Cosa accomuna in generale i processi reversibili e irreversibili?
Ciao, torno a importunarvi 
In realtà ho un dubbio che mi porto dietro dalle superiori e credo sia giunto il momento di risolverlo. Ho sempre fatto fatica a capire la reversibilità e irreversibilità di una trasformazione termodinamica perché mi faccio mille esempi diversi e trovo alcuni punti dubbi, provo a parlarvene un po', se vi va
Partiamo dal fatto che una trasformazione termodinamica è un processo che mi porta da uno stato A a un o stato B di equilibrio. Lo stato di equilibrio si distingue per il fatto che conosco il valore delle variabili di stato che li descrivono, le variabili sono stazionarie nel tempo (cioè non mutano) e descrivono con il loro valore l'intero sistema (non ho una sorta di gradiente della variabile, insomma ho la stessa T per tutto il sistema, ad esempio): d'altra parte l'equilibrio termodinamico per definizione consente di tre "sotto-equlibri" chimico, meccanico e termico (no scambio di calore).
Esistono trasformazioni quasistatiche e non-quasistatiche.
-In quella quasistatica abbiamo una suddivisione di infiniti stati di equilibrio, tipico delle trasformazioni reversibili. Possiamo rappresentare quete ultime sul piano di clapeyron collegando con una curva definita due punti A e B.
-Nel secondo tipo, invece, abiamo infiniti stati di non equilibrio, non abbiamo una variabile che rappresenti un punto della trasformazione se non solo per lo stato A e B, nel mezzo possiamo dire poco "hic sunt leones" e tagliamo così il discorso.
Passiamo a qualche esempio:
Due corpi a contatto con T diverse tra il primo e il secondo passa per infiniti punti in cui non equilibrio -> irreversibile
Un pistone che comprime un gas repentinamente: irreversible
Andiamo al cuore del DUBBIO:
Però cosa lega di fatto tutti questi esempi mi sfugge un po'. Mi chiedo il perché il non poter descrivere il sistema con un unica variabile di stato (poiche non è in equilibrio il sistema la variabile di stato cambia fissato un istante in ogni punto del cilindro in compressione rapida, non ho un'unica p per il cilindro) mi garantisca una irreversibilità? Ad esempio durante la compressione repentina di un gas in un cilindro ho pressioni diverse in varie sezioni trasverse del cilindro, questo rende impossibile trovare la p che descriva punto per punto il sistema nella trasformazione, non potrò quindi integrare $pdV$ in modo sensato. Però non è solo questa non conoscenza di p, e anche qualcosa di più profondo l'irreversibilita': il punto è che la pressione è maggiore vicino al pistone che sul fondo e quindi sto facendo un lavoro maggiore di quello che dovrei se andassi lentamente e avessi una pressione stabile (ma quindi l'irreversibilità è data dal non conoscere p o dal fatto che faccio più lavoro deldovuto per via di una maggiore pressione dovuta agli strati vicini al pistone? Mi sembran due concetti diversi); poi c'è un altro fatto un terzo fatto: il non essere reversibile mi garantisce il non avere punti sul grafico (cioè non posso collegare a e b con una curva). Tutte queste caratteristiche dette garantiscono l'irreversibilità perché mi sembran tute cose diverse, inoltre perché le cose discusse precedentemente mi garantiscono altresì che non possa percorrere al contrario il processo? Ad esempio potrei ipotizzare un processo che tornando indietro abbia lo stesso gradiente di pressione lungo l'asse del cilindro di quando ho compresso, ma che sia esattamente speculare dovrebbe benissimo essere reversibile.
Per la reversibile invece conosco volta per volta la variabile di stato, ho punto per punto un valore sul grafico e questo sembra implicare che posso percorrerla al contrario perché ho i valori noti in modo univoco.
Insomma non capisco cosa leghi le diverse caratteristiche dell'irreversibilità:
1) non posso percorrerla al contrario
2) non è in equilibrio e questo implica avere una unica variabile per integrare poiché non ho un'unico valore che descrive il sistema durante quel punto della trasformazione
2b) il fatto che non sia in equilibrio mi crea lavori di troppo (tipo col cilindro dell'esempio precedente)
3) non conoscendo questa benedetta variabile non vuol dire che non ci sia, quindi a conti fatti potrei immaginare punto per punto abbia un certo valore passando da A a B, ma allo stesso modo potrei avere quegli stessi valori (a me sconosciuti) tornando indietro da B ad A.
C'è qualche legame che mi sfugge su cosa leghi tutti questi fattori. Non so quanto sia stato chiaro in realtà, è un po' difficile da esprimere.
In realtà ho un dubbio che mi porto dietro dalle superiori e credo sia giunto il momento di risolverlo. Ho sempre fatto fatica a capire la reversibilità e irreversibilità di una trasformazione termodinamica perché mi faccio mille esempi diversi e trovo alcuni punti dubbi, provo a parlarvene un po', se vi va
Partiamo dal fatto che una trasformazione termodinamica è un processo che mi porta da uno stato A a un o stato B di equilibrio. Lo stato di equilibrio si distingue per il fatto che conosco il valore delle variabili di stato che li descrivono, le variabili sono stazionarie nel tempo (cioè non mutano) e descrivono con il loro valore l'intero sistema (non ho una sorta di gradiente della variabile, insomma ho la stessa T per tutto il sistema, ad esempio): d'altra parte l'equilibrio termodinamico per definizione consente di tre "sotto-equlibri" chimico, meccanico e termico (no scambio di calore).
Esistono trasformazioni quasistatiche e non-quasistatiche.
-In quella quasistatica abbiamo una suddivisione di infiniti stati di equilibrio, tipico delle trasformazioni reversibili. Possiamo rappresentare quete ultime sul piano di clapeyron collegando con una curva definita due punti A e B.
-Nel secondo tipo, invece, abiamo infiniti stati di non equilibrio, non abbiamo una variabile che rappresenti un punto della trasformazione se non solo per lo stato A e B, nel mezzo possiamo dire poco "hic sunt leones" e tagliamo così il discorso.
Passiamo a qualche esempio:
Due corpi a contatto con T diverse tra il primo e il secondo passa per infiniti punti in cui non equilibrio -> irreversibile
Un pistone che comprime un gas repentinamente: irreversible
Andiamo al cuore del DUBBIO:
Però cosa lega di fatto tutti questi esempi mi sfugge un po'. Mi chiedo il perché il non poter descrivere il sistema con un unica variabile di stato (poiche non è in equilibrio il sistema la variabile di stato cambia fissato un istante in ogni punto del cilindro in compressione rapida, non ho un'unica p per il cilindro) mi garantisca una irreversibilità? Ad esempio durante la compressione repentina di un gas in un cilindro ho pressioni diverse in varie sezioni trasverse del cilindro, questo rende impossibile trovare la p che descriva punto per punto il sistema nella trasformazione, non potrò quindi integrare $pdV$ in modo sensato. Però non è solo questa non conoscenza di p, e anche qualcosa di più profondo l'irreversibilita': il punto è che la pressione è maggiore vicino al pistone che sul fondo e quindi sto facendo un lavoro maggiore di quello che dovrei se andassi lentamente e avessi una pressione stabile (ma quindi l'irreversibilità è data dal non conoscere p o dal fatto che faccio più lavoro deldovuto per via di una maggiore pressione dovuta agli strati vicini al pistone? Mi sembran due concetti diversi); poi c'è un altro fatto un terzo fatto: il non essere reversibile mi garantisce il non avere punti sul grafico (cioè non posso collegare a e b con una curva). Tutte queste caratteristiche dette garantiscono l'irreversibilità perché mi sembran tute cose diverse, inoltre perché le cose discusse precedentemente mi garantiscono altresì che non possa percorrere al contrario il processo? Ad esempio potrei ipotizzare un processo che tornando indietro abbia lo stesso gradiente di pressione lungo l'asse del cilindro di quando ho compresso, ma che sia esattamente speculare dovrebbe benissimo essere reversibile.
Per la reversibile invece conosco volta per volta la variabile di stato, ho punto per punto un valore sul grafico e questo sembra implicare che posso percorrerla al contrario perché ho i valori noti in modo univoco.
Insomma non capisco cosa leghi le diverse caratteristiche dell'irreversibilità:
1) non posso percorrerla al contrario
2) non è in equilibrio e questo implica avere una unica variabile per integrare poiché non ho un'unico valore che descrive il sistema durante quel punto della trasformazione
2b) il fatto che non sia in equilibrio mi crea lavori di troppo (tipo col cilindro dell'esempio precedente)
3) non conoscendo questa benedetta variabile non vuol dire che non ci sia, quindi a conti fatti potrei immaginare punto per punto abbia un certo valore passando da A a B, ma allo stesso modo potrei avere quegli stessi valori (a me sconosciuti) tornando indietro da B ad A.
C'è qualche legame che mi sfugge su cosa leghi tutti questi fattori. Non so quanto sia stato chiaro in realtà, è un po' difficile da esprimere.
Risposte
@Faussone:
Ho solo ora il piacere di leggerti perché non ho avuto accessibilità al sito per lungo tempo.
Volevo chiedere scusa a te e ad altri lettori se ho fatto errori di battitura; potrei addurre la scusa di aver usato un cellulare, ma non c'entra: avrei dovuto rileggere quel che scrivevo, tuttavia preso dalla foga del dubbio non l'ho fatto. Mi scuso sinceramente.
Provo a rispondere graficamente
In veste finita so che $DeltaS>=\int_A^B((\deltaQ)/T)_(irr)$, questo mi dice che tra due punti A e B di equilibrio il calcolo dell'integrale è minore della differenza di entropia (che calcolo sul semiciclo reversibile).
Vi è una corrispondenza sugli estremi del tratto percorso reversibilmente o irreversibilmente (sono sempre A e B).
Quando passo alla definizione infinitesima, il $dS$ è calcolato su un tratto infinitesimo del percorso (mettiamo tra due punti A' e B') reversibile, mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ rappresenta uno degli infiniti (al continuo) scambi di calore a una certa temperatura tra una sorgente e il sistema in esame nel tratto irreversibile.
Il punto è che, come in figura, potrei calcolare il $dS$ in un tratto tra due estremi A' e B' distanti un infinitesimo; mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ mi sembra in questo caso non essere più calcolato nel percorso irreversibile tra i medesimi estremi A' e B' bensì potrei considerarlo tra due estremi qualsiasi A'' B'' o A''' e B''' sul tratto irreversibile (vedasi figura) $((deltaQ)/T)_(irr)^1$ ma anche $((deltaQ)/T)_(irr)^2$ in tal modo potrebbe essere vero che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^2$ ma non che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^1$.
]Mi sembra in sostanza che anche nel caso infinitesimo debba sussistere una situazione come in fig.2 (il ciclo infinitesimo a destra nella pic). Ma integrando tali infinitesimi integrerei i cicli infinitesimi di cui parlavo, il che non avrebbe senso.
Ecco, in questo senso non capisco la rappresentazione infinitesima del teorema.
Ho solo ora il piacere di leggerti perché non ho avuto accessibilità al sito per lungo tempo.
Volevo chiedere scusa a te e ad altri lettori se ho fatto errori di battitura; potrei addurre la scusa di aver usato un cellulare, ma non c'entra: avrei dovuto rileggere quel che scrivevo, tuttavia preso dalla foga del dubbio non l'ho fatto. Mi scuso sinceramente.
Io di questa benedetta disuguaglianza ,con o senza infinitesimi, ancora non ho capito dove sia il tuo problema.
Provo a rispondere graficamente
In veste finita so che $DeltaS>=\int_A^B((\deltaQ)/T)_(irr)$, questo mi dice che tra due punti A e B di equilibrio il calcolo dell'integrale è minore della differenza di entropia (che calcolo sul semiciclo reversibile).
Vi è una corrispondenza sugli estremi del tratto percorso reversibilmente o irreversibilmente (sono sempre A e B).
Quando passo alla definizione infinitesima, il $dS$ è calcolato su un tratto infinitesimo del percorso (mettiamo tra due punti A' e B') reversibile, mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ rappresenta uno degli infiniti (al continuo) scambi di calore a una certa temperatura tra una sorgente e il sistema in esame nel tratto irreversibile.
Il punto è che, come in figura, potrei calcolare il $dS$ in un tratto tra due estremi A' e B' distanti un infinitesimo; mentre il $((deltaQ)/T)_(irr)$ mi sembra in questo caso non essere più calcolato nel percorso irreversibile tra i medesimi estremi A' e B' bensì potrei considerarlo tra due estremi qualsiasi A'' B'' o A''' e B''' sul tratto irreversibile (vedasi figura) $((deltaQ)/T)_(irr)^1$ ma anche $((deltaQ)/T)_(irr)^2$ in tal modo potrebbe essere vero che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^2$ ma non che $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)^1$.
]Mi sembra in sostanza che anche nel caso infinitesimo debba sussistere una situazione come in fig.2 (il ciclo infinitesimo a destra nella pic). Ma integrando tali infinitesimi integrerei i cicli infinitesimi di cui parlavo, il che non avrebbe senso.
Ecco, in questo senso non capisco la rappresentazione infinitesima del teorema.
Ciao, grazie per il messaggio più chiaro e curato!
...ma scusa, cosa c'entra paragonare due tratti infinitesimi con diversi punti di partenza e di arrivo? Cosa ti aspetteresti di trovare e provare in un caso del genere?
È chiaro che in un caso del genere, indipendentemente dal fatto che i tratti siano di trasformazione reversibile o irreversibile, nulla si può dire.
...ma scusa, cosa c'entra paragonare due tratti infinitesimi con diversi punti di partenza e di arrivo? Cosa ti aspetteresti di trovare e provare in un caso del genere?
È chiaro che in un caso del genere, indipendentemente dal fatto che i tratti siano di trasformazione reversibile o irreversibile, nulla si può dire.
Ciao, grazie per il messaggio più chiaro e curato!
Era il minimo nei confronti di chi mi ha aiutato (tu) e ospitato la domanda (forum)
. Mi è spiaciuto solo non poterti rispondere prima, ma non ero sparito, ho potuto leggerti solo ieri!È chiaro che in un caso del genere, indipendentemente dal fatto che i tratti siano di trasformazione reversibile o irreversibile, nulla si può dire
Esatto, proprio quello era il fulcro.
Il fatto è che io ho dimostrato al finito: $DeltaS>=\int_A^B((\deltaQ)/T)_(irr)$ (1) e quindi vedevo passare all'infinitesimo come il "togliere l'integrale e confrontare le sole integrande", il busillis era: sì le integrande ma in quali punti tra gli infiniti tratti compresi tra A e B? Era questo, mi sembra di dedurre, l'errore: io confrontavo qualunque tratto.
In realtà, anche nell'infinitesimo, devo mantenere i due estremi fissi a dx e sx della disuguaglianza: $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)$ così da mantenere coerenza con il risultato del teorema ottenuto al finito.
Però, d'altro canto, se io prendo $dS>=((deltaQ)/T)_(irr)$ e intendo dei cicli infinitesimi compresi come in figura2 da A' e B', quando paso all'integrale $\intdS>=\_int((deltaQ)/T)_(irr)$ sto integrando questi infiniti micro cicli e non è lo stesso risultato della (1).
In poche parole: sia che tolgo l'integrale e confronto le integrande ho un problema perché confronterei tratti diversi in modo insensato, sia che considero anche i tratti infinitesimi ciclici e andando a integrare trovo dei problemi nel passare da infinitesimo a finito e viceversa.
Mi sa che la domanda era così sempliciotta e spiegata male prima, che non ti avevo fatto comprendere.
Passare da quantità finite a "infinitesime" a volte può portare a cose senza senso, come accade in questo caso.
L'entropia ci dice che per una qualunque trasformazione irreversibile da A a B vale:
$int_(A)^(B)dS > int_(A gamma B) (deltaQ)/(dT)$
Ora io non sono esperto di forme differenziali, ma questi non sono semplici integrali di una funzione integranda, ma integrali di forme differenziali, se un integrale di una forma differenziale è sempre maggiore di un altro integrale di un'altra forma differenziale, non penso proprio si possa dire che una forma differenziale è maggiore dell'altra. Insomma c'è un limite all'interpretazione "pratica" e "infinitesim" dei deltaQ e dei dS.
Un discorso a parte si può fare invece se, invece di considerare "tutte" le trasofmrazion irreversibili da A a B, consideriamo una "specifica" trasformazione da A a B nei due casi: reversibile e irreversibile, in tal caso possiamo dire che percorrendo un tratto $d gamma$ della trasformazione, se lo facciamo reversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(rev)$, se invece lo facciamo irreversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(irr)$, il secondo principio ci dice che in questo caso $(deltaQ)/(T)_(rev)>(deltaQ)/(T)_(irr)$.
Direi quindi che la notazione $dS>= (deltaQ)/T$ vada interpretata come: su un un tratto infinitesimo di una trasformazione (reversibile oppure irreversibile), la variazione di entropia è maggiore o uguale della quantità a destra, sempre valutata sullo stesso tratto ifnintesimo della stessa trasformazione.
L'entropia ci dice che per una qualunque trasformazione irreversibile da A a B vale:
$int_(A)^(B)dS > int_(A gamma B) (deltaQ)/(dT)$
Ora io non sono esperto di forme differenziali, ma questi non sono semplici integrali di una funzione integranda, ma integrali di forme differenziali, se un integrale di una forma differenziale è sempre maggiore di un altro integrale di un'altra forma differenziale, non penso proprio si possa dire che una forma differenziale è maggiore dell'altra. Insomma c'è un limite all'interpretazione "pratica" e "infinitesim" dei deltaQ e dei dS.
Un discorso a parte si può fare invece se, invece di considerare "tutte" le trasofmrazion irreversibili da A a B, consideriamo una "specifica" trasformazione da A a B nei due casi: reversibile e irreversibile, in tal caso possiamo dire che percorrendo un tratto $d gamma$ della trasformazione, se lo facciamo reversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(rev)$, se invece lo facciamo irreversibilmente abbiamo $(deltaQ)/(T)_(irr)$, il secondo principio ci dice che in questo caso $(deltaQ)/(T)_(rev)>(deltaQ)/(T)_(irr)$.
Direi quindi che la notazione $dS>= (deltaQ)/T$ vada interpretata come: su un un tratto infinitesimo di una trasformazione (reversibile oppure irreversibile), la variazione di entropia è maggiore o uguale della quantità a destra, sempre valutata sullo stesso tratto ifnintesimo della stessa trasformazione.
E' chiaro che da questo punto di vista il secondo principio in forma "infinitesima" è molto meno generale di quello in forma integrale. Mi pare anche ragionevole, dato che i principi integrali sono sempre più generali di quelli differenziali.
@gtx condivido il tuo discorso. Era proprio lì che sbagliavo.
Chiarissmo come sempre!!
Direi che ho terminato le domande
Grazie davver @faussone e @gtx, siete stati molto gentili e completi nel rispondermi
Chiarissmo come sempre!!
Direi che ho terminato le domande
Grazie davver @faussone e @gtx, siete stati molto gentili e completi nel rispondermi
@alterbi
Bene sono contento che finalmente ci siamo capiti.
Come consiglio, anche alla luce di questo, mi permetto di ripeterti che prima di lanciarti in ragionamenti vari cerca di chiarire esattamente dove sia il tuo dubbio, questo credo sia un tipico caso in cui questa tecnica forse ti avrebbe aiutato.
Vorrei approfittarne per fornire qualche altro spunto di riflessione, spero aiuti, nel caso spaventi chi sta affrontando la termodinamica da poco e si imbatta qui, può lasciar perdere e non preoccuparsi, queste cose le vedrà più avanti acquisendo anche gli strumenti matematici necessari (almeno nei corsi di matematica, fisica e ingegneria).
Altra premessa è che non sarò super rigoroso con i passaggi matematici (sia perché non sono in grado per formazione, sia perché credo non sia utile in questo contesto fisico).
Vorrei chiarire un poco il significato degli integrali
(1) $int_1^2 delta q$
e
(2) $int_1^2 1/T * delta q$
(pensiamo sempre al caso reversibile comunque, come dico anche in fondo).
Si tratta di integrali che vanno fatti lungo il percorso della trasformazione per cui si hanno i vari scambi di calore $delta q$, per capire bene faccio un esempio e considero un gas perfetto per rendere i conti più facili, ma la conclusione è generale.
Focalizziamoci poi sul piano $p$, $v$, ma il discorso si potrebbe fare per qualunque coppia di variabili di stato.
Supponiamo che la trasformazione che il gas segue sia parametrizzata con una variabile $tau$ che ad ogni istante fornisca i valori di $p$ e $v$, quindi:
$p=p(tau)$
e
$v=v(tau)$
In generale fare l'integrale (1) significa calcolare:
$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}p'(tau) + \frac{\partial q}{\partial v} \|_{p} v'(tau)) d tau $
dove con l'apice intendo derivata rispetto al parametro $tau$ e
$p(tau_1)=p_1$ , $p(tau_2)=p_2$ dove $1$ e $2$ sono gli stati di inzio e fine trasformazione (e similmente per $v$).
Ora considerando che per un gas perfetto vale:
$p*dv+v dp=RdT$
e che per il primo principio, sempre per gas perfetto vale:
$delta q = c_v dT + p dv$
si trova facilmente (ricordando anche che $c_p-c_v=R$) che
$\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}=c_v*v/R$
e
$\frac{\partial q}{\partial v}| _{p}=c_p*p/R$
quindi l'integrale (1) diventa
$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{R} p'(tau) + c_p\frac{p(tau)}{R} v'(tau)) d tau $
e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(tau)$ e $v(tau)$, quindi da come la trasformazione procede.
Senza mettere dei valori per queste funzioni che danno il cammino non si può infatti proseguire e svolgere il calcolo.
Vediamo cosa succede ora passando alla (2) quindi in pratica dividendo l'espressione appena trovata per $T$:
$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{RT} p'(tau) + c_p*\frac{p(tau)}{RT} v'(tau)) d tau $
che ricordando la legge dei gas perfetti diventa:
$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{c_v}{p(tau)} p'(tau) + \frac{c_p}{v(tau)} v'(tau)) d tau $
Questa espressione si integra facilmente e diventa:
$[c_v ln p(tau) + c_p ln v(tau)]_{tau_1}^{tau_2}=c_v ln (p_2/p_1)+c_p ln (v_2/v_1) \equiv s_2-s_1$
Il dividere per $T$ ha reso quell'integrale indipendente dal percorso e ha consentito di definire la funzione entropia.
Per questo quando si passa alle quantità differenziali per l'entropia possiamo usare
$ds$ mentre per il calore usiamo $delta q$, per la prima esiste una funzione che rende quel differenziale indipendente dal cammino, ma dipendente solo dagli stati iniziali e finali, mentre per il secondo no.
Questo discorso come già detto qui è stato svolto per gas perfetti ma ovviamente è generale, come si evince dalla trattazione teorica a cui si è accennato in tutta questa discussione.
C'è da notare che in questo discorso stavamo sempre parlando di un ipotetico cammino reversibile parametrizzato con $tau$, altrimenti le variabili di stato lungo il cammino non sarebbero definite e non si potrebbe svolgere alcun integrale.
Nel caso irreversibile l'integrale va pensato come una somma dei calori scambiati con varie sorgenti (al limite infinite) a temperatura $T$ (diversa in generale) su un dato cammino, ma non potremo usare le variabili di stato del sistema e svolgere un integrale appunto.
Spero sia utile.
EDIT: Corretta una imprecisione nella frase finale sul caso irreversibile.
Bene sono contento che finalmente ci siamo capiti.
Come consiglio, anche alla luce di questo, mi permetto di ripeterti che prima di lanciarti in ragionamenti vari cerca di chiarire esattamente dove sia il tuo dubbio, questo credo sia un tipico caso in cui questa tecnica forse ti avrebbe aiutato.
Vorrei approfittarne per fornire qualche altro spunto di riflessione, spero aiuti, nel caso spaventi chi sta affrontando la termodinamica da poco e si imbatta qui, può lasciar perdere e non preoccuparsi, queste cose le vedrà più avanti acquisendo anche gli strumenti matematici necessari (almeno nei corsi di matematica, fisica e ingegneria).
Altra premessa è che non sarò super rigoroso con i passaggi matematici (sia perché non sono in grado per formazione, sia perché credo non sia utile in questo contesto fisico).
Vorrei chiarire un poco il significato degli integrali
(1) $int_1^2 delta q$
e
(2) $int_1^2 1/T * delta q$
(pensiamo sempre al caso reversibile comunque, come dico anche in fondo).
Si tratta di integrali che vanno fatti lungo il percorso della trasformazione per cui si hanno i vari scambi di calore $delta q$, per capire bene faccio un esempio e considero un gas perfetto per rendere i conti più facili, ma la conclusione è generale.
Focalizziamoci poi sul piano $p$, $v$, ma il discorso si potrebbe fare per qualunque coppia di variabili di stato.
Supponiamo che la trasformazione che il gas segue sia parametrizzata con una variabile $tau$ che ad ogni istante fornisca i valori di $p$ e $v$, quindi:
$p=p(tau)$
e
$v=v(tau)$
In generale fare l'integrale (1) significa calcolare:
$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}p'(tau) + \frac{\partial q}{\partial v} \|_{p} v'(tau)) d tau $
dove con l'apice intendo derivata rispetto al parametro $tau$ e
$p(tau_1)=p_1$ , $p(tau_2)=p_2$ dove $1$ e $2$ sono gli stati di inzio e fine trasformazione (e similmente per $v$).
Ora considerando che per un gas perfetto vale:
$p*dv+v dp=RdT$
e che per il primo principio, sempre per gas perfetto vale:
$delta q = c_v dT + p dv$
si trova facilmente (ricordando anche che $c_p-c_v=R$) che
$\frac{\partial q}{\partial p}\| _{v}=c_v*v/R$
e
$\frac{\partial q}{\partial v}| _{p}=c_p*p/R$
quindi l'integrale (1) diventa
$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{R} p'(tau) + c_p\frac{p(tau)}{R} v'(tau)) d tau $
e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(tau)$ e $v(tau)$, quindi da come la trasformazione procede.
Senza mettere dei valori per queste funzioni che danno il cammino non si può infatti proseguire e svolgere il calcolo.
Vediamo cosa succede ora passando alla (2) quindi in pratica dividendo l'espressione appena trovata per $T$:
$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{RT} p'(tau) + c_p*\frac{p(tau)}{RT} v'(tau)) d tau $
che ricordando la legge dei gas perfetti diventa:
$int_{tau_1}^{tau_2}(\frac{c_v}{p(tau)} p'(tau) + \frac{c_p}{v(tau)} v'(tau)) d tau $
Questa espressione si integra facilmente e diventa:
$[c_v ln p(tau) + c_p ln v(tau)]_{tau_1}^{tau_2}=c_v ln (p_2/p_1)+c_p ln (v_2/v_1) \equiv s_2-s_1$
Il dividere per $T$ ha reso quell'integrale indipendente dal percorso e ha consentito di definire la funzione entropia.
Per questo quando si passa alle quantità differenziali per l'entropia possiamo usare
$ds$ mentre per il calore usiamo $delta q$, per la prima esiste una funzione che rende quel differenziale indipendente dal cammino, ma dipendente solo dagli stati iniziali e finali, mentre per il secondo no.
Questo discorso come già detto qui è stato svolto per gas perfetti ma ovviamente è generale, come si evince dalla trattazione teorica a cui si è accennato in tutta questa discussione.
C'è da notare che in questo discorso stavamo sempre parlando di un ipotetico cammino reversibile parametrizzato con $tau$, altrimenti le variabili di stato lungo il cammino non sarebbero definite e non si potrebbe svolgere alcun integrale.
Nel caso irreversibile l'integrale va pensato come una somma dei calori scambiati con varie sorgenti (al limite infinite) a temperatura $T$ (diversa in generale) su un dato cammino, ma non potremo usare le variabili di stato del sistema e svolgere un integrale appunto.
Spero sia utile.
EDIT: Corretta una imprecisione nella frase finale sul caso irreversibile.
E' molto utile, anche se credo di non avere ancora piene capacità 
. Mi sembra di capire sia un integrale di linea su cui sono arrivato per caso leggendo la precedente risposta di gtx e ho visto da programma che farò solo ad analisi 2, quindi so a malapena dopo una lettura personale di oggi (vera serendipità). Quindi ho capito il senso, ma non saprei -ammetto- farlo del tutto mio ancora.
C'è una cosa che non ho afferrato appieno dove dici
vedo bene che nel caso in cui divido per T trovo un integrale fondamentale che esita in un logaritmo.
Non ho invece ben capito perché nel caso quotato qui sopra no, voglio dire: ho $p(τ)$ e $v(τ)$ a integrando ma per quale motivo non la ritengo integrabile e dico avere dipendenza dal percorso?
PS: tra l'altro il tutto si unisce al concetto di differenziale esatto o meno, che sempre leggevo grazie allo spunto di gtx.
Hai ragionissima, tra l'altro credo che la colpa sia anche imputabile al fatto che spesso giungo alle considerazioni tramite dubbi e poi dopo alcune pagine di studio scopro esserci giàscritto il discorso che poteva chiarirmelo risparmiandomi giorni persi ad elucubrare in modo anche sbagliato.
Dovrei farmi meno domande almeno nella prima lettura, è che ne sono realmente travolto alle volte.
. Mi sembra di capire sia un integrale di linea su cui sono arrivato per caso leggendo la precedente risposta di gtx e ho visto da programma che farò solo ad analisi 2, quindi so a malapena dopo una lettura personale di oggi (vera serendipità). Quindi ho capito il senso, ma non saprei -ammetto- farlo del tutto mio ancora.C'è una cosa che non ho afferrato appieno dove dici
e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(τ)$ e $v(τ)$
vedo bene che nel caso in cui divido per T trovo un integrale fondamentale che esita in un logaritmo.
Non ho invece ben capito perché nel caso quotato qui sopra no, voglio dire: ho $p(τ)$ e $v(τ)$ a integrando ma per quale motivo non la ritengo integrabile e dico avere dipendenza dal percorso?
PS: tra l'altro il tutto si unisce al concetto di differenziale esatto o meno, che sempre leggevo grazie allo spunto di gtx.
@alterbi
Bene sono contento che finalmente ci siamo capiti.
Come consiglio, anche alla luce di questo, mi permetto di ripeterti che prima di lanciarti in ragionamenti vari cerca di chiarire esattamente dove sia il tuo dubbio, questo credo sia un tipico caso in cui questa tecnica forse ti avrebbe aiutato.
Hai ragionissima, tra l'altro credo che la colpa sia anche imputabile al fatto che spesso giungo alle considerazioni tramite dubbi e poi dopo alcune pagine di studio scopro esserci giàscritto il discorso che poteva chiarirmelo risparmiandomi giorni persi ad elucubrare in modo anche sbagliato.
Dovrei farmi meno domande almeno nella prima lettura, è che ne sono realmente travolto alle volte.
Il concetto matematico dietro a tutto questo è quello di forma differenziale:
Il calore (e il lavoro) è sempre espresso come "forma differenziale", ossia come qualcosa che ha la forma di un differenziale, questo ci permette di determinare come agisce una quantità di calore "infinitesima" $deltaQ$ su parametri di stato del sistema, diciamo p, T, v, in pratica:
$deltaQ=q_1dp+q_2dT+q_3dV$
Questa è quella che viene definita forma differenziale (perché ha appunto la forma di un differenziale, ma solo la forma), i coefficienti q_i sono in generale funzioni del tipo $q_i=q_i(p,T,v)$.
A cosa serve una forma differenziale, a essere integrata praticamente: Una forma differenziale si integra lungo una curva $gamma$ nello spazio (p, T,V), detta trasformazione. Si tratta di fatta di un integrale di linea, ma il concetto di integrazione di forme differenziali è più generale di quello di integrazione di funzioni lungo curve, il motivo è ovvio, per esempio nel caso del calore non ha nessun significato una funzione "calore", ma ha significato l'effetto di una quantitòà piccola di calore sullo stato del sistema. Partendo da un punto (p1, T1,V1) e arrivando a un punto (p2,T2,V2) si posso eseguire numerosi percorsi $gamma$, a seconda del percorso scelto, l'integrale della forma differenziale $deltaQ$ in generale è diverso.
Per questo motivo non è possibile trovare una funzione f il cui differenziale $df=f_pdp+f_TdT+f_VdV$ sia pari alla forma differenziale $deltaQ$, ossia non esiste una f(p,T,V) tale che $f_p=q_1, f_T=q_2, f_V=q_3$, dove con il pedice intendo la derivata parziale. Per questo deltaQ non è una forma differenziale esatta, ossia non è il differenziale vero di qualche funzione, ma solo qualcosa che ha la forma di un differenziale. Stessa cosa si può dire in generale per il lavoro $deltaL$.
Il primo principio dice in pratica che la forma differenziale $deltaQ-deltaL$ è una forma esatta, ossia il differenziale dell'energia interna.
Il secondo principio dice che la forma $(deltaQ)/T$ (reversibile) è una forma esatta, ossia l'entropia.
Il calore (e il lavoro) è sempre espresso come "forma differenziale", ossia come qualcosa che ha la forma di un differenziale, questo ci permette di determinare come agisce una quantità di calore "infinitesima" $deltaQ$ su parametri di stato del sistema, diciamo p, T, v, in pratica:
$deltaQ=q_1dp+q_2dT+q_3dV$
Questa è quella che viene definita forma differenziale (perché ha appunto la forma di un differenziale, ma solo la forma), i coefficienti q_i sono in generale funzioni del tipo $q_i=q_i(p,T,v)$.
A cosa serve una forma differenziale, a essere integrata praticamente: Una forma differenziale si integra lungo una curva $gamma$ nello spazio (p, T,V), detta trasformazione. Si tratta di fatta di un integrale di linea, ma il concetto di integrazione di forme differenziali è più generale di quello di integrazione di funzioni lungo curve, il motivo è ovvio, per esempio nel caso del calore non ha nessun significato una funzione "calore", ma ha significato l'effetto di una quantitòà piccola di calore sullo stato del sistema. Partendo da un punto (p1, T1,V1) e arrivando a un punto (p2,T2,V2) si posso eseguire numerosi percorsi $gamma$, a seconda del percorso scelto, l'integrale della forma differenziale $deltaQ$ in generale è diverso.
Per questo motivo non è possibile trovare una funzione f il cui differenziale $df=f_pdp+f_TdT+f_VdV$ sia pari alla forma differenziale $deltaQ$, ossia non esiste una f(p,T,V) tale che $f_p=q_1, f_T=q_2, f_V=q_3$, dove con il pedice intendo la derivata parziale. Per questo deltaQ non è una forma differenziale esatta, ossia non è il differenziale vero di qualche funzione, ma solo qualcosa che ha la forma di un differenziale. Stessa cosa si può dire in generale per il lavoro $deltaL$.
Il primo principio dice in pratica che la forma differenziale $deltaQ-deltaL$ è una forma esatta, ossia il differenziale dell'energia interna.
Il secondo principio dice che la forma $(deltaQ)/T$ (reversibile) è una forma esatta, ossia l'entropia.
[ot]Faussone integra forme differenziali esatte su curve chiuse[/ot]
"alterbi":
C'è una cosa che non ho afferrato appieno dove dici
e qui ci fermiamo visto che il risultato dipende da $p(τ)$ e $v(τ)$
vedo bene che nel caso in cui divido per T trovo un integrale fondamentale che esita in un logaritmo.
Non ho invece ben capito perché nel caso quotato qui sopra no, voglio dire: ho $p(τ)$ e $v(τ)$ a integrando ma per quale motivo non la ritengo integrabile e dico avere dipendenza dal percorso?
Se guardi questa espressione
$int_{tau_1}^{tau_2}(c_v*\frac{v(tau)}{R} p'(tau) + c_p\frac{p(tau)}{R} v'(tau)) d tau $
e poi la stessa divisa per $T$ (anche $T$ funzione di $tau$ ovviamente mi sono dimenticato di scriverlo prima), capisci che questa è impossibile da integrare in generale senza conoscere $p(tau)$ e $v(tau)$. Confronta i passaggi..
Ovviamente questa non è una dimostrazione del perché facendo così si arriva al differenziale esatto di una funzione $s$, ma solo un modo di far vedere in pratica quello che accade svolgendo davvero l'integrale lungo una qualunque trasformazione.
"gtx":
Faussone integra forme differenziali esatte su curve chiuse
No, ho integrato su un percorso qualunque tra due punti non coincidenti.
(Perché poi lo avevi messo come testo nascosto?)
"gtx":
Il concetto matematico dietro a tutto questo è quello di forma differenziale:
Il calore (e il lavoro) è sempre espresso come "forma differenziale", ossia come qualcosa che ha la forma di un differenziale, questo ci permette di determinare come agisce una quantità di calore "infinitesima" $deltaQ$ su parametri di stato del sistema, diciamo p, T, v, in pratica:
$deltaQ=q_1dp+q_2dT+q_3dV$
Attenzione che questo è sbagliato se parliamo di calore e di sistemi termodinamici, visto che le variabili indipendenti sono due, infatti io nel fare il calcolo ho scelto pressione e volume specifico, ma non temperatura.
Anche in quello che dici dopo le variabili sono solo due e si integra su un percorso che si trova sul piano delle due variabili scelte.
Aggiungo che per quei passaggi che ho fatto non serve una conoscenza delle forme differenziali in matematica e di altro, basta un poco di analisi 1 e di intuizione, la formalizzazione rigorosa in questo ambito fisico non è necessaria.
No, ho integrato su un percorso qualunque tra due punti non coincidenti.
(Perché poi lo avevi messo come testo nascosto?)
Era una specie di sfottò
"gtx":
Era una specie di sfottò
Mah....
Grazie!!
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