.
Perciò, l'accelerazione di gravità ha una componente "attiva" che agisce sulle due masse, la quale vale $gsen\theta$ . Basta procedere come nella macchina di Atwood, ora, per quanto concerne la prima domanda, ponendo $gsen\theta$ al posto di $g$.
Hai mancato di aggiungere, per la massa $m_1$ , la forza dovuta alla componente del peso : $m_1gsen\theta$ . Se la metti nella maniera adeguata, ci sei .
Nel punto 2, il giroscopio non c'entra affatto. Renditi conto invece che il CM delle due pulegge si sposta, e di conseguenza si sposta il cuneo sul piano.
Perciò, l'accelerazione di gravità ha una componente "attiva" che agisce sulle due masse, la quale vale $gsen\theta$ . Basta procedere come nella macchina di Atwood, ora, per quanto concerne la prima domanda, ponendo $gsen\theta$ al posto di $g$.
Hai mancato di aggiungere, per la massa $m_1$ , la forza dovuta alla componente del peso : $m_1gsen\theta$ . Se la metti nella maniera adeguata, ci sei .
Nel punto 2, il giroscopio non c'entra affatto. Renditi conto invece che il CM delle due pulegge si sposta, e di conseguenza si sposta il cuneo sul piano.
"navigatore":
Hai mancato di aggiungere, per la massa $m_1$ , la forza dovuta alla componente del peso : $m_1gsen\theta$ . Se la metti nella maniera adeguata, ci sei .
Scusami, ma perche' devo aggiungere la forza peso della massa $m_1$ ?
Insomma, io ho impostato le equazioni supponendo un sistema simile alle semplici carrucole, perche devo aggiungere la forza peso...........?
"Antonio_80":
[quote="navigatore"]
Hai mancato di aggiungere, per la massa $m_1$ , la forza dovuta alla componente del peso : $m_1gsen\theta$ . Se la metti nella maniera adeguata, ci sei .
Scusami, ma perche' devo aggiungere la forza peso della massa $m_1$ ?
Insomma, io ho impostato le equazioni supponendo un sistema simile alle semplici carrucole, perche devo aggiungere la forza peso...........?[/quote]
Perché l'hai messa giustamente per $m_2$ .
Per quale ragione non vuoi metterla per $m_1$ ? Su $m_1$ non agisce solo la tensione del filo, rifletti.
Hai risolto in passato l'esercizio della macchina di Atwood ?
E si! Adesso ho compreso!
Si ho risolto Atwood!
Come sempre, i tuoi aiuti sono sinonimo di ragionamento!
Ti ringrazio di cuore!
Si ho risolto Atwood!
Come sempre, i tuoi aiuti sono sinonimo di ragionamento!
Ti ringrazio di cuore!
Punto 3)
In presenza di attrito statico $mu_s$ tra il cuneo e il piano orizzontale, determinare il valore minimo affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$.
Per questo punto non sto riuscendo proprio ad avere idee in merito!
Cosa posso pensare per arrivare ad una buona impostazione per la risposta
Help!
In presenza di attrito statico $mu_s$ tra il cuneo e il piano orizzontale, determinare il valore minimo affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$.
Per questo punto non sto riuscendo proprio ad avere idee in merito!
Cosa posso pensare per arrivare ad una buona impostazione per la risposta
Help!
Nel moto delle due masse, si manifestano le tensioni $T$ uguali nei due tratti di filo, che agiscono entrambe sulla puleggia. La puleggia trasmette quindi la forza risultante al cuneo tramite il proprio perno.
Fin quando c'è sufficiente attrito tra cuneo e piano orizzontale, il cuneo non si muove.
Se invece la componente orizzontale della forza detta supera $\muN$ , ci sarà movimento del cuneo. Stavolta sì, che va considerato il valore max della forza di attrito che il piano orizzontale può opporre al moto!
Fare attenzione nella determinazione della forza $N$ con cui il piano orizzontale equilibra le forze trasmesse dal cuneo.
Fin quando c'è sufficiente attrito tra cuneo e piano orizzontale, il cuneo non si muove.
Se invece la componente orizzontale della forza detta supera $\muN$ , ci sarà movimento del cuneo. Stavolta sì, che va considerato il valore max della forza di attrito che il piano orizzontale può opporre al moto!
Fare attenzione nella determinazione della forza $N$ con cui il piano orizzontale equilibra le forze trasmesse dal cuneo.
"navigatore":
Nel punto 2, il giroscopio non c'entra affatto. Renditi conto invece che il CM delle due pulegge si sposta, e di conseguenza si sposta il cuneo sul piano.
Scusami, allora penso si possa scrivere un qualcosa del genere, dove si hanno solo spostamenti lungo l'orizzontale e non in verticale:
$(MX_0 + m_1x_1 + m_2x_2)/(M_1+m_1+m_2)$
Se vogliamo usare spostamenti infinitesimi avrò che:
$(M(X_0+Delta) + m_1(x_1 + delta_1) + m_2(x_2+delta_2))/(M_1+m_1+m_2)$
So che il sistema di movimento è innescato dalla massa $m_2$ che percorre il tratto $L$, se vogliamo indicare lo spostamento orizzontale devo scrivere che $delta_2 = L cos theta$ mentre per il corpo con massa $m_1$ si ha che lo spostamento è $delta_1=-Lcos theta$, ma di tutto questo come faccio ad arrivare allo spostamento del sistema in totale
Io rinuncio a decifrare il tuo ragionamento e il tuo scritto, vedo soltanto che non hai le idee chiare su tanti argomenti che avresti dovuto apprendere in fisica1 .
Lascia stare per un po' il cuneo; soffermati sulle due masse , disegnale sul foglio davanti a te che ora rappresenta il piano su cui le masse si muovono, con l'accelerazione $g' = gsen\theta$ verso il basso del foglio (ma per ora questo non ci importa), collegate dal filo che passa nella carrucola. Supponi che le due masse siano puntiformi , cioè sono rappresentate dai rispettivi baricentri.
Su questo piano, traccia un asse $y$ verticale, cioè parallelo ai fili, e un asse $x$ orizzontale, cioè perpendicolare ai fili. L'origine la puoi mettere in un punto qualunque del piano (ci sarebbe un punto più vantaggioso, e cioè $m_1$….ma lascio stare) .
Inizialmente il CM ha una certa posizione, determinata dalle due masse e dalle loro coordinate in questo sistema .
Poi $m_2$ scende e $m_1$ sale di $L$ . Il CM ha un'altra posizione. È facile trovare le coordinate delle 2 masse nelle posizioni iniziale e finale.
La coordinata $x_C$ del CM chiaramente non varia. LA coordinata $y_c$ invece varia. Devi scrivere la seguente relazione due volte :
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
e cioè la prima volta nella posizione iniziale delle masse e poi nella posizione finale delle masse.
Così puoi determinare lo spostamento $y_(cf) - y_(ci)$ del CM, che avviene su una parallela ai fili.
Si può fare pure una costruzione geometrica : in ogni posizione relativa delle due masse, il CM si trova sul segmento che le congiunge, e si trova più vicino alla massa maggiore $m_2$ . Per sapere quanto dista CM da $m_2$ , è sufficiente riportare su questo segmento , a partire da $m_2$ , la quantità $m_1/(m_1+m_2)* d $ , dove $d$ è la lunghezza del segmento stesso. E ciò vale in tutte le posizioni relative. Chiaramente, determinata la prima posizione, quella iniziale, tutte le altre ne vengono di conseguenza , visto che CM si sposta su una parallela ai fili.
Ritorniamo ora al cuneo. Il cuneo non ha attrito col piano orizzontale, quindi il sistema è isolato. Lo spostamento del CM delle due masse, prima calcolato, ha una componente secondo il piano orizzontale, che è quel che interessa.
Essendo il sistemo isolato, basta scrivere una relazione per esprimere il fatto che il centro di massa TOTALE , cioè del sistema (cuneo + due masse ) ,deve rimanere fermo. In questa relazione , dovrà comparire lo spostamento del cuneo nel senso opposto a quello del CM due masse, in cui si suppone concentrata la massa $m_1+ m_2 $.
Lascia stare per un po' il cuneo; soffermati sulle due masse , disegnale sul foglio davanti a te che ora rappresenta il piano su cui le masse si muovono, con l'accelerazione $g' = gsen\theta$ verso il basso del foglio (ma per ora questo non ci importa), collegate dal filo che passa nella carrucola. Supponi che le due masse siano puntiformi , cioè sono rappresentate dai rispettivi baricentri.
Su questo piano, traccia un asse $y$ verticale, cioè parallelo ai fili, e un asse $x$ orizzontale, cioè perpendicolare ai fili. L'origine la puoi mettere in un punto qualunque del piano (ci sarebbe un punto più vantaggioso, e cioè $m_1$….ma lascio stare) .
Inizialmente il CM ha una certa posizione, determinata dalle due masse e dalle loro coordinate in questo sistema .
Poi $m_2$ scende e $m_1$ sale di $L$ . Il CM ha un'altra posizione. È facile trovare le coordinate delle 2 masse nelle posizioni iniziale e finale.
La coordinata $x_C$ del CM chiaramente non varia. LA coordinata $y_c$ invece varia. Devi scrivere la seguente relazione due volte :
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
e cioè la prima volta nella posizione iniziale delle masse e poi nella posizione finale delle masse.
Così puoi determinare lo spostamento $y_(cf) - y_(ci)$ del CM, che avviene su una parallela ai fili.
Si può fare pure una costruzione geometrica : in ogni posizione relativa delle due masse, il CM si trova sul segmento che le congiunge, e si trova più vicino alla massa maggiore $m_2$ . Per sapere quanto dista CM da $m_2$ , è sufficiente riportare su questo segmento , a partire da $m_2$ , la quantità $m_1/(m_1+m_2)* d $ , dove $d$ è la lunghezza del segmento stesso. E ciò vale in tutte le posizioni relative. Chiaramente, determinata la prima posizione, quella iniziale, tutte le altre ne vengono di conseguenza , visto che CM si sposta su una parallela ai fili.
Ritorniamo ora al cuneo. Il cuneo non ha attrito col piano orizzontale, quindi il sistema è isolato. Lo spostamento del CM delle due masse, prima calcolato, ha una componente secondo il piano orizzontale, che è quel che interessa.
Essendo il sistemo isolato, basta scrivere una relazione per esprimere il fatto che il centro di massa TOTALE , cioè del sistema (cuneo + due masse ) ,deve rimanere fermo. In questa relazione , dovrà comparire lo spostamento del cuneo nel senso opposto a quello del CM due masse, in cui si suppone concentrata la massa $m_1+ m_2 $.
"navigatore":
La coordinata $x_C$ del CM chiaramente non varia. LA coordinata $y_c$ invece varia. Devi scrivere la seguente relazione due volte :
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
e cioè la prima volta nella posizione iniziale delle masse e poi nella posizione finale delle masse.
Così puoi determinare lo spostamento $y_(cf) - y_(ci)$ del CM, che avviene su una parallela ai fili.
Mi sembra che la formula che hai scritto deriva dalla seguente:
$y_c =( y_1m_1 + y_2m_2)/ (m_1+m_2)$
Ceh tu invece scrivi in modo lineare così:
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
Vero
Scusami, comprendo pienamente il fatto che va scitta due volte la seguente:
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
Ma in termini di segni, come dovrei scriverla la prima e poi la seconda volta
Se ho compreso correttamente si tratta di scrivere inizialmente:
$y_(c_i) =( y_1m_1 + y_2m_2)/ (m_1+m_2)$
Poi scrivere alla fine questa:
$y_(c_f) =( y_1m_1 + y_2m_2)/ (m_1+m_2)$
E alla fine fare la differenza:
$y_(c_f) -y_(c_i)$
Vero
Penso di aver compreso, ma meglio avere una tua conferma in merito, in quanto devo acquisire sicurezze, ma vorrei chiederti adesso in termini di calcolo, cosa verrebbe fuori da questa differenza $y_(c_f) -y_(c_i)$
Sinceramente non riesco ad immaginare come arrivare chiaramente a trovare una soluzione in merito al vettore posizione, però trovo più semplice immaginare che se massa $m_1$ sale, si può avere uno spostamento che può essere positivo, cioè $y_(c_i)$, mentre per la massa $m_2$ che scende, si ha che $y_(c_i)= -y_(c_f) $,m da cui otteniamo la stessa formula, ma di segno opposto.
Perdonami, è per colpa mia, ma come faccio a calcolare questo spostamento
P.S. Come sempre i tuoi metodi espositivi sono veramente piacevoli per comprendere i concetti
Si, ma naturalmente devi "legare" tra loro le coordinate iniziali e finali, visto che $m_2$ si abbassa di $L$ mentre $m_1$ si alza di $L$ . Quello che devi trovare è lo spostamento in direzione $y$ del CM dalla posizione iniziale a quella finale.
Ti ho detto tutto ciò che potevo su questo esercizio. Ora prosegui con la tua testa. Non è possibile, ogni volta, scendere anche nei dettagli dei passaggi, fino ai valori finali.
Ti ho detto tutto ciò che potevo su questo esercizio. Ora prosegui con la tua testa. Non è possibile, ogni volta, scendere anche nei dettagli dei passaggi, fino ai valori finali.
Hai ragione, ora faccio le mie considerazioni in merito a questo spostamento lungo l'asse delle $y$.
Abbiamo detto che dobbiamo scrivere per due volte questa formula:
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
Ma considerando la posizione iniziale, dove la massa $m_1$ è ferma nel punto più basso, mentre la massa $m_2$ è ferma in alto precisamente nella posizione $y_2=L sen theta$, si ha che la condizione iniziale è:
$y_(c_i) (m_1+m_2) = y_1m_1 + L sen theta*m_2$.......(1)
Mentre poi la massa $m_1$ sale della quantità $y_1=L sen theta$, mentre la massa $m_2$ scende della quantià $y_2=-L sen theta$, (da notare il segno meno che indica discesa della massa $m_2$), allora si ha:
$y_(c_f) (m_1+m_2) = L sen theta*m_1 - L sen theta*m_2$......(2)
Ma a me interessa solo lo spostamento che avviene lungo l'asse della $y$ e quindi penso che la ...(1), nella differenza $y_(c_f) -y_(c_i)$, possa essere conglomenrata nella sola formula ....(2), quindi lo spostamento sarà:
$delta y= L sen theta*(m_1-m_2)/(m_1+m_2)$
Dici che ho detto bene
Ma poi in termini di calcolo, mi sembra che lo spostamento lungo l'asse delle $y$ di questi due blocchi, non ci interessa, vero
Insomma, il testo chiede di determinare lo spostamento del cuneo che invece è lungo l'asse dorizzontale e quindi si dovrebbe spostare di una quantità $L*cos theta$, giusto
Allora io direi che posso concludere questo secondo punto, (nella speranza che quello che ho scritto sopra sia corretto, per questo aspetto tue conferme), lo spostamento del blocco è da considerare nelle sole componenti lungo l'asse delle $x$ sia dei due blocchi che del cuneo.
Insomma, si ha che i due blocchi si spostano di una componente $x$ che è $delta x = L costheta$, mentre il cuneo si sposta di una quantità di $Delta x = L cos theta$.
Per cui la massa $m_2$ si sposta in $x$ insieme al cuneo determinando quanto segue:
$delta x_2 = Deltax - L cos theta$ (blocco $m_2$ scende)
Mentre il blocco di massa $m_1$ si sposta insieme al cune determinando quanto segue:
$delta x_1 = Deltax + L cos theta$ (blocco $m_1$ sale)
E quindi concludiamo che il $CM$ di tutto il sistema si sposta di quanto segue:
$(MDeltax + m_1*(Deltax + L cos theta) + m_2*( Deltax - L cos theta))/(M+m_1+m_2)$
E adesso compattando questa formula che ho scritto si ha che:
$(MDeltax + m_1*Deltax + m_1L cos theta + m_2* Deltax - m_2L cos theta))/(M+m_1+m_2)=0$
$MDeltax + m_1*Deltax + m_1L cos theta + m_2* Deltax - m_2L cos theta=0$
$Deltax(M +m_1 + m_2) + m_1L cos theta - m_2L cos theta =0$
$Deltax(M +m_1 + m_2) = m_2L cos theta -m_1L cos theta $
$Deltax = ((m_2 -m_1)*L cos theta)/(M +m_1 + m_2) $
A te la parola Nav., spero che non mi tocchi una classica
, (in questa emotion, tu sei quello di destra, io sono quello di sinistra) !
Cosa ne dici delle mie conclusioni
Abbiamo detto che dobbiamo scrivere per due volte questa formula:
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
Ma considerando la posizione iniziale, dove la massa $m_1$ è ferma nel punto più basso, mentre la massa $m_2$ è ferma in alto precisamente nella posizione $y_2=L sen theta$, si ha che la condizione iniziale è:
$y_(c_i) (m_1+m_2) = y_1m_1 + L sen theta*m_2$.......(1)
Mentre poi la massa $m_1$ sale della quantità $y_1=L sen theta$, mentre la massa $m_2$ scende della quantià $y_2=-L sen theta$, (da notare il segno meno che indica discesa della massa $m_2$), allora si ha:
$y_(c_f) (m_1+m_2) = L sen theta*m_1 - L sen theta*m_2$......(2)
Ma a me interessa solo lo spostamento che avviene lungo l'asse della $y$ e quindi penso che la ...(1), nella differenza $y_(c_f) -y_(c_i)$, possa essere conglomenrata nella sola formula ....(2), quindi lo spostamento sarà:
$delta y= L sen theta*(m_1-m_2)/(m_1+m_2)$
Dici che ho detto bene
Ma poi in termini di calcolo, mi sembra che lo spostamento lungo l'asse delle $y$ di questi due blocchi, non ci interessa, vero
Insomma, il testo chiede di determinare lo spostamento del cuneo che invece è lungo l'asse dorizzontale e quindi si dovrebbe spostare di una quantità $L*cos theta$, giusto
Allora io direi che posso concludere questo secondo punto, (nella speranza che quello che ho scritto sopra sia corretto, per questo aspetto tue conferme), lo spostamento del blocco è da considerare nelle sole componenti lungo l'asse delle $x$ sia dei due blocchi che del cuneo.
Insomma, si ha che i due blocchi si spostano di una componente $x$ che è $delta x = L costheta$, mentre il cuneo si sposta di una quantità di $Delta x = L cos theta$.
Per cui la massa $m_2$ si sposta in $x$ insieme al cuneo determinando quanto segue:
$delta x_2 = Deltax - L cos theta$ (blocco $m_2$ scende)
Mentre il blocco di massa $m_1$ si sposta insieme al cune determinando quanto segue:
$delta x_1 = Deltax + L cos theta$ (blocco $m_1$ sale)
E quindi concludiamo che il $CM$ di tutto il sistema si sposta di quanto segue:
$(MDeltax + m_1*(Deltax + L cos theta) + m_2*( Deltax - L cos theta))/(M+m_1+m_2)$
E adesso compattando questa formula che ho scritto si ha che:
$(MDeltax + m_1*Deltax + m_1L cos theta + m_2* Deltax - m_2L cos theta))/(M+m_1+m_2)=0$
$MDeltax + m_1*Deltax + m_1L cos theta + m_2* Deltax - m_2L cos theta=0$
$Deltax(M +m_1 + m_2) + m_1L cos theta - m_2L cos theta =0$
$Deltax(M +m_1 + m_2) = m_2L cos theta -m_1L cos theta $
$Deltax = ((m_2 -m_1)*L cos theta)/(M +m_1 + m_2) $
A te la parola Nav., spero che non mi tocchi una classica
, (in questa emotion, tu sei quello di destra, io sono quello di sinistra) ! Cosa ne dici delle mie conclusioni
Dici che ho detto bene
No, Antonio, non hai capito quello che ti ho spiegato, spiacente.
Ma poi in termini di calcolo, mi sembra che lo spostamento lungo l'asse delle y di questi due blocchi, non ci interessa, vero
Come no ! Interessa lo spostamento del centro di massa di queste due masse sul piano inclinato, una in su, l'altra in giù! Sul piano inclinato, quando $m_2$ scende di $L$ e quindi $m_1$ sale di $L$ , il CM delle due masse si sposta nella stessa direzione di $m_2$ , e a conti fatti risulta che :
$H = |y_(ci) - y_(cf)| = (m_2-m_1)/(m_2+m_1) * L $
Insomma, il testo chiede di determinare lo spostamento del cuneo che invece è lungo l'asse dorizzontale e quindi si dovrebbe spostare di una quantità L⋅cosθ, giusto
ma da dove ti salta in testa questa idea ? Il CM delle due masse si sposta verso la base del cuneo della quantità $H$ prima detta. Questo spostamento ha una componente orizzontale, cioè parallela al piano su cui può scivolare il cuneo senza attrito, pari ad $Hcos\theta$ .
Siccome il centro di massa di tutto il sistema (cuneo + 2 masse) deve rimanere fermo, poiché ul sistema è isolato, deve aversi che la massa $M$ del cuneo si sposta verso sinistra di una quantità $D$ tale che :
$M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
LA risposta al quesito è quindi la quantità $D$ , in valore e segno: il cuneo si sposta verso sinistra mentre il CM delle due masse si sposta verso destra di $Hcos\theta$ in senso orizzontale.
Puoi anche scrivere : $ M*D + (m_2-m_1)*Lcos\theta = 0 $ , se ti piace di più.
Cosa ne dici delle mie conclusioni
Che sarà meglio che ti rivedi l'esercizio.
Chiudo qui, sono stanco.
"navigatore":
Sul piano inclinato, quando $m_2$ scende di $L$ e quindi $m_1$ sale di $L$ , il CM delle due masse si sposta nella stessa direzione di $m_2$ , e a conti fatti risulta che :
$H = |y_(ci) - y_(cf)| = (m_2-m_1)/(m_2+m_1) * L $
Scusami, ma tu hai detto che devo scrivere per due volte la seguente:
$y_c (m_1+m_2) = y_1m_1 + y_2m_2$
e cioè la prima volta nella posizione iniziale delle masse e poi nella posizione finale delle masse.
Bene, ma se io faccio la differenza membro a membro ho:
$y_(c_f)(m_1+m_2) - y_(c_i) (m_1+m_2) = (y_1m_1 + y_2m_2) - (y_1m_1 + y_2m_2)$
Considerando però lo spostamento $L$ si ha:
$y_(c_f)(m_1+m_2) - y_(c_i) (m_1+m_2) = (Lm_1 -Lm_2) - (Lm_1 - Lm_2)$
E non mi viene la stessa cosa che è venuta a te, cioè $H = |y_(ci) - y_(cf)| = (m_2-m_1)/(m_2+m_1) * L $
Cosa sto sbagliando
"Antonio_80":
[quote="navigatore"] Sul piano inclinato, quando $m_2$ scende di $L$ e quindi $m_1$ sale di $L$ , il CM delle due masse si sposta nella stessa direzione di $m_2$ , e a conti fatti risulta che :
$H = |y_(ci) - y_(cf)| = (m_2-m_1)/(m_2+m_1) * L $
………………………………….
Bene, ma se io faccio la differenza membro a membro ho:
$y_(c_f)(m_1+m_2) - y_(c_i) (m_1+m_2) = (y_1m_1 + y_2m_2) - (y_1m_1 + y_2m_2)$
Considerando però lo spostamento $L$ si ha:
$y_(c_f)(m_1+m_2) - y_(c_i) (m_1+m_2) = (Lm_1 -Lm_2) - (Lm_1 - Lm_2)$
E non mi viene la stessa cosa che è venuta a te, cioè $H = |y_(ci) - y_(cf)| = (m_2-m_1)/(m_2+m_1) * L $
Cosa sto sbagliando
[/quote]Ma possibile mai che basta scrivere una formula in maniera leggermente diversa, per non essere più capiti? ! ? !
Applica allora la formula nel modo che conosci :
$ y_c = (y_1m_1 + y_2m_2)/(m_1+m_2) $
e trova l'ordinata del CM PRIMA nella posizione iniziale e POI nella posizione finale.
Per semplificare, assumi l'origine delle coordinate nel punto occupato da $m_1$ nella configurazione iniziale : è un gioco di fisica 1 trovare le ordinate del CM in questo modo.
Poi fanne la differenza, e trova il risultato che ti ho dato.
È chiaro che come scrivi tu ti viene zero !
Penso di aver compreso, ecco il disegno del momento iniziale e momento finale:
Dalla formula del centro di massa lungo l'asse $y$ si ha $y_(CM) = (y_1m_1 + y_2m_2)/(m_1 + m_2)$.
Ovviamente a sinistra c'è il caso iniziale dove si ha:
$y_(CM_i) = (0m_1 + Lm_2)/(m_1 + m_2)$
A destra c'è il caso finale dove si ha:
$y_(CM_f) = (Lm_1 + 0m_2)/(m_1 + m_2)$
Dalla differenza delle due si ha:
$y_(CM_i) - y_(CM_f)= ( Lm_2 - Lm_1)/(m_1 + m_2)$
Cosa ne dici adesso
Ho un ultima domanda per questo punto, hai scritto che $M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
non mi è tanto chiaro il perchè eguagli tutto a zero
Se non erro eguagli tutto a zero perchè il sistema deve rimanere fermo, vero
Scusami, ma perchè il sistema totale rimane fermo
Penso che in termini di formula, usando la formula che io conosco, si ha che lungo l'orizzontale, la coordinata del centro di massa è:
$x_(CM_i) = (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2) $
$x_(CM_f) = (M*D)/(M+m_1+m_2) $
Facendo la differenza come fatto per lo spostamento relativo delle due masse, si ha:
$|x_(CM_f) -x_(CM_i)| = (M*D)/(M+m_1+m_2) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2)$
Hai detto che lo spostamento di tutto il sistema deve essere zero, (in attesa di capire questo fatto, calcolo comunque la differenza), quindi:
$0 = (M*D)/(M+m_1+m_2) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2)$
$0 = (M*D) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)$
$M*D + (- m_1- m_2)Hcos theta=0$
E come mai non mi trovo con in segni della tua formula $M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
C'è qualcosa che mi farebbe tornare i conti, si tratta di pensare a queste:
$x_(CM_i) = (m_1Hcos theta - m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2) $ ($+m_1$ sale e $-m_2$ negativa perchè scende)
$x_(CM_f) = (M*D)/(M+m_1+m_2) $
$0 = (M*D) - (m_1Hcos theta - m_2Hcos theta)$
che è come la tua formula quella in cui hai detto che se mi piaceva di più, potevo scriverla :
$M*D + (m_2-m_1)*Lcos\theta = 0 $
Ho compreso correttamente
P.S. Nav., e' veramente piacevole capire questi concetti con te
Dalla formula del centro di massa lungo l'asse $y$ si ha $y_(CM) = (y_1m_1 + y_2m_2)/(m_1 + m_2)$.
Ovviamente a sinistra c'è il caso iniziale dove si ha:
$y_(CM_i) = (0m_1 + Lm_2)/(m_1 + m_2)$
A destra c'è il caso finale dove si ha:
$y_(CM_f) = (Lm_1 + 0m_2)/(m_1 + m_2)$
Dalla differenza delle due si ha:
$y_(CM_i) - y_(CM_f)= ( Lm_2 - Lm_1)/(m_1 + m_2)$
Cosa ne dici adesso
Ho un ultima domanda per questo punto, hai scritto che $M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
non mi è tanto chiaro il perchè eguagli tutto a zero
Se non erro eguagli tutto a zero perchè il sistema deve rimanere fermo, vero
Scusami, ma perchè il sistema totale rimane fermo
Penso che in termini di formula, usando la formula che io conosco, si ha che lungo l'orizzontale, la coordinata del centro di massa è:
$x_(CM_i) = (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2) $
$x_(CM_f) = (M*D)/(M+m_1+m_2) $
Facendo la differenza come fatto per lo spostamento relativo delle due masse, si ha:
$|x_(CM_f) -x_(CM_i)| = (M*D)/(M+m_1+m_2) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2)$
Hai detto che lo spostamento di tutto il sistema deve essere zero, (in attesa di capire questo fatto, calcolo comunque la differenza), quindi:
$0 = (M*D)/(M+m_1+m_2) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2)$
$0 = (M*D) - (m_1Hcos theta + m_2Hcos theta)$
$M*D + (- m_1- m_2)Hcos theta=0$
E come mai non mi trovo con in segni della tua formula $M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
C'è qualcosa che mi farebbe tornare i conti, si tratta di pensare a queste:
$x_(CM_i) = (m_1Hcos theta - m_2Hcos theta)/(M+m_1+m_2) $ ($+m_1$ sale e $-m_2$ negativa perchè scende)
$x_(CM_f) = (M*D)/(M+m_1+m_2) $
$0 = (M*D) - (m_1Hcos theta - m_2Hcos theta)$
che è come la tua formula quella in cui hai detto che se mi piaceva di più, potevo scriverla :
$M*D + (m_2-m_1)*Lcos\theta = 0 $
Ho compreso correttamente
P.S. Nav., e' veramente piacevole capire questi concetti con te
"Antonio_80":
Penso di aver compreso, ecco il disegno del momento iniziale e momento finale:
………………..
Cosa ne dici adesso
Adesso va bene.
Ho un ultima domanda per questo punto, hai scritto che $M*D + (m_1+m_2)*Hcos\theta = 0 $
non mi è tanto chiaro il perchè eguagli tutto a zero
Se non erro eguagli tutto a zero perchè il sistema deve rimanere fermo, vero
Scusami, ma perchè il sistema totale rimane fermo
Non c'è attrito , non c'è alcuna forza orizzontale tra cuneo e piano, il sistema è ISOLATO rispetto al piano, per quanto riguarda eventuali spostamenti nel senso orizzontale : non so quante volte l'ho ripetuto!
Il sistema inizialmente è fermo rispetto al suolo. Quindi il suo centro di massa è in quiete, nel riferimento inerziale del suolo. Spostandosi le due masse $m_1$ ed $m_2 $ come abbiamo visto, con in sostanza uno spostamento del loro CM verso destra, il cuneo si deve muovere dalla parte opposta, perché il CM di tutto il sistema deve rimanere nella posizione di prima, cioè in quiete.
Hai detto che lo spostamento di tutto il sistema deve essere zero, (in attesa di capire questo fatto, calcolo comunque la differenza)…..
Questo fatto te l'ho or ora spiegato, per l'ennesima volta : se fai la "differenza" come dici, non arrivi al risultato giusto.
Ma non confondere "sistema" con "centro di massa del sistema" , come sembra che tu faccia! LE varie parti del sistema si possono anche spostare tra loro, visto che non è un corpo rigido, ma il centro di massa TOTALE deve rimanere dove era, se era in quiete, oppure continuare a muoversi come prima dello spostamento relativo tra le parti, se parliamo di un sistema isolato.
Insomma, è una banale applicazione della prima equazione cardinale della dinamica: se un sistema è isolato, non puoi cambiare il suo stato di moto (o di quiete) con sole azioni interne al sistema.
Se una persona è ferma su un carrellino mobile senza attrito, e lancia una pietra in una direzione, il carrello si muove nella direzione opposta.
Esercizio chiuso .
Domanda 3)
In presenza di attrito statico $mu_s$ tra il cuneo e il piano orizzonale, determinare il valore minimo affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$.
Di questa ho la soluzione:
Il problema è che io non sto capendo il fenomento come viene spiegato!?
Ma che ragionamento fa per arrivare al valore minimo $mu_s$ affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$
In presenza di attrito statico $mu_s$ tra il cuneo e il piano orizzonale, determinare il valore minimo affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$.
Di questa ho la soluzione:
Il problema è che io non sto capendo il fenomento come viene spiegato!?
Ma che ragionamento fa per arrivare al valore minimo $mu_s$ affinchè il cuneo resti immobile durante la discesa di $m_2$
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