Costante del moto

[giantmath]

un punto di massa m è vincolato su un piano di coordinate cartesiane (x,y) sottoposto ad una F con il seguente potenziale $ V(x,y)=k(betax^2+1/2y^2)-kL^2log(1+x^2/L^2+y^2/L^2) $ e si chiede per quale $ beta $ c'è una costante del moto (oltre alla costante del moto, che ho già trovato e che vale per un qualsiasi valore di $ beta $ , che è l'energia dal momento che la Lagrangiana L è indipendente dal tempo t). potreste darmi una mano?

[anonymous_0b37e9]

In coordinate polari:

$L=1/2mdot\rho^2+1/2m\rho^2dot\varphi^2+k(beta\rho^2cos^2\varphi+1/2\rho^2sin^2\varphi)-kL^2log(1+\rho^2/L^2)$

Poiché:

$(delL)/(del\varphi)=k(1-2\beta)\rho^2cos\varphisin\varphi$

se:

$\beta=1/2$

il campo di forze è centrale:

$V=1/2k\rho^2-kL^2log(1+\rho^2/L^2)$

e si conserva il momento angolare.

[giantmath]

chiarissimo, grazie!