Covarianza e controvarianza
Mi scuso anzitutto del fatto che dopo tanti anni che non riguardo queste cose, potrei aver dimenticato o avere un ricordo parziale, o usare un linguaggio poco rigoroso; vi chiedo quindi un po' di pazienza.
Il dubbio è questo: consideriamo un vettore in un sistema cartesiano bidimensioanale obliquo stabilito con 2 assi sul piano che formano un angolo acuto. Questo vettore ha per componenti covarianti le proiezioni ottenute con parallele agli assi, mentre le controvarianti sono ottenute proiettando ortogonalmente?
Il dubbio è questo: consideriamo un vettore in un sistema cartesiano bidimensioanale obliquo stabilito con 2 assi sul piano che formano un angolo acuto. Questo vettore ha per componenti covarianti le proiezioni ottenute con parallele agli assi, mentre le controvarianti sono ottenute proiettando ortogonalmente?
Risposte
No, è il contrario: le componenti "covarianti" sono quelle ottenute mediante proiezione ortogonale, mentre quelle "controvarianti" si hanno mediante le parallele.
Considera un vettore $vec(v)$ in questo riferimento obliquo; rispetto alle componenti controvarianti il vettore si scrive:
$vec(v)=v^i hat(e_i)$
(Ho usato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti; i versori $hat(e_i)$ sono una base del sistema; convenzionalmente, le componenti controvarianti si indicano con gli indici in alto).
Quindi, per ottenere il vettore $vec(v)$, basta sommare vettorialmente le componenti controvarianti usando la ben nota regola del parallelogrammo.
La i-esima componente covariante, invece, secondo la definizione si scrive:
$v_i=vec(v)*hat(e_i)$
Infatti, moltiplicando scalarmente il vettore per un versore si ha proprio la proiezione ortogonale del vettore stesso lungo la direzione del versore.
Le componenti covarianti sono così chiamate perchè seguono la stessa legge di trasformazione dei vettori di base (co-variano con questi ultimi).
Supponi di passare da una base $hat(e_i)$ ad una nuova base $hat(f_i)$; la legge di trasormazione sarà del tipo:
$hat(f_i)=a_(ij) hat(e_j)$ (i coefficienti $a_(ij)$ sono quelli che descrivono la legge di trasformazione dalla vecchia base alla nuova base).
La i-esima componente covariante si può scrivere
$v_i=vec(v)*hat(e_i)$ nel vecchio sistema oppure $v'_i=vec(v)*hat(f_i)=vec(v)*(a_(ij)hat(e_j))$ nel nuovo.
Confrontando le due espressioni si ottiene ("aggiustando" gli indici): $v'_i=a_(ij)v_j$. Questa è proprio la legge con cui mutano i vettori di base.
Le componenti controvarianti seguono invece la legge di trasformazione inversa:
$vec(v)=v^i hat(e_i)=v'^i hat(f_i)=v'^i a_(ij) hat(e_j)$.
Da qui si ottiene $v^i=v'^j a_(ij)$, ovvero $v'^j=(a_(ij))^(-1) v^i$.
naturalmente è possibile passare da una notazione all'altra:
$v_i=vec(v)*hat(e_i)=v^j hat(e_j)*hat(e_i)$
Gli scalari $hat(e_i)*hat(e_j)$ formano una matrice chiamata "tensore metrico" dello spazio e si indicano con $g_(ij)$:
$v_i=g_(ij)v^j$.
La trasformazione inversa si realizza definendo una nuova matrice $g^(alpha beta)$ tale che:
$g_(ij) g^(jk)=delta_(ik)$
Moltiplicando a destra e sinistra la trasformazione precedente per $g^(ki)$ si ha:
$g^(ki)v_i=g^(ki)g_(ij)v^j->v^k=g^(ki)v_i$
Considera un vettore $vec(v)$ in questo riferimento obliquo; rispetto alle componenti controvarianti il vettore si scrive:
$vec(v)=v^i hat(e_i)$
(Ho usato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti; i versori $hat(e_i)$ sono una base del sistema; convenzionalmente, le componenti controvarianti si indicano con gli indici in alto).
Quindi, per ottenere il vettore $vec(v)$, basta sommare vettorialmente le componenti controvarianti usando la ben nota regola del parallelogrammo.
La i-esima componente covariante, invece, secondo la definizione si scrive:
$v_i=vec(v)*hat(e_i)$
Infatti, moltiplicando scalarmente il vettore per un versore si ha proprio la proiezione ortogonale del vettore stesso lungo la direzione del versore.
Le componenti covarianti sono così chiamate perchè seguono la stessa legge di trasformazione dei vettori di base (co-variano con questi ultimi).
Supponi di passare da una base $hat(e_i)$ ad una nuova base $hat(f_i)$; la legge di trasormazione sarà del tipo:
$hat(f_i)=a_(ij) hat(e_j)$ (i coefficienti $a_(ij)$ sono quelli che descrivono la legge di trasformazione dalla vecchia base alla nuova base).
La i-esima componente covariante si può scrivere
$v_i=vec(v)*hat(e_i)$ nel vecchio sistema oppure $v'_i=vec(v)*hat(f_i)=vec(v)*(a_(ij)hat(e_j))$ nel nuovo.
Confrontando le due espressioni si ottiene ("aggiustando" gli indici): $v'_i=a_(ij)v_j$. Questa è proprio la legge con cui mutano i vettori di base.
Le componenti controvarianti seguono invece la legge di trasformazione inversa:
$vec(v)=v^i hat(e_i)=v'^i hat(f_i)=v'^i a_(ij) hat(e_j)$.
Da qui si ottiene $v^i=v'^j a_(ij)$, ovvero $v'^j=(a_(ij))^(-1) v^i$.
naturalmente è possibile passare da una notazione all'altra:
$v_i=vec(v)*hat(e_i)=v^j hat(e_j)*hat(e_i)$
Gli scalari $hat(e_i)*hat(e_j)$ formano una matrice chiamata "tensore metrico" dello spazio e si indicano con $g_(ij)$:
$v_i=g_(ij)v^j$.
La trasformazione inversa si realizza definendo una nuova matrice $g^(alpha beta)$ tale che:
$g_(ij) g^(jk)=delta_(ik)$
Moltiplicando a destra e sinistra la trasformazione precedente per $g^(ki)$ si ha:
$g^(ki)v_i=g^(ki)g_(ij)v^j->v^k=g^(ki)v_i$
grazie, ora è tutto più chiaro
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