Credo di essermi ribloccato sulle particelle identiche
Mi era capitato di leggere una discussione che non riesco a ritrovare sulle particelle identiche che mi ha fatto venire dei dubbi, avevo anche avuto un aiuto e mi pareva di aver capito.
Ma ora, compiendo degli esercizi, nonostante la spiegazione su un blocco che ho avuto nell'interpretazione e che lì per lì avevo capito credo ci sia ancora qulcosa che non mi quadra molto.
In pratica prese due particelle distinte (non identiche) e non interagenti per l'interpretazione statistica della densità di probabilità quando scriviamo: $|ψ(r_1,r_2)|² d^3r_1 d^3r_2 = |ψ_a(r_1)|² d^3r_1|ψ_b(r_2)|² d^3r_2$ intendiamo la probabilità di trovare la particella (ad esempio) p nel cubetto di volume $d^3r_1$ e la particella e- nel volumetto $d^3r_2$. Quindi i pedici 1 e 2 indicizzano le posizioni assunte da p ed e non tanto le particelle 1 o 2 (p, e).
Quando ho particelle identiche con $ψ_a(r_1)ψ_b(r_2)$ (A) intendo che la particella 1 è nello stato a e la particella 2 nello stato b; viceversa con $ψ_a(r_1)ψ_b(r_2)$ intendiamo che la particella 1 è nello stato a e la particella 2 nello stato b.
(E qui il dubbio: gli indici 1 e 2 in questo caso intendono la particella 1 e 2 e non più "posizione 1 e 2")
In particolare in questo caso con $|ψ(r_1,r_2)|² d^3r_1 d^3r_2$ (**) intendiamo però che UNA (dato che indistinguibile) particella di trova in $d^3r_1$ e l'ALTRA in$ d^3r_2$ e di nuovo i pedici non indicano particella 1 e 2 ma le posizioni 1 e 2, quindi i pedici tornano a indicare una posizione e non più la particella 1 o 2.
Sono quindi confuso perché in molte risorse trovo questa duplice interpretazione di quel pedice numerico e degli stati a e b e non mi raccapezzo molto. Perché se tanto mi dà tanto avrei dovuto dire per (**) che "intendiamo la probabilità che LA PARTICELLA 1 sia in d^3r_1" rifacendomi all'uso in (A) dei pedici.
Mi sa che devo richiedere una mano
Ma ora, compiendo degli esercizi, nonostante la spiegazione su un blocco che ho avuto nell'interpretazione e che lì per lì avevo capito credo ci sia ancora qulcosa che non mi quadra molto.
In pratica prese due particelle distinte (non identiche) e non interagenti per l'interpretazione statistica della densità di probabilità quando scriviamo: $|ψ(r_1,r_2)|² d^3r_1 d^3r_2 = |ψ_a(r_1)|² d^3r_1|ψ_b(r_2)|² d^3r_2$ intendiamo la probabilità di trovare la particella (ad esempio) p nel cubetto di volume $d^3r_1$ e la particella e- nel volumetto $d^3r_2$. Quindi i pedici 1 e 2 indicizzano le posizioni assunte da p ed e non tanto le particelle 1 o 2 (p, e).
Quando ho particelle identiche con $ψ_a(r_1)ψ_b(r_2)$ (A) intendo che la particella 1 è nello stato a e la particella 2 nello stato b; viceversa con $ψ_a(r_1)ψ_b(r_2)$ intendiamo che la particella 1 è nello stato a e la particella 2 nello stato b.
(E qui il dubbio: gli indici 1 e 2 in questo caso intendono la particella 1 e 2 e non più "posizione 1 e 2")
In particolare in questo caso con $|ψ(r_1,r_2)|² d^3r_1 d^3r_2$ (**) intendiamo però che UNA (dato che indistinguibile) particella di trova in $d^3r_1$ e l'ALTRA in$ d^3r_2$ e di nuovo i pedici non indicano particella 1 e 2 ma le posizioni 1 e 2, quindi i pedici tornano a indicare una posizione e non più la particella 1 o 2.
Sono quindi confuso perché in molte risorse trovo questa duplice interpretazione di quel pedice numerico e degli stati a e b e non mi raccapezzo molto. Perché se tanto mi dà tanto avrei dovuto dire per (**) che "intendiamo la probabilità che LA PARTICELLA 1 sia in d^3r_1" rifacendomi all'uso in (A) dei pedici.
Mi sa che devo richiedere una mano
Risposte
Qui sotto gli indici indicano le posizioni, mentre le entrate della $\psi$ (ovvero X,Y se prendi $\psi(X,Y)$) rappresentano le particelle.
Uso delle lettere per indicizzare le posizioni, così non ti confondo.
$ |ψ(r_a,r_b)|² d^3r_a d^3r_b $ è la probabilità di trovare la particella 1 in $d^3r_a$ e la particella 2 in $d^3r_b$. Per via dell'indistinguibilità deve valere che l'espressione di prima $ |ψ(r_a,r_b)|² d^3r_b d^3r_a = |ψ(r_b,r_a)|² d^3r_a d^3r_b$ che è la probabilità di trovare la particella 1 in $d^3r_b$ e la particella 2 in $d^3r_a$.
Quindi entrambe le espressioni sono UGUALI e mi dicono quale è la probabilità di trovare una particella in r_a e l'altra in r_b.
Se la particella 1 è nello stato $\phi(r)$ e la particella 2 nello stato $\eta(r)$, allora lo stato del sistema delle due particelle è $\psi(r_a,r_b)=\phi(r_a)\eta(r_b)$, dove $r_a, r_b$ sono delle posizioni nello spazio in cui tu vai a valutare la probabilità di trovare la particella 1 in $r_a$ (la prima entrata di $\psi$ è $r_a$) e la 2 in $r_b$.
Non ha senso dire che $r_a$ è la posizione della prima particella, perché siamo in meccanica quantistica.
Ogni volta che dici che un vettore $r$ è la posizione di una particella, in realtà stai intendendo che hai a che fare con una funzione d'onda che ti da la probabilità di trovare la particella in quella posizione.
Le particelle non stanno da nessuna parte, questa terminologia però la si usa perché è comoda.
Uso delle lettere per indicizzare le posizioni, così non ti confondo.
$ |ψ(r_a,r_b)|² d^3r_a d^3r_b $ è la probabilità di trovare la particella 1 in $d^3r_a$ e la particella 2 in $d^3r_b$. Per via dell'indistinguibilità deve valere che l'espressione di prima $ |ψ(r_a,r_b)|² d^3r_b d^3r_a = |ψ(r_b,r_a)|² d^3r_a d^3r_b$ che è la probabilità di trovare la particella 1 in $d^3r_b$ e la particella 2 in $d^3r_a$.
Quindi entrambe le espressioni sono UGUALI e mi dicono quale è la probabilità di trovare una particella in r_a e l'altra in r_b.
Se la particella 1 è nello stato $\phi(r)$ e la particella 2 nello stato $\eta(r)$, allora lo stato del sistema delle due particelle è $\psi(r_a,r_b)=\phi(r_a)\eta(r_b)$, dove $r_a, r_b$ sono delle posizioni nello spazio in cui tu vai a valutare la probabilità di trovare la particella 1 in $r_a$ (la prima entrata di $\psi$ è $r_a$) e la 2 in $r_b$.
Non ha senso dire che $r_a$ è la posizione della prima particella, perché siamo in meccanica quantistica.
Ogni volta che dici che un vettore $r$ è la posizione di una particella, in realtà stai intendendo che hai a che fare con una funzione d'onda che ti da la probabilità di trovare la particella in quella posizione.
Le particelle non stanno da nessuna parte, questa terminologia però la si usa perché è comoda.
Vorrei ringraziarti per la risposta. Intervengo solo ora perché ho deciso di rimandare MQ a settembre così da preparare altri esami per luglio che ho appena terminato, tuttavia ho ancora grossi dubbi a riguardo.
Ho inteso che a seconda della posizione di $r_x$ in prima o seconda posizione vai a considerare prima o seconda particella (non è quindi il pedice a indiciazzare la particella ma l'entrata).
Però, se cosi fosse, non mi torna comunque qualcosa, infatti quello che di solito si scrive è:
$psi(r_a,r_b)=1/sqrt(2)(\phi(r_a)\eta(r_b)+-\eta(r_a)\phi(r_b))$ e quindi non torna più la faccenda prima e seconda posizione, per essere coerente dovrei scrivere: $Psi=psi(r_a,r_b)+-psi(r_b,r_a)=1/sqrt(2)(\phi(r_a)\eta(r_b)+-\phi(r_b)\eta(r_a))$ cosa che di solito non si fa.
Inoltre come leggo da diverse risorse scrivono:
che cozza con quanto hai scritto, perché qui è il pedice a indicare la particella e non l'entrata.
Ti/vi prego, aiuta(te)mi a capire
Se la particella 1 è nello stato $\phi(r)$ e la particella 2 nello stato $\eta(r)$, allora lo stato del sistema delle due particelle è $\psi(r_a,r_b)=\phi(r_a)\eta(r_b)$, dove $r_a, r_b$ sono delle posizioni nello spazio in cui tu vai a valutare la probabilità di trovare la particella 1 in $r_a$ (la prima entrata di $\psi$ è $r_a$) e la 2 in $r_b$.
Ho inteso che a seconda della posizione di $r_x$ in prima o seconda posizione vai a considerare prima o seconda particella (non è quindi il pedice a indiciazzare la particella ma l'entrata).
Però, se cosi fosse, non mi torna comunque qualcosa, infatti quello che di solito si scrive è:
$psi(r_a,r_b)=1/sqrt(2)(\phi(r_a)\eta(r_b)+-\eta(r_a)\phi(r_b))$ e quindi non torna più la faccenda prima e seconda posizione, per essere coerente dovrei scrivere: $Psi=psi(r_a,r_b)+-psi(r_b,r_a)=1/sqrt(2)(\phi(r_a)\eta(r_b)+-\phi(r_b)\eta(r_a))$ cosa che di solito non si fa.
Inoltre come leggo da diverse risorse scrivono:
- “la particella 1 è nello stato a e la particella 2 è nello stato b” corrisponde a $Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)$
- “la particella 2 è nello stato a e la particella 1 è nello stato b” corrisponde a $Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$
In definitiva: $Phi(x_1,x_2)=Phi_a(x_1)Phi_b(x_2)+-Phi_a(x_2)Phi_b(x_1)$
che cozza con quanto hai scritto, perché qui è il pedice a indicare la particella e non l'entrata.
Ti/vi prego, aiuta(te)mi a capire
"anonymous_b6a329":
Mi era capitato di leggere una discussione ...
Probabilmente intendi quella sottostante:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8542458
"anonymous_b6a329":
... avevo anche avuto un aiuto ...
Non ricordo se ne avevamo discusso in privato.
"anonymous_0b37e9":
[quote="anonymous_b6a329"]
Mi era capitato di leggere una discussione ...
Probabilmente intendi quella sottostante:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8542458
[/quote]
Esatto quella discussione è quella da cui ho preso spunto (soprattutto nel mio ultimo quote avendo letto la dipsensa) per enunciare i miei dubbi, ma non li risolvono in quanto li trovo (tali dubbi) leggermente diversi da quelli ivi riportati e integrati con quanto detto da roccolaroccia noto che lui ritiene ancora in modo differente l'interpretazione (la posizione delle entrate della funzione sono il numero della particella 1 o 2).
Lore mi diede una mano su un altro dubbio.
Non ricordo se ne avevamo discusso in privato.
Purtroppo non ho avuto il piacere, nel senso che ho mandato un PM ma non ho mai ricevuto risposta
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