Correzione esercizi Fisica 2 , elettrostatica nei dielettrici e considerazioni su un circuito a corrente continua

[HelpThermoo]

Dunque , visto che il tempo per me stringe, ho bisogno di accertarmi di aver compreso alcuni punti cruciali riguardo il programma di fisica 2 , relativamente ai seguenti due esercizi :

1) Una sfera metallica di raggio $R_0$ è posta al centro di una calotta sferica di materiale dielettrico di constante $epsi_r$ , avente raggio interno $ R_1 $ e raggio esterno $ R_2 $ . Partendo da una situazione iniziale di totale assenza di carica , viene fornita alla sferetta una carica Q , calcolare il potenziale del conduttore e l'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema.

Inizialmente ho pensato di poterlo trattare come un condensatore sferico , ma sbagliavo . Quindi ho provato a calcolarmi :

$ V_(r_0)-V_oo=int_(r_0)^oovecE*vecdr=int_(r_0)^(r_1)E_1dr+int_(r_1)^(r_2)E_2dr+int_(r_2)^ooE_3dr $

con

$ V_oo=0,E_1=Q/(4pir^2epsi_0),E_2=Q/(4pir^2epsi_0epsi_r),E_3=Q/(4pir^2epsi_0) $

ottengo , se non ho sbagliato i calcoli :

$ V_(r_0)=Q/(4piepsi_0r_0)+Q/(4piepsi_0)chi((r_1_r_2))/(r_1r_2) $

( $ chi=epsi_r-1 $ )

Ora l'energia immagazzinata dal sistema ..io ho ragionato così : tale energia dovrebbe essere uguale al lavoro necessario per portare la carica Q dall'infinito alla sup della sferetta ..quindi dovrebbe essere :

$ U_(el)=DeltaVQ=(V_oo-V_(r_0))Q=-V_(r_0)Q $

Avrebbe senso? Non sono convintissimo sul calcolo del potenziale della sferetta...
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Poi avrei una domandina su un esercizio del genere :

Una teiera elettrica è costituita da due resistenze in serie R (uguali) . La teiera è alimentata esternamente da un generatore di forza elettromotrice V e resistenza interna r . In un tempo $ Deltat_s $ viene fornita l'energia sufficiente per far bollire l'acqua per il te . Quanto tempo occorrerebbe per far bollire la stessa quantità di acqua se le resistenze R fossero in parallelo?

Dunque io qua ho una domanda teorica...se prendiamo separatamente i due casi , posso dire che che il lavoro erogato dal generatore in entrambi i casi è lo stesso?

Io l'ho svolto così , ma non ne sono per niente sicuro .

Caso a) resistenze in serie :

$ I(a)=V/(r+2R) $
$ W_g=VI=V^2/(r+2R)=(dL_g)/dt $
$ L_g=Deltat_sV^2/(r+2R) $

Caso b) resistenze R in parallelo
$ I(b)=V/(r+R/2) $
$ W_g=VI=V^2/(r+R/2)=(dL_g)/dt $
$ DeltatW_g=L_g=Deltat_sV^2/(r+2R) $
$ Deltat=Deltat_s(r+R/2)/(r+2R) $

mi viene una cosa come 1 minuto e 10 secondi...molto minore del tempo $ Deltat_s $
che è un dato del testo ed è uguale a 5 minuti .
Ma diciamo che l'ho svolto presumendo che in entrambi i casi il generatore svolgesse lo stesso lavoro , ma non ne sono affatto convinto.
Spero possiate dargli un'occhiata

[Falco5x]

Nel secondo esercizio tu non devi guardare la potenza generata, ma la potenza che va sulla teiera, cioè sulla coppia di resistenze R. Per fare il calcolo devi moltiplicare la corrente per la tensione ai capi della serie delle R nel primo caso, o del parallelo delle R nel secondo caso. E' quella la potenza che scalda l'acqua, non la potenza generata, che in parte va dispersa sulla resistenza interna.
Allora i calcoli sono presto fatti:

$$\eqalign{
& {W_s} = {V_g}\frac{{2R}}
{{r + 2R}}\frac{{{V_g}}}
{{r + 2R}} = {V_g}^2\frac{{2R}}
{{{{\left( {r + 2R} \right)}^2}}} \cr
& {W_p} = {V_g}\frac{{\frac{R}
{2}}}
{{r + \frac{R}
{2}}}\frac{{{V_g}}}
{{r + \frac{R}
{2}}} = {V_g}^2\frac{{2R}}
{{{{\left( {2r + R} \right)}^2}}} \cr
& {t_p} = {t_s}\frac{{{W_s}}}
{{{W_p}}} = {t_s}\frac{{{V_g}^2\frac{{2R}}
{{{{\left( {r + 2R} \right)}^2}}}}}
{{{V_g}^2\frac{{2R}}
{{{{\left( {2r + R} \right)}^2}}}}} = {t_s}{\left( {\frac{{2r + R}}
{{r + 2R}}} \right)^2} \cr} $$

[HelpThermoo]

Capito , geniale! Insomma io avevo intuito che era proprio quella potenza a scaldare il the , ma pensavo fosse implicata anche la resistenza interna , invece tu dici di considerare solo le due resistenze R ...vero , alla fine era anche intuitivo. all'ultimo passaggio comunque hai eguagliato i lavori , quindi posso affermare che in entrambi i casi a) e b) il generatore compie lo stesso lavoro , vero?
Il primo esercizio è corretto invece?